馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率-修改

1、馬爾可夫鏈的概馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率念及轉(zhuǎn)移概率第四章 馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率1馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類2342021-10-152信息工程學(xué)院四系三教狀態(tài)空間的分解 的漸進(jìn)性質(zhì)與平穩(wěn)分布( )( )n nijijp p馬氏性的等價(jià)形式v馬氏性馬氏性(4.1)式等價(jià)于：式等價(jià)于： 對任意的對任意的 及及 只要只要就有就有1 11 1 , ,1 1| |, , , , , ,1 1| | , , ( (4 4. . 1 1) )n nk kn nn nk kn nm mn nk km mm mn nm mn nk km mn nP P X Xi ik kl

2、 l X Xi iX Xi iP P X Xi ik kl l X Xi i+ + + + += = = = = = =L L1 11 11 11 1 , , , , , 0 0, ,n nn nm mm mn nm mn nP P X Xi iX Xi iX Xi i- - -= = = = L L0 01 1, , , , ,n nl li ii ii iI I+ + L L1 10 0, ,n nn nl lm mm mm m+ + = = , ,i i j jI I 1 11 1 | | | | n nn nm mm mP P X Xj j X Xi iP P X Xj j X Xi

3、i+ + += = = = = =齊次性齊次馬爾可夫鏈2021-10-1511信息工程學(xué)院四系三教齊次馬爾可夫鏈v注：注：（1）馬氏性馬氏性表示已知表示已知“現(xiàn)在現(xiàn)在”的條件下，的條件下， “將來將來”和和“過去過去”是獨(dú)立的。是獨(dú)立的。（2）齊次性齊次性要求過程從狀態(tài)要求過程從狀態(tài)i 經(jīng)一步轉(zhuǎn)移經(jīng)一步轉(zhuǎn)移 到狀態(tài)到狀態(tài) j 的概率與的概率與起始時(shí)刻起始時(shí)刻 n 無關(guān)無關(guān)。2021-10-15信息工程學(xué)院四系三教12以后若無特別聲明，我們以后若無特別聲明，我們僅討論齊次馬氏鏈僅討論齊次馬氏鏈！一步轉(zhuǎn)移概率及一步轉(zhuǎn)移概率矩陣v定義定義 4.3 在齊次馬氏鏈中，對在齊次馬氏鏈中，對 ，記，記1 1

4、1 10 0 | | | | i i j jn nn np pP P X Xj j X Xi iP P X Xj j X Xi i+ += = = = = = =稱稱 為齊次馬氏鏈為齊次馬氏鏈的的一步轉(zhuǎn)移概率。一步轉(zhuǎn)移概率。ijp( ( ) )11121111212122221222P Pn nijnijnpppppppppppppp輊輊犏犏犏犏=犏犏犏犏犏犏臌臌LLLLLLLLLLLLLLLLLL 稱為齊次馬氏鏈的稱為齊次馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。, ,i i j jI I 2021-10-1513信息工程學(xué)院四系三教一步轉(zhuǎn)移概率及一步轉(zhuǎn)移概率矩陣v 一步轉(zhuǎn)移概率矩陣一步轉(zhuǎn)

5、移概率矩陣P具有如下性質(zhì)：具有如下性質(zhì)： 稱具有上述性質(zhì)的矩陣為稱具有上述性質(zhì)的矩陣為隨機(jī)矩陣。隨機(jī)矩陣。(1)0, ,(1)0, ,ijijpi jIpi jI澄澄(2)1,(2)1,ijijj Ij IpiIpiI = 2021-10-1514信息工程學(xué)院四系三教n步轉(zhuǎn)移概率及n步轉(zhuǎn)移概率矩陣v定義定義4.4 設(shè)齊次馬氏鏈設(shè)齊次馬氏鏈 的狀態(tài)空間為的狀態(tài)空間為I , 為整數(shù)，記為整數(shù)，記 稱稱 為齊次馬氏鏈為齊次馬氏鏈 的的n 步轉(zhuǎn)移概率。步轉(zhuǎn)移概率。它表示隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)從狀態(tài)它表示隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)從狀態(tài) i 出發(fā)經(jīng)出發(fā)經(jīng)n步到達(dá)狀步到達(dá)狀態(tài)態(tài)j的概率。的概率。,0,1,0,1,n nXnXn= =L

