平面向量共線專題

1、向量的共線定理一、知識點r r1、如果b a (a 0),則稱2、一般地對于兩個向量a(a 0),b,有如下的向量共線定理如果有一個實數，使,那么;反之，如果,那么.二、練習r rr r r r1、設兩非零向量ei,e2 ,不共線，且k(ei e2)/(ei ke2),求實數k的值。2、設兩非零且不共線向量a,b ,實數x、y滿足(x y 1)a (2x y)b 0 ,試討論x、y的取值.平面向量的基本定理一、知識點1 .平面向量的基本定理：如果e e2是同一平面內兩個 的向量，a是 這一平面內的任一向量，那么有且只有一對實數1, 2,使。其中，不共線的這兩個向量e1, e2叫做表示這一平面內

2、所有向量的基底。2 .一個平面向量用一組基底ee2表示成3 ie1 2的形式，我們稱它為向 量3的,當ei, e2所在直線，這種分解也稱為 向量a的.二、練習1 .設ea是同一平面內所有向量的一組基底，則以下各組向量中，不能作為基底的是（）a. ei +e2 和 ei - e2b. 2ei -3 e2 和 4e6 e2c.e+2e2 和 2e1+ e2d.ei +e2 和 e2i2 .已知am是aab c的b c邊上的中線，若ab = a , ac = b，則am =( )a. 一 ( a b )2c. ( a + b)2b. (a b)2d. - ( a+ b )23.已知8,金不共線，a

3、= i ei +e2,式正確的是（）a. i=i, b. i=2,b =4 ei +2e2,并且a , b共線，則下列各c.尸3,d. i=44、已知e , e2是同一平面內兩個不共線的向量，且 ab = 2 e + k e2 , cb = ei +3 e2 , cd = 2 ei e2,如果a , b , d三點共線，則k的值為 ab = a , ae = b，則 bc =-(a b )21一 (a + b )2=b ,其中a, b為已知向量,5 .已知ab cd ef是正六邊形，a. 1 ( a b ) b .2c . a + bd .26 .如果 e e1 + 4 e2 = a , 2e

4、1 + 3e則 e = , e2 =7 .當k為何值時，向量a = 4e1 + 2e2, b=ke1 + e2共線，其中e1、e2是同 一平面內兩個不共線的向量。8 .若向量a的一種正交分解是a = e1+e2,且e12e2=2,則a 9平面向量的坐標運算(1)、知識點1、兩個向量和差的坐標運算 vv已知：a (x1,y1), b (x2,x2), 為一實數v v vuv v uv貝ua b (xii yj ) (x?i yj )=; v v即 a b =v v同理將a b=這就是說，兩個向量和(差)的坐標分別等v v uvva(x1iy1j)=即 a=這就是說，實數與向量的積的坐標等于： u

5、iv3、向量ab的坐標表小uuv若已知 4x101), b(x2,y2),貝uab=個向量的坐標等于此向量的有向線段的 4、線段定比分點坐標公式v vb c =)二、練習vvvv1、設 a(1, 3), b( 2,4), c(0,5) 則 3auuv2、若點 a (-2, 1), b (1, 3),則ab=3 知 a (3, 1), bv vv v(1, 2), c2ab 貝c=(a. (6,-2) b . (5, 0) c . (-5, 0) d . (0, 5) 4、求證：設線段ab兩端點的坐標分別為a1,yj , 4x2/2),則其中點m(x,y )的坐標公式是：x22,y2平面向量的坐

6、標運算(2)一、知識點1、兩向量平行(共線)的條件v v v .v v若a/b(b 0)則存在唯一實數使a/ b；v v v v反之，存在唯一實數，使a/ b ,則a/b2、兩向量平行(共線)的坐標表示、一 vv- . v -v 7設 a (x1,y1),b (x2,y2), 其中 b 0 貝 uab 等價于二、練習vvv v1、已知a(1,3),b (x,1),且 a/b ,貝x=()a.3b . -3c.1d.133vvvv2、已知 a ( 6,y), b ( 2, 1)且 a 與b 共線，wj x=()a. -6 b . 6 c . 3 d . -3,uuv 、 , v3、已知a(2,

