微分中值定理論文

1、分類號(hào) 編 號(hào) 畢業(yè)論文題 目 微分中值定理及其應(yīng)用 學(xué) 院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 姓 名 史秀峰 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號(hào) 研究類型 理論綜述 指導(dǎo)教師 劉開(kāi)生 提交日期 原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：本人所呈交的論文是在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果.學(xué)位論文中凡是引用他人已經(jīng)發(fā)表或未經(jīng)發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點(diǎn)等均已明確注明出處.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的科研成果.本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān).論文作者簽名： 年 月 日 論文指導(dǎo)教師簽名：微分中值定理及其應(yīng)用史秀峰(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅 天水 )摘 要：微分中值定理是微分學(xué)的基礎(chǔ)定

2、理, 它是溝通函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的橋梁，在高等數(shù)學(xué)中占有核心位置.本文總結(jié)和歸納了微分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用.關(guān)鍵字：微分中值定理；應(yīng)用Differential mean value theorem and its applicationShi Xiu feng(School of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui,Gansu,)Abstract: Differential mean value theorem is the differential of the fundamental theo

3、rem of algebra, higher mathematics is part of the core content. Mathematical analysis application. Key words: application of differential mean value theorem目 錄1.引言12.微分中值定理12.1微分中值定理的內(nèi)在聯(lián)系12.2微分中值定理在證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法22.2.1幾何法22.2.2倒推法33.微分中值定理的應(yīng)用43.1討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性及個(gè)數(shù)估計(jì)43.2函數(shù)性態(tài)的研究53.3不等式的證明63.4證明恒等式及等式73.5求極限

4、73.6求近似值83.7討論級(jí)數(shù)的斂散性94.結(jié)語(yǔ)9參考文獻(xiàn)10微分中值定理及其應(yīng)用1.引言我們知道，微分學(xué)是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分,而微分中值定理作為微分學(xué)的核心,是溝通導(dǎo)數(shù)和函數(shù)值之間的橋梁,是研究函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的整體性質(zhì)的有力且工具.它包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.本文論述了微分中值定理在求極限、證明不等式以及確定根的存在性等7個(gè)方面的應(yīng)用,以加深對(duì)微分中值定理的理解.2.微分中值定理2.1微分中值定理的內(nèi)在聯(lián)系我們知道,羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理.它們之間有著密切的聯(lián)系,拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣,柯西中值定理是拉格朗日中值定

5、理的推廣,它們之間的具體關(guān)系我們可以用下面的例題來(lái)將它們聯(lián)系起來(lái).例1 設(shè)f（x）,g（x）,（x）在 內(nèi)可導(dǎo),試證存在使得=0證 記= 則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),應(yīng)用羅爾定理可知,使得,據(jù)行列式性質(zhì) 證畢,特別地 若令就可得羅爾定理的結(jié)論：=0； 若令，可以得到拉格朗日中值定理 若令，則有，從而可得柯西定理：通過(guò)上面的例題,我們很好地利用了輔助函數(shù)的構(gòu)造法,引出了三個(gè)中值定理之間的關(guān)系:羅爾定理是微分中值定理的基礎(chǔ),而拉格朗日中值定理則是微分中值定理的核心.拉格朗日中值定理添加條件,則變成為羅爾定理.反之,如果羅爾定理中放棄條件,則推廣為拉格朗日定理;同樣,若令,則柯西中值定理就變成為是拉格朗日