6、L1 1n n ( ( ) ) | | , , ( (, , ,0 0, ,1 1) )n ni i j jm mn nm mp pP P X Xj j X Xi ii ij jI I m mn n+ += = = =緯緯( )( )n nijijp p,0,1,0,1,n nXnXn= =L L2021-10-1515信息工程學(xué)院四系三教n步轉(zhuǎn)移概率及n步轉(zhuǎn)移概率矩陣v并稱并稱 為齊次馬氏鏈的為齊次馬氏鏈的n 步轉(zhuǎn)移步轉(zhuǎn)移概率矩陣。概率矩陣。由于由于( ( ) )( ( ) )P P( () )n nn ni ij jp p= =( ( ) )( ( ) )0 0, ,1 1. .n nn

7、ni ij ji ij ji i I Ip pp p = = 當(dāng)當(dāng)n =1時(shí)，時(shí)， 此即為一步轉(zhuǎn)移概率此即為一步轉(zhuǎn)移概率( (1 1) )i ij ji ij jp pp p= =( (0 0) )0 0, , ,1 1, ,. .i ij ji ij jp pi ij j = = = = 故故 也為隨機(jī)矩陣。也為隨機(jī)矩陣。( )( )P Pn n 規(guī)定規(guī)定2021-10-1516信息工程學(xué)院四系三教n步轉(zhuǎn)移概率的性質(zhì)v定理定理4.1 設(shè)設(shè) 為馬氏鏈，則為馬氏鏈，則對任意整數(shù)對任意整數(shù) 和和 n 步步轉(zhuǎn)移概率轉(zhuǎn)移概率 具有如下性質(zhì)：具有如下性質(zhì)：,0,1,0,1,n nXnXn= =L L0

8、0, , 0 0n nl ln n常常 , , ,i i j jI I 1 11 1 2 21 11 11 1( ( ) )( (2 2) ) n nn nn ni ij ji ik kk k k kk kj jk kI Ik kI Ip pp pp pp p- - -撾撾= =邋邋L LL L( ( ) )( (1 1) )( (3 3) ) P PP PP Pn nn n- -= =( )( )(4) PP(4) PPnnnn= =( )( )n nijijp p( ( ) )( ( ) )( () )( (1 1) ) n nl ln nl li ij ji ik kk kj jk kI

9、 Ip pp pp p- - = = C CK K方程方程n n步轉(zhuǎn)移概率完步轉(zhuǎn)移概率完全由一步轉(zhuǎn)移全由一步轉(zhuǎn)移概率決定概率決定2021-10-1517信息工程學(xué)院四系三教n步轉(zhuǎn)移概率的性質(zhì)證明證明 (1)對對0 l n,利用利用全概率公式全概率公式及及馬氏性馬氏性( )()( )()| | |. .mlmmnmlmlmmnmlkIkIlnllnlikkjikkjkIkIP XkXi P Xj XkP XkXi P Xj Xkpppp+ - - = = ( ( ) ) | | n ni ij jm mn nm mp pP P X Xj j X Xi i+ += = = = , ,| | m m

10、l lm mn nm mk k I IP P X Xk k X Xj j X Xi i+ + + = = = = = | | | |, , m ml lm mm mn nm mm ml lk k I IP P X Xk k X Xi iP P X Xj j X Xi iX Xk k+ + + + = = = = = = = 2021-10-1518信息工程學(xué)院四系三教n步轉(zhuǎn)移概率的性質(zhì)v(2) 在在(1)中令中令 得得 這是一個(gè)遞推公式，故可遞推得到這是一個(gè)遞推公式，故可遞推得到v(3),(4)是是(1),(2)的矩陣表示。的矩陣表示。1 11 1, ,l lk kk k= = =1 11 1

11、1 1( () )( (1 1) )n nn ni ij ji ik kk k j jk kI Ip pp pp p- - = = 1 11 1 2 21 11 11 1( ( ) )n nn nn ni ij ji ik kk k k kk kj jk kI Ik kI Ip pp p p pp p- - -撾撾= =邋邋L LL L2021-10-1519信息工程學(xué)院四系三教(1)式稱為切普曼柯爾莫哥洛夫(Chapman-Kolmogorov)方程，簡稱C-K方程。Markov鏈應(yīng)用舉例v例例（通信系統(tǒng)中的馬氏鏈）（通信系統(tǒng)中的馬氏鏈）設(shè)在傳送數(shù)字設(shè)在傳送數(shù)字0和和1的通信系統(tǒng)中每個(gè)被傳的

