人教A版高中數(shù)學(xué)選修4-5 1.1不等式的基本性質(zhì)

1、第一講第一講 不等式和不等式和 絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式必修必修 45 45 不等式選講不等式選講第一節(jié)第一節(jié). . 不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)最低限速60km最低限50km/hv50km/h最高限速120km小汽車限速范圍60kmv120km/h橫看成嶺側(cè)成峰遠(yuǎn)近高低各不同雷聲大，雨點(diǎn)小雷聲大，雨點(diǎn)小 撿了芝麻，丟了西瓜撿了芝麻，丟了西瓜 道高一尺，魔高一丈道高一尺，魔高一丈 三個(gè)臭皮匠，抵過(guò)一個(gè)諸葛亮三個(gè)臭皮匠，抵過(guò)一個(gè)諸葛亮你你能發(fā)現(xiàn)下列成語(yǔ)、諺語(yǔ)中反映的不等關(guān)系嗎能發(fā)現(xiàn)下列成語(yǔ)、諺語(yǔ)中反映的不等關(guān)系嗎? ? 我們生活中的到處都有不等關(guān)系我們生活中的到處都有不等關(guān)系說(shuō)一說(shuō)說(shuō)一說(shuō) 在

2、數(shù)學(xué)中我們?nèi)绾伪硎静坏汝P(guān)系在數(shù)學(xué)中我們?nèi)绾伪硎静坏汝P(guān)系? 我們用數(shù)學(xué)符號(hào)我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“”“”，“”，“” a+1-(1) a+33a-(2) 3x+12x+6-(3) xa-(4)同向不等式同向不等式：在兩個(gè)不等式中在兩個(gè)不等式中,如果每一個(gè)的左邊都大于右邊如果每一個(gè)的左邊都大于右邊, 或每一個(gè)的左邊都小于右邊（不等號(hào)的方向相同）或每一個(gè)的左邊都小于右邊（不等號(hào)的方向相同）.異向不等式：異向不等式：在兩個(gè)不等式中在兩個(gè)不等式中,如果一個(gè)不等式的左邊大于右如果一個(gè)不等式的左邊大于右 邊邊,而另一個(gè)的左邊小于右邊（不等號(hào)的方向相反）而另一個(gè)的左邊小于右邊（不等號(hào)的方向相反）.同解不等式：同解不等

3、式：形式不同但解相同的不等式。形式不同但解相同的不等式。其它重要概念：其它重要概念： 絕對(duì)不等式、絕對(duì)值不等式、條件不等式絕對(duì)不等式、絕對(duì)值不等式、條件不等式、矛盾不等式、矛盾不等式（一）情景導(dǎo)入（一）情景導(dǎo)入 現(xiàn)實(shí)世界中的量，不等是普遍的、絕對(duì)的，而現(xiàn)實(shí)世界中的量，不等是普遍的、絕對(duì)的，而相等則是局部的、相對(duì)的相等則是局部的、相對(duì)的 “自來(lái)水管的直截面為什么做成圓的，而不做成自來(lái)水管的直截面為什么做成圓的，而不做成方的呢方的呢?”、 “為什么糖水加糖甜更甜呢為什么糖水加糖甜更甜呢?” （二）合作探究（二）合作探究 研究不等式的出發(fā)點(diǎn)是實(shí)數(shù)的大小關(guān)系。研究不等式的出發(fā)點(diǎn)是實(shí)數(shù)的大小關(guān)系。數(shù)軸上

4、的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，因此可以利用數(shù)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，因此可以利用數(shù)軸上點(diǎn)的左右位置關(guān)系來(lái)規(guī)定實(shí)數(shù)的大?。狠S上點(diǎn)的左右位置關(guān)系來(lái)規(guī)定實(shí)數(shù)的大?。?.實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的性質(zhì)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的性質(zhì):0 x 設(shè)設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù),它們?cè)跀?shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是它們?cè)跀?shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A,B,那么那么,當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)在點(diǎn)B的左邊時(shí)的左邊時(shí),ab.ababx1.實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的性質(zhì)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的性質(zhì): 設(shè)設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù),它們?cè)跀?shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是它們?cè)跀?shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A,B,那么那么,當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)在點(diǎn)B的左邊時(shí)的左邊時(shí),ab.ababx用數(shù)學(xué)式子表示為用數(shù)學(xué)式子表示為:

