第三章 有限元法應(yīng)用中若干問(wèn)題

1、第三章第三章 有限元法應(yīng)用中的若干問(wèn)題有限元法應(yīng)用中的若干問(wèn)題u有限元模型的建立u單元?jiǎng)澐值幕驹瓌tu有限元分析過(guò)程及位移解的下限性質(zhì)u應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的性質(zhì)和處理第一節(jié) 有限元模型的建立v應(yīng)用有限元法分析實(shí)際問(wèn)題的目的是方便、快捷的應(yīng)用有限元法分析實(shí)際問(wèn)題的目的是方便、快捷的得到得到可靠性的結(jié)果可靠性的結(jié)果，其，其分析過(guò)程的有效性和計(jì)算結(jié)分析過(guò)程的有效性和計(jì)算結(jié)果的可靠性果的可靠性成為有限元法的兩大核心問(wèn)題。成為有限元法的兩大核心問(wèn)題。v它涉及到它涉及到合理的有限元模型的建立合理的有限元模型的建立，恰當(dāng)?shù)姆治龇角‘?dāng)?shù)姆治龇桨负陀?jì)算方法的選擇案和計(jì)算方法的選擇以及以及對(duì)計(jì)算結(jié)果的正確解釋和對(duì)計(jì)算結(jié)

2、果的正確解釋和處理處理這三個(gè)方面。這三個(gè)方面。v對(duì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行有限元分析的首要步驟是建立對(duì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行有限元分析的首要步驟是建立合理的有限元模型。其中最主要的是單元類型和形合理的有限元模型。其中最主要的是單元類型和形狀的選擇以及網(wǎng)格的安排和布置。狀的選擇以及網(wǎng)格的安排和布置。1.1單元類型和形狀的選擇1 1、單元的類型、單元的類型v一般來(lái)說(shuō)，單元類型和形狀的選擇依賴于結(jié)構(gòu)或總體一般來(lái)說(shuō)，單元類型和形狀的選擇依賴于結(jié)構(gòu)或總體求解域的求解域的幾何特點(diǎn)和方程的類型以及求解所希望的精幾何特點(diǎn)和方程的類型以及求解所希望的精度度等因素。根據(jù)分析對(duì)象的物理屬性，可選擇固體力等因素。根據(jù)分析對(duì)象的物理

3、屬性，可選擇固體力學(xué)單元、流體力學(xué)單元、熱傳導(dǎo)單元等。學(xué)單元、流體力學(xué)單元、熱傳導(dǎo)單元等。v在固體力學(xué)單元類型中，還可根據(jù)對(duì)象的幾何特點(diǎn)，在固體力學(xué)單元類型中，還可根據(jù)對(duì)象的幾何特點(diǎn)，選擇二維、三維實(shí)體單元，梁、板、殼結(jié)構(gòu)單元等。選擇二維、三維實(shí)體單元，梁、板、殼結(jié)構(gòu)單元等。2 2、單元的形狀、單元的形狀 從單元的幾何形狀上區(qū)別，可以分為一維、二維和從單元的幾何形狀上區(qū)別，可以分為一維、二維和三維單元。三維單元。v一維單元可以是一直線，也可以是一曲線；一維單元可以是一直線，也可以是一曲線；v二維單元可以是三角形單元、矩形單元或四邊形單元；二維單元可以是三角形單元、矩形單元或四邊形單元；v三維單

4、元可以是四面體、五面體、長(zhǎng)方體或一般的六三維單元可以是四面體、五面體、長(zhǎng)方體或一般的六面體。面體。v具有軸對(duì)稱幾何形狀和軸對(duì)稱物理性質(zhì)的三維域能用具有軸對(duì)稱幾何形狀和軸對(duì)稱物理性質(zhì)的三維域能用二維單元繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的三維環(huán)單元進(jìn)行離散。二維單元繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的三維環(huán)單元進(jìn)行離散。真實(shí)的二次曲線真實(shí)的二次曲線.節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)單元單元 二次曲線的線性近似二次曲線的線性近似 (不理想結(jié)果不理想結(jié)果).節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)單元單元二次近似二次近似 (接近于真實(shí)的二次近似擬合接近于真實(shí)的二次近似擬合) (最理想結(jié)果最理想結(jié)果).當(dāng)選擇了某種單元類型時(shí)，即確定地選擇并接受該種單元類型所假定的單元形函數(shù)當(dāng)選擇了某種單元類