12、通信系統(tǒng)中每個(gè)被傳送的數(shù)字必須經(jīng)過若干級(jí)，而在每一級(jí)數(shù)送的數(shù)字必須經(jīng)過若干級(jí)，而在每一級(jí)數(shù)字被正確傳送的概率均為字被正確傳送的概率均為p，0 p 1就稱就稱i為為周期的周期的，如，如 d =1就稱就稱i為為非周期的非周期的。( ( ) ) : :1 1, ,0 0 n ni ii in nn np p ( ( ) )( ( ) ). . . . : :0 0 n ni ii id dd d i iG G C C D Dn np p= = = 2021-10-1540信息工程學(xué)院四系三教v但反之不成立。即若但反之不成立。即若 不一定有不一定有狀態(tài)的周期v注：注：如果如果 i 的周期為的周期為 d

13、，則對一切非零的，則對一切非零的 都有都有0 0( (m m o od d ) ), ,n nd d ( )( )0.0.n niiiip p= =, ,m mn nd d= =如前例中的狀態(tài)如前例中的狀態(tài)1的的d (1) = 2，但，但(2)(2)11110 0p p= =()()0 0m miiiip p 2021-10-1541信息工程學(xué)院四系三教狀態(tài)的周期v引理引理4.1 如如 i 的周期為的周期為d，則存在正整數(shù)，則存在正整數(shù)M對一切對一切 ，有，有 ()()0.0.ndndiiiip p n nM M 2021-10-1542信息工程學(xué)院四系三教常返的定義及其分類v例例4.7 設(shè)設(shè)

14、I = 1, 2, 3, 4,轉(zhuǎn)移概率如圖轉(zhuǎn)移概率如圖4.4，易見狀態(tài)易見狀態(tài)2與狀態(tài)與狀態(tài)3有相同的周期有相同的周期d = 2。但。但由狀態(tài)由狀態(tài)3出發(fā)經(jīng)兩步必定返回到出發(fā)經(jīng)兩步必定返回到3，而狀態(tài)，而狀態(tài)2則不然，當(dāng)則不然，當(dāng)2轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到3后，它再也不能返回后，它再也不能返回到到2。為區(qū)別這兩種狀態(tài)，我們引入。為區(qū)別這兩種狀態(tài)，我們引入常返性常返性概念。概念。2021-10-15信息工程學(xué)院四系三教433 31 12 21 11 12 24 41 12 21 11 1常返的定義及其分類v首達(dá)時(shí)的定義首達(dá)時(shí)的定義 稱稱為首達(dá)狀態(tài)為首達(dá)狀態(tài)j的的首達(dá)時(shí)首達(dá)時(shí)。其中約定。其中約定 v此時(shí)此時(shí)i

15、 i n nf f 1 1 : : , ,j jn nn nX Xj jt t= = = =i i n nf f = = 1 11 1 , , , , . .j jn nn nn nX Xj jX Xj j X Xj jt t- -= = =構(gòu)構(gòu)= =L L2021-10-1544信息工程學(xué)院四系三教常返的定義及其分類v首達(dá)（首中）概率的定義首達(dá)（首中）概率的定義表示質(zhì)點(diǎn)從表示質(zhì)點(diǎn)從i 出發(fā)，經(jīng)出發(fā)，經(jīng)n步首次到達(dá)步首次到達(dá)j的概率。的概率。表示質(zhì)點(diǎn)從表示質(zhì)點(diǎn)從i出發(fā)，經(jīng)有限步首次出發(fā)，經(jīng)有限步首次終于終于到達(dá)到達(dá)j的概率。的概率。2021-10-15信息工程學(xué)院四系三教45( ( ) )0