5、關(guān)于關(guān)于a,b的大小關(guān)系的大小關(guān)系,有以下有以下基本事實(shí)基本事實(shí):如果如果ab,那么那么a-b是正數(shù)是正數(shù);如果如果a=b,那么那么a-b等于零等于零;如果如果ab,那么那么a-b是負(fù)是負(fù)數(shù)數(shù);反過(guò)來(lái)也對(duì)反過(guò)來(lái)也對(duì).0baba0baba0baba 上式中的左邊部分反映的是實(shí)數(shù)的大小順序，上式中的左邊部分反映的是實(shí)數(shù)的大小順序，而右邊部分則是實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，合起來(lái)就成而右邊部分則是實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，合起來(lái)就成為實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系。這為實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系。這一性質(zhì)不僅可以用來(lái)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，而一性質(zhì)不僅可以用來(lái)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，而且是推導(dǎo)不等式的性質(zhì)、不等式的證

6、明、解不且是推導(dǎo)不等式的性質(zhì)、不等式的證明、解不等式的主要依據(jù)。等式的主要依據(jù)。0baba0baba0baba思考思考 從上述事實(shí)出發(fā)，你認(rèn)為可以用什么方法從上述事實(shí)出發(fā)，你認(rèn)為可以用什么方法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大??？比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大??？ 要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a與與b的大小，可以轉(zhuǎn)化為比的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較較它們的差它們的差a - - b 與與0的大小。的大小。在這里，在這里，0為為實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)比較大小提供了比較大小提供了“標(biāo)桿標(biāo)桿”。 要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a與與b的大小，可以轉(zhuǎn)化為比的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較較它們的差它們的差a - - b 與與0的大小。的大小。在這里，在這里，0為為實(shí)

7、數(shù)實(shí)數(shù)比較大小提供了比較大小提供了“標(biāo)桿標(biāo)桿”。判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b的大小，歸結(jié)為判斷它們的大小，歸結(jié)為判斷它們 的差的差a - -b的符號(hào)（至于差本身是多少，在此的符號(hào)（至于差本身是多少，在此 無(wú)關(guān)緊要）無(wú)關(guān)緊要）為了判定差式的符號(hào)，常常要對(duì)差式進(jìn)行為了判定差式的符號(hào)，常常要對(duì)差式進(jìn)行因因 式分解式分解，配方配方，通分通分，再利用平方式、，再利用平方式、絕對(duì)絕對(duì) 值值、立方因子立方因子a2 ab +b2 均為非負(fù)均為非負(fù)的性質(zhì)來(lái)的性質(zhì)來(lái) 判斷判斷這是本章的基礎(chǔ)，是證明不等式與解不等式這是本章的基礎(chǔ)，是證明不等式與解不等式 的重要依據(jù)的重要依據(jù)說(shuō)明：說(shuō)明：例例1.1.比較比較(x+3

8、)(x+7)和和(x+4)(x+6)的大小的大小.解：解：(x+3)(x+7) (x+4)(x+6)作差作差變形變形定號(hào)定號(hào)結(jié)論結(jié)論= (x2+10 x+21) (x2+10 x+24)= 3 0(x+3)(x+7) 0，若若x 1 那么那么 (x1)2 0則則 2x4+1 2x3+x2 ，若若 x =1 那么那么(x1)2 = 0 則則 2x4+1 = 2x3+x2，試比較試比較 2x4 + 1 和和 2x3 + x2 的大小的大小.解：解：練習(xí)練習(xí) (2x4+1) (2x3+x2 ) = = (x1) ( 2x3 x1) = (x1)(2x32x2) + (2x22x) + (x1) =

9、(x1)2 (2x2 + 2x + 1) = (x1)2 2 (x + 1/2)2 + 1/2.xR 2 (x + 1/2)2 + 1/2 0,若若x 1 那么那么 (x1)2 0則則 2x4+1 2x3+x2 ,若若 x =1 那么那么(x1)2 = 0 則則 2x4+1 = 2x3+x2,綜上所述綜上所述: 若若 x = 1 時(shí)時(shí) 2x4+1 = 2x3+x2 ; 若若 x 1 時(shí)時(shí) 2x4+1 2x3+x2. 作差作差變變形形定定號(hào)號(hào)結(jié)結(jié)論論本題中的技能本題中的技能： 分組組合；添項(xiàng)、拆項(xiàng)；配方法分組組合；添項(xiàng)、拆項(xiàng)；配方法。求差比較求差比較大小的一般步驟：大小的一般步驟：作差；變形；定

10、號(hào)；作差；變形；定號(hào)； 下結(jié)論。下結(jié)論。常見(jiàn)的變形方法是：常見(jiàn)的變形方法是：因式分解、配方、通分、有理化法等；因式分解、配方、通分、有理化法等；變形的結(jié)果是常數(shù)、若干個(gè)因式的積或變形的結(jié)果是常數(shù)、若干個(gè)因式的積或完全平方式等完全平方式等. 2、不等式的基本性質(zhì)：思考？思考？類比等式的基本性質(zhì)，不等式有哪些基本性質(zhì)呢？類比等式的基本性質(zhì)，不等式有哪些基本性質(zhì)呢？性質(zhì)性質(zhì)1:如果如果ab,那么那么ba;如果如果bb.即即性質(zhì)性質(zhì)2:如果如果ab,bc,那么那么ac.即即性質(zhì)性質(zhì)3:如果如果ab,那么那么a+cb+c.即即abbacacbba ,cbcaba傳遞性傳遞性對(duì)稱性對(duì)稱性同向可加性同向可加