5、型時(shí)，即確定地選擇并接受該種單元類型所假定的單元形函數(shù)單元形函數(shù)是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，提供一種描述單元內(nèi)部單元形函數(shù)是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，提供一種描述單元內(nèi)部結(jié)果的結(jié)果的“形狀形狀”，規(guī)定了從節(jié)點(diǎn)，規(guī)定了從節(jié)點(diǎn)DOFDOF值到單元內(nèi)所有點(diǎn)值到單元內(nèi)所有點(diǎn)處處DOFDOF值的計(jì)算方法。值的計(jì)算方法。v形狀的選擇與結(jié)構(gòu)構(gòu)形有關(guān)。三角形適合于不規(guī)則形狀的選擇與結(jié)構(gòu)構(gòu)形有關(guān)。三角形適合于不規(guī)則的形狀，而四邊形則比較適合于規(guī)則形狀。的形狀，而四邊形則比較適合于規(guī)則形狀。v單元階次的選擇與求解域內(nèi)應(yīng)力變化的特點(diǎn)有關(guān)，單元階次的選擇與求解域內(nèi)應(yīng)力變化的特點(diǎn)有關(guān)，應(yīng)力梯度大的區(qū)域，單元階次應(yīng)較高，否則即使網(wǎng)應(yīng)力梯度大的區(qū)

6、域，單元階次應(yīng)較高，否則即使網(wǎng)格密度很密也很難達(dá)到理想的結(jié)果。格密度很密也很難達(dá)到理想的結(jié)果。1.2網(wǎng)格的劃分1.網(wǎng)格疏密的合理布置網(wǎng)格疏密的合理布置v在結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)力集中區(qū)域或應(yīng)力梯度高的區(qū)域應(yīng)在結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)力集中區(qū)域或應(yīng)力梯度高的區(qū)域應(yīng)布布置較密的網(wǎng)格置較密的網(wǎng)格，在應(yīng)力變化平穩(wěn)的區(qū)域可布置較稀，在應(yīng)力變化平穩(wěn)的區(qū)域可布置較稀疏的網(wǎng)格。這樣可以同時(shí)滿足精度和效率的要求。疏的網(wǎng)格。這樣可以同時(shí)滿足精度和效率的要求。一般情況下，為了使結(jié)果達(dá)到必要的精度，可以采一般情況下，為了使結(jié)果達(dá)到必要的精度，可以采取以下一些措施：取以下一些措施：v1）對(duì)于應(yīng)力變化激烈的區(qū)域局部加密網(wǎng)格進(jìn)行重對(duì)于應(yīng)力變化激烈的

7、區(qū)域局部加密網(wǎng)格進(jìn)行重分析。分析。這可以在原網(wǎng)格中進(jìn)行，也可以將高應(yīng)力區(qū)這可以在原網(wǎng)格中進(jìn)行，也可以將高應(yīng)力區(qū)截取出來(lái)進(jìn)行網(wǎng)格加密，并將前一次全結(jié)構(gòu)分析的截取出來(lái)進(jìn)行網(wǎng)格加密，并將前一次全結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果作為結(jié)果作為邊界條件邊界條件施加在局部加密的網(wǎng)格邊界上進(jìn)施加在局部加密的網(wǎng)格邊界上進(jìn)行重分析。后一種方法稱為總體行重分析。后一種方法稱為總體局部分析方法。局部分析方法。v2）采用自適應(yīng)分析方法。）采用自適應(yīng)分析方法。即對(duì)前一次分析的即對(duì)前一次分析的結(jié)果作出誤差估計(jì)，如果誤差超過(guò)規(guī)定，再結(jié)果作出誤差估計(jì)，如果誤差超過(guò)規(guī)定，再由程序自動(dòng)加密網(wǎng)格，或者提高單元階次后由程序自動(dòng)加密網(wǎng)格，或者提高單元階次

8、后進(jìn)行重分析，直至滿足精度要求為止。進(jìn)行重分析，直至滿足精度要求為止。2 2、疏密網(wǎng)格的過(guò)渡、疏密網(wǎng)格的過(guò)渡 在一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的有限元分析中，不同區(qū)域采用疏在一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的有限元分析中，不同區(qū)域采用疏密不同的網(wǎng)格經(jīng)常是必要的。以二維問(wèn)題的不同疏密密不同的網(wǎng)格經(jīng)常是必要的。以二維問(wèn)題的不同疏密劃分的四邊形網(wǎng)格為例，通常有以下三種方案。劃分的四邊形網(wǎng)格為例，通常有以下三種方案。v1）采用形狀不規(guī)則的單元，此方案的不足是可能單元）采用形狀不規(guī)則的單元，此方案的不足是可能單元形狀不好而影響局部的精度；形狀不好而影響局部的精度；v2）采用三角形單元過(guò)渡，其不足是可能因引入不同形）采用三角形單元過(guò)渡，其不足