16、01 11 10 0 | | ( (, , , , ,| |) )n ni i j jj jn nn nf fP Pn n X Xi iP P X Xj jX Xj jX Xj j X Xi it t- -= = = = =構(gòu)構(gòu)= = =L L( )( )1 1n nijijijijn nffff = = = 常返的定義及其分類0 01 1( (| |) )j jP PX Xi it t = =( )( )1 1. .n nijijijijn nffff = = 0 01 1(|)(|)j jn nPnXiPnXit t = = 0 01 1( (, ,1 11 1, ,| |) )v vn

17、nn nP P X Xj jv vn nX Xj j X Xi i = = =梗梗= = = 質(zhì)點(diǎn)從質(zhì)點(diǎn)從 i 出發(fā)經(jīng)出發(fā)經(jīng)有限步終于到達(dá)有限步終于到達(dá) j 的概率的概率2021-10-1546信息工程學(xué)院四系三教注：注：由定義由定義4.7知，若知，若i是非常返態(tài)，則由是非常返態(tài)，則由i出出發(fā)將以正概率發(fā)將以正概率 永遠(yuǎn)不再返回永遠(yuǎn)不再返回i；若；若i是是常返時(shí)，上述現(xiàn)象不會(huì)出現(xiàn)。常返時(shí)，上述現(xiàn)象不會(huì)出現(xiàn)。1 1iiiif f- -常返的定義及其分類v定義定義4.7 若若 ，稱狀態(tài)，稱狀態(tài) i 為為常返的常返的，若，若 ；稱狀態(tài)；稱狀態(tài) i 為為非常返的（滑過態(tài)）非常返的（滑過態(tài)），1 1ii

18、iif f= =1 1iiiif f 2021-10-1547信息工程學(xué)院四系三教常返的定義及其分類v對對常返態(tài)常返態(tài) i，由定義知，由定義知 構(gòu)成一構(gòu)成一概率分布概率分布。此分布的期望值。此分布的期望值表示由表示由i出發(fā)再返回到出發(fā)再返回到i的的平均返回時(shí)間平均返回時(shí)間。 ( () )1 1n ni ii ii in nn n f fm m = = = ( ( ) ) , ,1 1, ,2 2, , n ni ii if fn n= =L L2021-10-1548信息工程學(xué)院四系三教常返的定義及其分類v定義定義4.8 對常返態(tài)對常返態(tài)i，若，若 ，則稱常，則稱常返態(tài)返態(tài)i為為正常返的正常返

19、的；若；若 ，則稱常返，則稱常返態(tài)態(tài)i為為零常返的零常返的。非周期的正常返態(tài)稱為非周期的正常返態(tài)稱為遍歷狀態(tài)遍歷狀態(tài)。 i為遍歷狀態(tài)為遍歷狀態(tài)i im m i im m= = 11iiiifd 2021-10-1549信息工程學(xué)院四系三教常返的定義及其分類v例例 設(shè)齊次馬氏鏈設(shè)齊次馬氏鏈 的狀態(tài)空間的狀態(tài)空間 ，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移如下圖：，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移如下圖： 可見，可見， 故狀態(tài)故狀態(tài)4是是非常返的非常返的。 又又 故狀態(tài)故狀態(tài)3也是也是非常返非常返的。的。 , ,1 1 n nX Xn n 1 1, ,2 2, ,3 3, ,4 4 I I= =( )( )44441,0,1,0,n nnfnf=(

20、1)( )(1)( )333333332 2,0,0,3 3n nffff=2021-10-1550信息工程學(xué)院四系三教1 12 21 13 34 41 12 21 12 21 12 21 12 21 13 32 23 3常返的定義及其分類而而故常態(tài)故常態(tài)1與狀態(tài)與狀態(tài)2是常返的。是常返的。(1)(2)(1)(2)111111111111(2)(3)(2)(3)2222222222232311111,1,2222111111 1, 1,2 22222ffffffffffff=+=+=+=+=+=+=+=+=L LL L2021-10-1551信息工程學(xué)院四系三教常返的定義及其分類v 和和 有如

21、下關(guān)系：有如下關(guān)系：v定理定理4.4 對任意狀態(tài)對任意狀態(tài)i, j及及1n1就稱就稱i為為周期的周期的，如，如 d =1就稱就稱i為為非周期的非周期的。( ( ) ) : :1 1, ,0 0 n ni ii in nn np p ( ( ) )( ( ) ). . . . : :0 0 n ni ii id dd d i iG G C C D Dn np p= = = 2021-10-1555信息工程學(xué)院四系三教( ( ) )0 0( (m m o od d) ) 0 0n ni ii in nd dp p罐罐= =( )( )0(m od )0|0(m od )0|n niiiinpt d