6、中值定理.從而柯西中值定理可視為拉格朗日中值定理在表達(dá)形式上的推廣.2.2微分中值定理在證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法在上面的例題中,我們構(gòu)造了一個(gè)新的函數(shù)來(lái)說(shuō)明中值定理之間的聯(lián)系.實(shí)際上,構(gòu)造性方法是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的分析技巧,而證明微分中值定理的關(guān)鍵是輔助函數(shù)的構(gòu)造,這對(duì)我們學(xué)生來(lái)說(shuō)并非易事.其中羅爾定理的證明比較直觀,學(xué)生易于接受,其中拉格朗日中值定理與柯西中值定理的證明關(guān)鍵是如何根據(jù)已知條件構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)以降低證明的難度.下面我主要從兩種方法來(lái)介紹輔助函數(shù)的構(gòu)造. 2.2.1幾何法在拉格朗日中值定理的證明中構(gòu)造函數(shù)通常做法是根據(jù)幾何背景,即由于通過(guò)弦兩個(gè)端點(diǎn)的直線為則函數(shù)與直線的方程

7、之差即函數(shù) 在兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值為零，從而必滿足羅爾定理的條件，故即為要作的輔助函數(shù) 2.2.2倒推法所謂的倒推法就是從欲證的結(jié)論出發(fā)借助于邏輯關(guān)系逆向?qū)С鲆阎獥l件和結(jié)論.在拉格朗日中值定理的證明中，要使成立,即= 成立，只要 成立，于是可取 易證在在上滿足羅爾定理的三個(gè)條件.故式即為要構(gòu)造的輔助函數(shù)，柯西中值定理的結(jié)論是至少存在一點(diǎn),使得即證明 上式等價(jià)于若令則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且有由羅爾定理，存在，使，返回到即完成定理的證明.故為所做輔助函數(shù) 3.微分中值定理的應(yīng)用 3.1討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性及個(gè)數(shù)估計(jì) 利用微分學(xué)討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，最基本的依據(jù)是費(fèi)馬定理及由它導(dǎo)出的羅爾定理，羅爾

8、定理告訴我們，若在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，則至少存在一點(diǎn)，使得，這就是說(shuō)，在函數(shù)的等值點(diǎn)之間，有導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).因此，證明導(dǎo)函數(shù)有根，只要證明函數(shù)本身有等值點(diǎn).另外還可以用羅爾定理討論導(dǎo)函數(shù)或高階導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性與進(jìn)行零點(diǎn)個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)，容易得到如下推論.推論 函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)有m階導(dǎo)數(shù)，且方程在內(nèi)只有n個(gè)不同的實(shí)根，則方程在內(nèi)至多有個(gè)不同的實(shí)根例2 證明方程 有且只有 4個(gè)實(shí)根.證 令,則，,因 =0只有一個(gè)實(shí)根,所以由上述推論知 =0最多有4個(gè) 實(shí)根. 例3 設(shè) 在上二階可導(dǎo),且恒有，證明：若方程在 內(nèi)有根,則最多有兩個(gè)根.證 設(shè)在內(nèi)有三個(gè)根,且設(shè)，即有 ,分別在區(qū)間與上應(yīng)用羅爾定理，有 又 在

9、上也滿足羅爾定理,故 這與假設(shè)矛盾,故在最多有兩個(gè)根. 3.2函數(shù)性態(tài)的研究若在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則在上其中,這可視為的一種變形，它建立了函數(shù)增量、自變量增量與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系，我們可以用它來(lái)研究函數(shù)的性態(tài)，如函數(shù)的極值、拐點(diǎn)，單調(diào)性和一致連續(xù).例4 設(shè)在的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果，而，試問(wèn)是否為極值點(diǎn)，又是否為拐點(diǎn)？解 設(shè)，而連續(xù)，即，所以存在的某個(gè)領(lǐng)域，使.由泰勒定理得：（介于與之間），因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在點(diǎn)處不取極值點(diǎn)，即不是極值點(diǎn).由拉格朗日得 ，當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，從而 是拐點(diǎn).例5 求證當(dāng)時(shí)，.證 令，因在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且當(dāng)時(shí)，有，所以當(dāng)時(shí)，是單調(diào)增加的，故當(dāng)時(shí)，因此，從而