9、是可能因引入不同形式的單元而帶來(lái)不便；式的單元而帶來(lái)不便；v3）采用多節(jié)點(diǎn)約束方法過(guò)渡。）采用多節(jié)點(diǎn)約束方法過(guò)渡。第二節(jié) 單元?jiǎng)澐衷瓌t2.12.1梁、桿單元?jiǎng)澐值脑瓌t梁、桿單元?jiǎng)澐值脑瓌t v兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的桿構(gòu)成一個(gè)單元，節(jié)點(diǎn)可按以下原則劃兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的桿構(gòu)成一個(gè)單元，節(jié)點(diǎn)可按以下原則劃分：分：1 1）桿件的交點(diǎn)一定要選為節(jié)點(diǎn)）桿件的交點(diǎn)一定要選為節(jié)點(diǎn)( (梯子）；梯子）；2 2）階梯形桿截面變化處一定取為節(jié)點(diǎn)（階梯軸）；）階梯形桿截面變化處一定取為節(jié)點(diǎn)（階梯軸）；3 3）支撐點(diǎn)與自由端要選為節(jié)點(diǎn)（懸臂梁）；）支撐點(diǎn)與自由端要選為節(jié)點(diǎn)（懸臂梁）；4 4）集中載荷作用處最好選為節(jié)點(diǎn)；）集中載荷作用

10、處最好選為節(jié)點(diǎn)；5 5）欲求位移的點(diǎn)要選為節(jié)點(diǎn)；）欲求位移的點(diǎn)要選為節(jié)點(diǎn)；6 6）單元長(zhǎng)度最好基本相同。）單元長(zhǎng)度最好基本相同。 2.2平面單元?jiǎng)澐衷瓌t1.1.單元形狀：?jiǎn)卧螤睿?常用單元形狀有三角形單元、矩形單元和等參數(shù)單元。常用單元形狀有三角形單元、矩形單元和等參數(shù)單元。他們的特點(diǎn)是單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，其計(jì)算精度越高，他們的特點(diǎn)是單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，其計(jì)算精度越高，三角形三角形單元與等參數(shù)單元可適應(yīng)任意邊界。單元與等參數(shù)單元可適應(yīng)任意邊界。 2.2.劃分原則：劃分原則：1 1）劃分單元的個(gè)數(shù)，視計(jì)算機(jī)要求的精度和計(jì)算機(jī)容量而定，）劃分單元的個(gè)數(shù)，視計(jì)算機(jī)要求的精度和計(jì)算機(jī)容量而定，單元分得越

11、多，塊越小其精度越高，但需要的計(jì)算機(jī)容量越單元分得越多，塊越小其精度越高，但需要的計(jì)算機(jī)容量越大，因此，須根據(jù)實(shí)際情況而定。大，因此，須根據(jù)實(shí)際情況而定。 2 2）劃分單元的大小，可根據(jù)部位不同有所不同，）劃分單元的大小，可根據(jù)部位不同有所不同，在位移或應(yīng)力變化大的部位取得單元要小；在在位移或應(yīng)力變化大的部位取得單元要??；在位移或應(yīng)力變化小的部位取得單元要大，在邊位移或應(yīng)力變化小的部位取得單元要大，在邊界比較平滑的部位，單元可大。界比較平滑的部位，單元可大。3 3）劃分單元的形狀，一般均可取成三角形或等）劃分單元的形狀，一般均可取成三角形或等參元。對(duì)于平直邊界可取成矩形單元，有時(shí)也參元。對(duì)于平

12、直邊界可取成矩形單元，有時(shí)也可以將不同單元混合使用，可以將不同單元混合使用，但要注意，必須節(jié)但要注意，必須節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)相連，切莫將節(jié)點(diǎn)與單元的邊相連。點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)相連，切莫將節(jié)點(diǎn)與單元的邊相連。4 4）單元各邊的長(zhǎng)不要相差太大，否則將影響）單元各邊的長(zhǎng)不要相差太大，否則將影響求解精度。求解精度。5 5）盡量把集中力或集中力偶的作用點(diǎn)選為節(jié)）盡量把集中力或集中力偶的作用點(diǎn)選為節(jié)點(diǎn)。點(diǎn)。6 6）盡量利用對(duì)稱性，以減少計(jì)算量（有限元）盡量利用對(duì)稱性，以減少計(jì)算量（有限元法的最大優(yōu)點(diǎn)在于使用了矩陣的方法）。法的最大優(yōu)點(diǎn)在于使用了矩陣的方法）。第三節(jié) 有限元分析過(guò)程及位移解的下限性質(zhì)3.13.1有限元法分析過(guò)