22、npt dt t罐=罐=知識(shí)回顧常返的定義及其分類2021-10-15信息工程學(xué)院四系三教56( )( )1 1n nijijijijn nffff = = = 1,1,= =常常返返1 1 ，非非常常返返( () )1 1n ni ii ii in nn n f fm m = = = , , 正正常常返返, ,= = 零零常常返返知識(shí)回顧v 和和 有如下關(guān)系：有如下關(guān)系：v定理定理4.4 對任意狀態(tài)對任意狀態(tài)i, j及及1n=2021-10-1558信息工程學(xué)院四系三教( )( )( )( ). . :1,0. . :1,0. . :1,0. . :1,0n niiiin niiiidG C

23、 DnnpdG C DnnptG C DnnftG C Dnnf=( ( ) )( ( ) ), ,n nn ni ii ii ii ip pf f 1 1. .d dt t周期的等價(jià)定義v另一方面，若另一方面，若t =1, 則則 若若t 1, 只需證明只需證明t | d，即對任意，即對任意 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 現(xiàn)假設(shè)現(xiàn)假設(shè) 時(shí)時(shí) 則則2021-10-15信息工程學(xué)院四系三教591 1. .d dt t= = =0 0m m o od d , ,n nt t ( ( ) )0 0. .n ni ii ip p= =n nt t 1時(shí)，時(shí)， 的的極限不存在極限不存在。因?yàn)橐驗(yàn)閐 1，當(dāng)，當(dāng)m不能被不

24、能被d 整除時(shí)，整除時(shí)，這樣這樣 存在兩個(gè)收斂子列，一個(gè)子列存在兩個(gè)收斂子列，一個(gè)子列另一個(gè)子列收斂到另一個(gè)子列收斂到0.因此，因此， 不存在。不存在。( )( )n niiiip p()()0.0.m miiiip p= =( ( ) )n ni ii ip p()()l i m. l i m. ndndiiiin ni id dp pm m= =( ( ) )l l i i m mn ni ii in np p2021-10-1568信息工程學(xué)院四系三教常返性的判別及其性質(zhì)v推論推論 設(shè)設(shè)i常返，則常返，則 (1) i 零常返零常返( )lim0;niinp (2) i 遍歷遍歷( )1l

25、im0niinip 2021-10-1569信息工程學(xué)院四系三教常返性的判別及其性質(zhì)v證明證明（1）如）如i零常返，則零常返，則 由定由定理理4.7知知( () )l li im m0 0, ,n n d di ii in ni id dd dp pm m= = = =+ + ( () )l li im m0 0. .n ni ii in np p= =, ,i im m= + = + 但當(dāng)?shù)?dāng) 時(shí)，時(shí)， 。故。故 0 0( (m m o od d( ( ) ) )n nd d ( )( )0 0n niiiip p= =2021-10-1570信息工程學(xué)院四系三教常返性的判別及其性質(zhì)v反之，

26、如反之，如i是常返，且是常返，且 ，則，則( () )l l i i m m0 0, ,n nd di ii in ni id dp pm m= = =( () )l li im m0 0n ni ii in np p= =故故 因此因此i是零常返。是零常返。, ,i im m= = + + ( () )l li im m0 0n n d di ii in np p= =從而從而2021-10-1571信息工程學(xué)院四系三教常返性的判別及其性質(zhì)v（2）設(shè)）設(shè) ，這說明，這說明i為正為正常返常返, 且且( () )1 1l l i i m mn nd di ii in ni ip pm m= =(

27、 ( ) )1 1l l i i m m0 0n ni ii in ni ip pm m= = 反之若反之若I 遍歷，則遍歷，則 d =1，且，且 由定由定理理4.7知知, ,i im m + 與（與（4.26）比較得）比較得d =1，故，故i遍歷；遍歷；2021-10-1572信息工程學(xué)院四系三教狀態(tài)可達(dá)和互通v稱稱自狀態(tài)自狀態(tài)i 可達(dá)狀態(tài)可達(dá)狀態(tài) j，并記為，并記為 如果存如果存在在n 0,使使( )( )0;0;n nijijp p v稱稱狀態(tài)狀態(tài)i 與與j互通互通，并記為，并記為 ，若，若 且且 i ij j , ,i ij j . .jiji , ,i ij j 2021-10-15

