關(guān)于正項級數(shù)斂散性的判別法

1、關(guān)于正項級數(shù)斂散性的判別法作者:學(xué)號：單位：指導(dǎo)老師 摘要：級數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的主要內(nèi)容之一，我們學(xué)習(xí)過的數(shù)項級數(shù)斂散性判別法有許多種，柯西（Cauchy）判別法、達朗貝爾（DAlembert）判別法、高斯（Gause）判別法、萊布尼茲（Leibniz）判別法、阿貝爾（Abel）判別法等，對數(shù)項級數(shù)斂散性判別法進行歸納，使之系統(tǒng)化.關(guān)鍵詞：正項級數(shù)；斂散性；判別法1引言設(shè)數(shù)項級數(shù)的n項部分和為： .若n項部分和數(shù)列為收斂，即存在一個實數(shù)S，使.則稱這個級數(shù)是收斂的，否則我們就說它是發(fā)散的.在收斂的情況下，我們稱S為級數(shù)的和，可見無窮級數(shù)是否收斂，取決于是否存在，從而由數(shù)列的柯西（Cauchy）收

2、斂準則，可得到級數(shù)的柯西（Cauchy）收斂準則1:數(shù)項級數(shù)收斂，有.當(dāng)p=1時，可得推論：若級數(shù)收斂，則.其逆否命題為：若，則級數(shù)發(fā)散.2 正項級數(shù)斂散性判別法請預(yù)覽后下載！設(shè)數(shù)項級數(shù)為正項級數(shù)，則級數(shù)的n項部分和數(shù)列單調(diào)遞增，由數(shù)列的單調(diào)有界定理，有定理2.1：正項級數(shù)收斂它部分和數(shù)列有上界. 證明：由于所以是遞增數(shù)列.而單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是該數(shù)列有界（單調(diào)有界定理），從而本定理得證.由定理2.1可推得定理2.2（比較判別法）：設(shè)兩個正項級數(shù)和，且有，c是正常數(shù)，則1） 若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂;2） 若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散. 證明：由定理知，去掉，增添或改變級數(shù)的有限項，則不改變級

3、數(shù)的斂散性.因此，不妨設(shè)有，c是正常.設(shè)級數(shù)與的n項部分和分部是，有上述不等式有， .1)若級數(shù)收斂，根據(jù)定理1，數(shù)列有上屆，從而數(shù)列也有上屆，再根據(jù)定理1，級數(shù)收斂;2)若級數(shù)發(fā)散，根據(jù)定理1，數(shù)列無上屆，從而數(shù)列也無上屆，在根據(jù)定理1，級數(shù)請預(yù)覽后下載！發(fā)散.其極限形式：定理2.2.1(比較判別法的極限形式)：設(shè)和（）是兩個正項級數(shù)且有，1）若級數(shù)收斂，且，則級數(shù)也收斂；2）若級數(shù)發(fā)散，且，則級數(shù)也發(fā)散. 證明:1）若級數(shù)收斂，且，由已知條件，,有，即，根據(jù)柯西收斂準則推論的逆否命題，級數(shù)收斂；2)若級數(shù)發(fā)散，且，由已知條件，根據(jù)柯西收斂準則推論的逆否命題知，則級數(shù)也發(fā)散.若級數(shù)發(fā)散，且，

4、有已知條件，即根據(jù)柯西收斂準則推論的逆否命題，則級數(shù)也發(fā)散.例1 判別級數(shù)的斂散性. 分析: 考慮通項，分子的最高冪是0（只有常數(shù)1 ),分母的最高冪是2,這時通項接近請預(yù)覽后下載！,原級數(shù)也接近于級數(shù),這是的收斂的p-級數(shù),那么原級數(shù)也一定收斂.事先知道級數(shù)是收斂的,就把通項放大,放大為一個收斂的級數(shù)通項,這個級數(shù)一般就是,至多差一個系數(shù).解: 因為（分母縮小,分數(shù)放大）,又由于收斂.則由此比較判別法,原級數(shù)也收斂.例2 判別級數(shù)的斂散性.分析: 考慮通項,分子n的最高冪是1,分母n的最高冪是2,這時通項接近，,原級數(shù)也接近于級數(shù),至多差一個系數(shù).解: 因為（分子縮小,分母放大,分數(shù)縮?。?