13、程有限元法分析過(guò)程v有限元法分析過(guò)程大體可分為：前處理、分析、后有限元法分析過(guò)程大體可分為：前處理、分析、后處理三大步驟。處理三大步驟。v對(duì)實(shí)際的連續(xù)體經(jīng)過(guò)離散化后就建立了有限元分析對(duì)實(shí)際的連續(xù)體經(jīng)過(guò)離散化后就建立了有限元分析模型，這一過(guò)程是有限元的模型，這一過(guò)程是有限元的前處理過(guò)程前處理過(guò)程。在這一階。在這一階段，主要包括段，主要包括構(gòu)造計(jì)算對(duì)象的幾何模型、劃分有限構(gòu)造計(jì)算對(duì)象的幾何模型、劃分有限元網(wǎng)格、生成有限元分析的輸入數(shù)據(jù)元網(wǎng)格、生成有限元分析的輸入數(shù)據(jù)，這一步是有，這一步是有限元分析的關(guān)鍵。限元分析的關(guān)鍵。v分析過(guò)程分析過(guò)程主要包括：?jiǎn)卧治?、整體分析、載主要包括：?jiǎn)卧治?、整體分析

14、、載荷移置、引入約束、求解約束方程等過(guò)程。這荷移置、引入約束、求解約束方程等過(guò)程。這一過(guò)程是有限元分析的核心部分，有限元理論一過(guò)程是有限元分析的核心部分，有限元理論主要體現(xiàn)在這一過(guò)程中。主要體現(xiàn)在這一過(guò)程中。v有限元法包括三類：有限元法包括三類：有限元位移法、有限元位移法、有限元力有限元力法、有限元混合法。在有限元位移法中，選節(jié)法、有限元混合法。在有限元位移法中，選節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量；在有限元力法中，選點(diǎn)位移作為基本未知量；在有限元力法中，選節(jié)點(diǎn)力作為未知量；在有限元混合法中，選一節(jié)點(diǎn)力作為未知量；在有限元混合法中，選一部分基本未知量為節(jié)點(diǎn)位移，另一部分基本未部分基本未知量為節(jié)點(diǎn)位移，另一

15、部分基本未知量為節(jié)點(diǎn)力。知量為節(jié)點(diǎn)力。v有限元位移法計(jì)算過(guò)程的系統(tǒng)性、規(guī)律性強(qiáng)，特有限元位移法計(jì)算過(guò)程的系統(tǒng)性、規(guī)律性強(qiáng)，特別適宜于編程求解。一般除板殼問(wèn)題的有限元應(yīng)別適宜于編程求解。一般除板殼問(wèn)題的有限元應(yīng)用一定量的混合法外，用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移其余全部采用有限元位移法。法。因此，一般不做特別聲明，有限元法指的是因此，一般不做特別聲明，有限元法指的是有限元位移法。有限元位移法。v有限元分析的后處理有限元分析的后處理主要包括對(duì)主要包括對(duì)計(jì)算結(jié)果的加工計(jì)算結(jié)果的加工處理、編輯組織和圖形表示處理、編輯組織和圖形表示三個(gè)方面。它可以把三個(gè)方面。它可以把有限元分析得到的數(shù)據(jù)，進(jìn)一

16、步轉(zhuǎn)換為設(shè)計(jì)人員有限元分析得到的數(shù)據(jù)，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為設(shè)計(jì)人員直接需要的信息，如應(yīng)力分布狀態(tài)、結(jié)構(gòu)變形狀直接需要的信息，如應(yīng)力分布狀態(tài)、結(jié)構(gòu)變形狀態(tài)等，并且繪成直觀的圖形，從而幫助設(shè)計(jì)人員態(tài)等，并且繪成直觀的圖形，從而幫助設(shè)計(jì)人員迅速的評(píng)價(jià)和校核設(shè)計(jì)方案。迅速的評(píng)價(jià)和校核設(shè)計(jì)方案。3.2選擇位移函數(shù)的一般原則v有限元的分析過(guò)程都依賴于假定的單元位移函數(shù)或有限元的分析過(guò)程都依賴于假定的單元位移函數(shù)或位移模式。因此，為了得到滿意的解答，必須是假位移模式。因此，為了得到滿意的解答，必須是假定的位移場(chǎng)盡可能逼近彈性體的真實(shí)位移形態(tài)。定的位移場(chǎng)盡可能逼近彈性體的真實(shí)位移形態(tài)。v如果假定的單元位移場(chǎng)與彈性體的