10、例6 證明若函數(shù)在有窮或無(wú)窮的區(qū)間內(nèi)有有界的導(dǎo)函數(shù),則于中一致連續(xù).證 設(shè)當(dāng)時(shí), ,對(duì)于,在以為端點(diǎn)的區(qū)間上由拉格朗日中值定理,有,那么有,對(duì)于任意的,取,則當(dāng),且,就有 由一致連續(xù)定理可知, 在中一致連續(xù). 3.3不等式的證明不等式是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,也是數(shù)學(xué)中的重要方法和工具.在微分學(xué)中,微分中值定理在證明不等式中起著很大作用.我們可以根據(jù)不等式兩邊的代數(shù)式選取不同的,應(yīng)用微分中值定理得到一個(gè)等式后，對(duì)這個(gè)等式根據(jù)取值范圍的不同進(jìn)行討論,得到不等式.例7 利用微分中值定理證明： 證 設(shè)，因?yàn)樵陂]區(qū)間上連續(xù)，再開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且 ，由拉格朗日中值定理，再開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得: 即 =，因

11、為所以有 即得到 3.4證明恒等式及等式例8 證明恒等.證 令，在時(shí)有意義，且所以在時(shí)，.又取內(nèi)任一點(diǎn)，如，有，且，所以端點(diǎn)值也成立，從而恒等 例9 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：，使得.證 令，利用柯西中值定理有：，再利用拉格朗日中值定理有綜上所述，有，整理變形的 3.5求極限利用微分中值定理去求極限，只要使用羅比達(dá)法則和拉格朗日中值定理來(lái)求極限.其中羅比達(dá)法則是根據(jù)柯西定理推出來(lái)的，在通常情況下，羅比達(dá)法則是計(jì)算，型不定式極限的一種簡(jiǎn)便而重要的方法.例10 求解 這是不定式，故 例11 求解 這是不定式，故利用拉格朗日中值定理，其方法就是對(duì)極限中的某些部分使用拉格朗日中值定理，然后求出極限.

12、例12 求其中.解 對(duì)應(yīng)用拉格朗日中值定理，有其中 3.6求近似值微分中值定理為我們提供了一種計(jì)算近似值的方法，只要構(gòu)造出一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，應(yīng)用微分中值定理就可以得出其近似值.例13 求的近似值.解 是函數(shù)在處的值.令，即由微分中值定理得: 3.7討論級(jí)數(shù)的斂散性泰勒公式事實(shí)上就是含有高階導(dǎo)數(shù)的微分中值定理，它不僅在理論分析中具有很重要的作用，而且為我們提供了用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的一種方法.在討論級(jí)數(shù)的斂散性中有廣泛的應(yīng)用，下面的例子說(shuō)明它的應(yīng)用.例13 設(shè)在的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)倒數(shù)，且.證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.證明 由且在處可導(dǎo)，知.故在點(diǎn)處的一階泰勒公式為 因?yàn)?，故，取，有由于收斂，有比較法知，絕對(duì)收

13、斂. 4結(jié)語(yǔ) 微分中值定理應(yīng)用非常廣泛，以上只介紹了幾種常見(jiàn)的應(yīng)用，通過(guò)對(duì)微分中值定理應(yīng)用的研究，加深了對(duì)微分中值定理的理解，有助于更好的掌握該定理的應(yīng)用.參考文獻(xiàn)：1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上）M.3版北京：高等數(shù)學(xué)教育出版社，2001：89-94，119-126.2吳贛昌.高等數(shù)學(xué)（理工類）M.中國(guó)人民大學(xué)出版社.3周煥芹.淺談中值定理在解題中的應(yīng)用J.高等數(shù)學(xué)研究，1999，2（3）：29-32.4無(wú)良森.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)（上）M.北京：高等教育出版社，2004.5王寶艷.微分中值定理的應(yīng)用J.雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，21（20）59-61.6李成章,黃玉民 數(shù)學(xué)分析（上）M北

14、京：科學(xué)出版社，2004 tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4

15、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