5、又由于是發(fā)散的,則由比較判別法,原級數(shù)也是發(fā)散的.由比較判別法可推得：定理2.3（比值判別法達朗貝爾判別法）：設(shè)()為正項級數(shù)，且存在正常數(shù)q,則有1) 若則級數(shù)收斂；2) 若，有，則級數(shù)發(fā)散.證明：1）不妨設(shè), n=1， ;請預(yù)覽后下載！ n=2, n=3, . n=k, .已知幾何級數(shù)收斂，根據(jù)柯西收斂準則推論的逆否命題，則級數(shù)收斂.2)已知即正項級數(shù)從N項以后單調(diào)增加，不去近乎0，則級數(shù)發(fā)散.定理2.3.1（比值判別法的極限形式）：設(shè)()為正項級數(shù)，且，有，1) 若，則級數(shù)收斂；2) 若，則級數(shù)發(fā)散. 證明：1)由數(shù)列極限定義，即，根據(jù)達朗貝爾判別法，級數(shù)收斂；2）已知，根據(jù)數(shù)列極限的保

6、號性，達朗貝爾判別法，級數(shù)請預(yù)覽后下載！發(fā)散.例3 判別級數(shù)的斂散性.解: 由于,所以根據(jù)達朗貝爾判別法的推論知,級數(shù)收斂.例4 判別級數(shù)的斂散性.解: 由于,根據(jù)達朗貝爾判別法的推論知,級數(shù)發(fā)散.當(dāng)正項級數(shù)的一般項具有積、商、冪的形式,且中含有、以及形如的因子時,用達朗貝爾判別法比較簡便.定理2.4（根式判別法柯西判別法）：設(shè)為正項級數(shù)，存在常數(shù)q，則有1) 若有，則級數(shù)收斂；2) 若存在自然數(shù)列的子列，使得，則級數(shù)發(fā)散.證明：1）已知有，有已知幾何級數(shù)收斂，于是級數(shù)收斂;2)已知存在無限個n,有，即趨近于0（），于是級數(shù)發(fā)散.請預(yù)覽后下載！定理2.4.1(根式判別法的極限形式)：設(shè)為正項級

7、數(shù)，若1) 若時，級數(shù)收斂；2) 若時，則級數(shù)發(fā)散. 證明：1),由數(shù)列極限定義，根據(jù)柯西判別法，級數(shù)收斂；2)已知，根據(jù)數(shù)列極限的保號性，根據(jù)柯西判別法，級數(shù)發(fā)散.注意：在比值判別法和根式判別法的極限形式中，對的形式都為論及.實際上，當(dāng)或時，無法使用這兩個法判別來判斷斂散性，如級數(shù)和，都有，但前者發(fā)散而后者收斂.此外，定理2.3和定理2.4中，關(guān)于收斂條件和也不能放寬到，.例如對調(diào)和級數(shù)，有，請預(yù)覽后下載！，但級數(shù)卻是發(fā)散的.例1 判別級數(shù)的斂散性.分析: 該級數(shù)的通項是一個n次方的形式,于是聯(lián)想到柯西判別法,對通項開n次方根,看其結(jié)果與1的大小關(guān)系.解: 由于,根據(jù)柯西判別法的推論,可得級