7、1),b(3,1)與ab平行且萬向相反的向量a的是()v 1vvva. a (1-) b . a ( 6, 3) c . a ( 1,2) d . a ( 4, 8)214、已知a(1, 3),b(8,-),且a、b、c三點共線，則c點的坐標是()a. ( 9,1) b . (9, 1) c . (9,1) d .(-9,-1)5、平面內給定三個向量a (3,2),b ( 1,2),c (4,1)(1)求 3a b 2g(2)求滿足a mb nc的實數m, n ；(3)若 g kc)/ (2b a),求實數 k.6、已知 abc三個頂點abc的坐標分別為a(x% y。，b(x2, y , c(

8、xa, ya),求 abc的重心g的坐標.向量的數量積(1)一、知識點 r r 一 一1 .叫彳故at b的夾角。r rr r2 .已知兩個 向量 wb ,我們把 叫a與b的數量積。(或)一r r r r ,記作 即a b =其中是atb的夾角。r r5u做向量a在b方向上的 03 .零向量與任意向量的數量積為 or r4 .平面向量數量積的性質：設 wb均為非零向量：r ra b r r_r rr r當awb同向時，a b= 當wb反向時，a b=,特別地，a a =或a =。 cos =5 . a b的幾何意義：|b| cos 的幾何意義：r r r6 .向量的數量積滿足下列運算律：已知向

9、量 a,b,c與實數。r r a b =(#)r rr r r a b_= a+b c_r r r rr r、練習1.已知a =4, b =2且 /b的夾角為120o,貝u a、b=r r2.已知a br r一 += 12,且a =3, b =5 ,則a,b夾角的余弦值為3 .已知 abc中，ab ac 4,ab ac 8 ,則這三角形的形狀為 v v v v_v v 4 . a =3, b =5,a+ b與a- b 垂直，貝 =。1 2,2vlv5 . a 1,b2,(a b) a 0,則 a與 b的夾角為。v v6 .已知a=6,e是單位向量，它們之間夾角是45o,則a在e方向上的投影為,

10、 e在a方向上的投影為。7 .邊長為v2的等邊三角形abc中，設ab c,bc a,ca b v v v v一貝u a b+c a等于。- v - vvvvvv-vvvv - v8. 有下面四個關系式0. 0=0；a b c=a(b c)；a b=b a,0.a=0,其中正確的有 個。v vv, v 一 . 一 ,. .9. 2=12=2貝1b的夾角為120o,貝u a 2b (2a b)的值為 uuur r uur r r r10. abc 中，ab=a,bc=b,且a b0,則 abc 為 三角形。r r r r r r11 .已知向量ab滿足a =13, b =19, a+br r12

11、.設a、e2是兩個垂直的單位向量，且r(1 )若a/b,求的值。(2 )若ar二24,求 ara=rb,求2e1+e2 ,b=e1的值。ve2.向量的數量積(2)、知識點1 .平面向量數量積的坐標表小, ，一，一 vvv v已知兩個非苓向重 a= x1 y1 ,b= x2 y2 ,a b=(坐標形式)。這就是說：(文字語言)兩個向量的數量積等于 。v v如：設 a =(5,-7),b=(-6,-4), 求 a b =。2 .平面內兩點間的距離公式vv2v設 a=(x,y),貝u a =或 a =如果有向線段 ab的起點為a(xi, yj和終點b(x2, y2),則|ab = v v3 .向量垂

12、直的判定設 a= xi,yi ,b= x2x2，則 a b 如：已知a (1, 2) , b(2,3), c(-2,5), 求證 abc是直角三角形。4 .兩向量夾角的余弦(00 0 )cos _何量表示):伴標表示)v uuur v uur v r如：已知 a(1,0),b(3,1),c(-2,0), 且 a bc,b ca,則a 與 b 的夾角為。、練習rrr 2 r r1 .已知 a ( 4,3),b (5,6)則 3 a4a b=r rr ur2 .已知a 3,4 ,b= 5,12則a與b夾角的余弦為r rr r r r3 . a= 2,3 ,b=( 2,4)，則 a+b a-b =r r4.已知 a= 2,1 ,b=r r,3且a b則=5 .已知 a b (2, 8), a b rr6 . a=( 4,7);b=(5,2)r rr貝u a b=, a =r7 .與a= 3,4垂直的單位向量是(8,16) , wj a b 。 rrr r2a 3ba+2b =,平行的單位向量為8. a=(2,3),b=(-3,5)則a在b方向上的投影為9. a(1,0) b.(3,1) c.(2,0)r uur r uuurr rh a=bc,b=ca貝uwb的夾角為10.a(1,2),b(2,3),c(2,0) 所以abc為三角形。rrrrrr r r r