11、性推論推論: :如果如果a b, ,c d, , 那么那么a+ +c b+ +d. .加法法則加法法則(P.4)性質(zhì)性質(zhì)1:如果如果ab,那么那么ba;如果如果bb.即即性質(zhì)性質(zhì)2:如果如果ab,bc,那么那么ac.即即性質(zhì)性質(zhì)3:如果如果ab,那么那么a+cb+c.即即abbacacbba ,cbcababcaccbabcaccba0,0,性質(zhì)性質(zhì)4: 如果如果ab,c0,那么那么acbc. 如果如果ab,c0,那么那么ac b, ,c d, , 那么那么a+ +c b+ +d. .加法法則加法法則(P.4)推論推論: :如果如果a b0,0,c d0, 0, 那么那么ac bd. .性質(zhì)性

12、質(zhì)5 5: :如果如果a b 0, , 那么那么an bn,( ,(nN, ,n2). ).性質(zhì)性質(zhì)6 6: :如果如果a b 0, , 那么那么 ,( ,(nN, ,n2). ).nnba 乘法法則乘法法則乘方法則乘方法則開(kāi)方法則開(kāi)方法則(P.4)思考思考 上述結(jié)論是用類比的方法得到的，它們一上述結(jié)論是用類比的方法得到的，它們一定是正確的嗎？你能夠給出它們的證明嗎？定是正確的嗎？你能夠給出它們的證明嗎？證明：證明：性質(zhì)性質(zhì)1:如果如果ab,那么那么ba;如果如果bb.即即abba對(duì)稱性對(duì)稱性a b同理可證同理可證ab 0(ab )0ba 0b a ;a b .b a abba性質(zhì)性質(zhì)2:如果

13、如果ab,bc,那么那么ac.即即cacbba ,傳遞性傳遞性性質(zhì)性質(zhì)3:如果如果ab,那么那么a+cb+c.即即cbcaba同向可加性同向可加性推論推論: :如果如果a b, ,c d, , 那么那么a+ +c b+ +d. .加法法則加法法則(P.4)bcaccbabcaccba0,0,性質(zhì)性質(zhì)4: 如果如果ab,c0,那么那么acbc. 如果如果ab,c0,那么那么ac b0,0,c d0, 0, 那么那么ac bd. .乘法法則乘法法則(P.4)證明：證明：即即 a b . 性質(zhì)性質(zhì)6 6: :如果如果a b 0, , 那么那么 ,( ,(nN, ,n2). ).nnba 開(kāi)方法則開(kāi)方

14、法則(反證法）反證法）假設(shè)假設(shè) (nN，n2)，則由性質(zhì)則由性質(zhì)5得得nnba nnnnba)()( ,這與已知條件這與已知條件ab矛盾，矛盾，假設(shè)不成立，假設(shè)不成立， ,( ,(nN, ,n2). ).nnba 1. .注意公式成立的條件，要特別注意注意公式成立的條件，要特別注意“符號(hào)問(wèn)題符號(hào)問(wèn)題”;2. .要會(huì)用自然語(yǔ)言描述上述基本性質(zhì)；要會(huì)用自然語(yǔ)言描述上述基本性質(zhì)；3. .上述基本性質(zhì)是我們處理不等式問(wèn)題的理論基礎(chǔ)上述基本性質(zhì)是我們處理不等式問(wèn)題的理論基礎(chǔ)注意：注意：練習(xí)：練習(xí)：1已知已知 ，求證：，求證： 2在三角形在三角形ABC中，求中，求A- -B的取值范圍的取值范圍dcba ,dbca（，）例例2 2已知已知ab0，cd0，求證：，求證： .證明：證明：cbda注意：證明不等式時(shí)要依據(jù)不等式的性質(zhì)注意：證明不等式時(shí)要依據(jù)不等式的性質(zhì) 進(jìn)行，不能自己進(jìn)行，不能自己“制造制造”性質(zhì)來(lái)做性質(zhì)來(lái)做(P.4)例例3 3則則 A、B 、C 、D 的大小關(guān)系是（的大小關(guān)系是（ ） A、ABCD; B、DABC; C、DBAC; D、BDAC解：解：本題采用了賦值法，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化、明朗本題采用了賦值法，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化、明朗賦值法是解選擇題、開(kāi)放題等常用的方法賦值法是解選擇題、開(kāi)放題等常用的方法它將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，是我們常