8、數(shù)收斂.例2 判別級數(shù)的斂散性.解: 由于,所以根據(jù)柯西判別法的推論知,級數(shù)發(fā)散.我們知道，廣義調(diào)和級數(shù)（P-級數(shù)）當(dāng)時收斂，而當(dāng)時發(fā)散，因此，取P-級數(shù)作為比較的標準，可得到比比式判別法更為精細而又應(yīng)用方便的判別法.即定理2.5（拉阿貝判別法）：設(shè)是正項級數(shù)且有，則存在常數(shù)q，1) 若，則級數(shù)收斂；2） 若，則級數(shù)發(fā)散.請預(yù)覽后下載！ 證明：1）由可得，選p使1pN,這樣，于是，當(dāng)nN時就有,當(dāng)p1時，級數(shù)收斂，故級數(shù)則級數(shù)收斂；2） 由于是，因為發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散.定理2.5.1（拉阿貝判別法的極限形式）： 設(shè)正項級數(shù),且極限存在,若1)當(dāng)時,級數(shù)收斂;2) 當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.例1 討論級數(shù)當(dāng)

9、時的斂散性.請預(yù)覽后下載！分析: 無論哪一值,對級數(shù)的比式極限,都有.所以用比式判別法無法判別該級數(shù)的斂散性.現(xiàn)在用拉貝判別法來討論.解: 當(dāng)時,由于,所以根據(jù)拉貝判別法知,原級數(shù)是發(fā)散的.當(dāng)時,由于,所以原級數(shù)是發(fā)散的.當(dāng)時,所以原級數(shù)收斂.考慮到級數(shù)與無窮積分的關(guān)系，可得定理2.6（積分判別法）：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上非負且遞減，n=1,2，則級數(shù)收斂的充分必要條件是極限存在.證明： ，知=單調(diào)遞增.存在在有界.（充分性）設(shè)存在，則存在,使得級數(shù)的部分和請預(yù)覽后下載！即部分和數(shù)列有上界.所以級數(shù)收斂.（必要性）設(shè)正項級數(shù)收斂，則它的部分和有上界，即存在有從而對令則.故極限存在.由此我們得到兩個重要

10、結(jié)論：(1) p級數(shù)收斂；(2) 級數(shù)收斂.證明：1)在p級數(shù)一般項中，把n換位x，得到函數(shù).我們知道，這個函數(shù)的廣義積分收斂，因此根據(jù)正項級數(shù)的廣義積分判定法，結(jié)論成立.2）證法同（1）.例1 判別級數(shù)的斂散性.分析:因為將換成連續(xù)變量,即是，顯然函數(shù)在是單調(diào)減少的正值函數(shù),所以可以用積分判別法.解:將原級數(shù)換成積分形式,由于,即收斂,根據(jù)積分判別法可知,級數(shù)也收斂.例2 證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散.請預(yù)覽后下載！把換成連續(xù)變量得函數(shù),顯然這是一個在單調(diào)減少的正值函數(shù),符合積分判別法的條件.解:將原級數(shù)換成積分形式,由于,即發(fā)散,根據(jù)積分判別法可知,調(diào)和級數(shù)發(fā)散.3 正項級數(shù)斂散性其他兩種判別法定理2.7（階的估計法）：設(shè)為正項級數(shù)，即與當(dāng)是同階無窮小，則1) 當(dāng)時，級數(shù)收斂；2) 當(dāng)是，級數(shù)發(fā)散.把比較判別法和比式判別法結(jié)合，又可得定理2.8（比值比較判別法）：設(shè)級數(shù)和是正項級數(shù)且存在自然數(shù)N，使當(dāng)時有，則1) 若收斂，則也收斂；2) 若發(fā)散，則也發(fā)散.證明：當(dāng)時，由已知得請預(yù)覽后下載！由此可得.再由比較判別法即知定理結(jié)論成立.主要參考文獻：1劉玉璉、傅沛仁等，數(shù)學(xué)分析講義（第三版）.高等教育出版社，20032羅仕樂，數(shù)學(xué)分析緒論.韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)系選修課程，2003.83李成章、黃玉民，數(shù)學(xué)分