28、73信息工程學(xué)院四系三教3 31 12 21 11 12 24 41 12 21 11 1狀態(tài)可達(dá)和互通v可達(dá)和互通的狀態(tài)具有下述性質(zhì)：可達(dá)和互通的狀態(tài)具有下述性質(zhì)：定理定理4.8 可達(dá)與互通關(guān)系都具有傳遞性，即可達(dá)與互通關(guān)系都具有傳遞性，即 如果如果 ， ,則則 ； 如果如果 ， ,則則 。i ij j j jk k i ik k i ij j j jk k i ik k 備注：若狀態(tài)不具有常返性，可達(dá)關(guān)系和互通關(guān)系就不具有自反性。2021-10-1574信息工程學(xué)院四系三教互通狀態(tài)的性質(zhì)v證明證明 若若 ，則存在，則存在 ，使得，使得i ij j 1 1l l ( )( )0,0,l li

29、jijp p 若若 ，則存在，則存在 , 使得使得j jk k 1 1m m ( () )0 0, ,m mj jk kp p ( () )( ( ) )( () )( ( ) )( () )0 0, ,m ml ll lm ml lm mi ik ki ir rr rk ki ij jj jk kr rp pp pp pp pp p+ += = 且且 ，所以，所以 。1 1lmlm+i ik k 由由C-K方程方程2021-10-1575信息工程學(xué)院四系三教互通狀態(tài)的性質(zhì)v定理定理4.9 如如 ，則，則(1) i與與j同為同為常返常返或或非常返非常返，如為常返，則，如為常返，則它們同為它們同

30、為正常返正常返或或零常返零常返；(2) i與與j有相同的有相同的周期周期。i ij j 互通的狀態(tài)具有相同的常返性和周期。2021-10-1576信息工程學(xué)院四系三教互通狀態(tài)的性質(zhì)v證明證明（1）由于）由于 ，由可達(dá)定義知存在，由可達(dá)定義知存在 和和 ，使得，使得由由C-K方程，對任意方程，對任意 ，總有，總有i ij j 1 1l l 1 1n n ( ( ) )( ( ) )0 0, ,0 0. .l ln ni ij jj ji ip pp pa ab b= = = = ( () )( ( ) )( () )( ( ) )( () ); ; ( (4 4. . 2 27 7) )l l

31、m mn nl lm mn nm mi ii ii ij jj jj jj ji ij jj jp pp p p pp pp pa a b b+ + + = =( () )( ( ) )( () )( ( ) )( () ). . ( (4 4. . 2 28 8) )n nm ml ln nm ml lm mj jj jj ji ii ii ii ij ji ii ip pp pp pp pp pa a b b+ + + = =1 1m m 2021-10-1577信息工程學(xué)院四系三教互通狀態(tài)的性質(zhì)v將上兩式的兩邊對將上兩式的兩邊對m從從1到到求和，得求和，得()()()()1111; ;l

32、 mnml mnmiijjiijjmmmmppppa ba b+= 邋邋( () )( () )1 11 1. .l l m mn nm mj jj ji ii im mm mp pp pa a b b+ + += = = 邋邋可見，可見， 與與 相互控制，所以相互控制，所以它們同為無窮或同為有限。由定理它們同為無窮或同為有限。由定理4.5知知i, j同為常返或同為非常返同為常返或同為非常返。()()1 1m miiiim mp p = = ()()1 1m mjjjjm mp p = = 2021-10-1578信息工程學(xué)院四系三教互通狀態(tài)的性質(zhì)v今設(shè)今設(shè)j為零常返，據(jù)定理為零常返，據(jù)定理4.7之推論知之推論知 于是由于是由(4.28)式知式知 ，故，故i也是零也是零常返。常返。同理可證若同理可證若i是零常返是零常返,由由(4.27)式可證式可證 j為零為零常返。此說明常返。此說明i , j有有一個(gè)為零常返，則另一一個(gè)為零常返，則另一個(gè)也為