17、真實(shí)位移場(chǎng)完全如果假定的單元位移場(chǎng)與彈性體的真實(shí)位移場(chǎng)完全一致，有限元解便是精確解。如桁架和剛架的單元一致，有限元解便是精確解。如桁架和剛架的單元位移場(chǎng)與彈性桿件的變形是一樣的，因而位移場(chǎng)與彈性桿件的變形是一樣的，因而桁架和剛桁架和剛架的有限元解是精確的。而在連續(xù)體彈性力學(xué)有限架的有限元解是精確的。而在連續(xù)體彈性力學(xué)有限元法中，一般找不到真實(shí)位移場(chǎng)，所以只能得到近元法中，一般找不到真實(shí)位移場(chǎng)，所以只能得到近似似解。v單元的位移函數(shù)一般采用以包含若干待定參數(shù)單元的位移函數(shù)一般采用以包含若干待定參數(shù)的多項(xiàng)式作為近似函數(shù)，稱為位移多項(xiàng)式。有的多項(xiàng)式作為近似函數(shù)，稱為位移多項(xiàng)式。有限項(xiàng)多項(xiàng)式選取的原則

18、應(yīng)考慮以下幾點(diǎn)：限項(xiàng)多項(xiàng)式選取的原則應(yīng)考慮以下幾點(diǎn)：v1 1）待定參數(shù)是由節(jié)點(diǎn)場(chǎng)變量確定的，因此待）待定參數(shù)是由節(jié)點(diǎn)場(chǎng)變量確定的，因此待定參數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)與單元的自由度數(shù)相同。定參數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)與單元的自由度數(shù)相同。v2 2）對(duì)于應(yīng)變由位移的一階導(dǎo)數(shù)確定問(wèn)題，選取多項(xiàng)式時(shí)，對(duì)于應(yīng)變由位移的一階導(dǎo)數(shù)確定問(wèn)題，選取多項(xiàng)式時(shí)，常數(shù)項(xiàng)和坐標(biāo)的一次項(xiàng)必須完備。常數(shù)項(xiàng)和坐標(biāo)的一次項(xiàng)必須完備。位移函數(shù)中常數(shù)項(xiàng)和坐標(biāo)位移函數(shù)中常數(shù)項(xiàng)和坐標(biāo)的一次項(xiàng)分別反映了單元?jiǎng)傮w位移和常應(yīng)變的特性，但劃分的一次項(xiàng)分別反映了單元?jiǎng)傮w位移和常應(yīng)變的特性，但劃分的單元趨近于無(wú)窮時(shí)，單元趨于無(wú)窮小，此時(shí)單元應(yīng)變趨于的單元趨近于無(wú)窮時(shí)，單元趨

19、于無(wú)窮小，此時(shí)單元應(yīng)變趨于常應(yīng)變。而當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移是常應(yīng)變。而當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移是由某個(gè)剛體位移由某個(gè)剛體位移引起時(shí)，彈性體內(nèi)引起時(shí)，彈性體內(nèi)不應(yīng)該有應(yīng)變，這些特性必須在選擇的位移多項(xiàng)式中予以體不應(yīng)該有應(yīng)變，這些特性必須在選擇的位移多項(xiàng)式中予以體現(xiàn)。同理，現(xiàn)。同理，對(duì)于應(yīng)變由位移的二階導(dǎo)數(shù)定義的場(chǎng)問(wèn)題，常數(shù)對(duì)于應(yīng)變由位移的二階導(dǎo)數(shù)定義的場(chǎng)問(wèn)題，常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)和二次項(xiàng)必須完備。項(xiàng)、一次項(xiàng)和二次項(xiàng)必須完備。v3 3）多項(xiàng)式的選取應(yīng)由低階到高階，盡量）多項(xiàng)式的選取應(yīng)由低階到高階，盡量選取完整性階數(shù)高的多項(xiàng)式以提高單元選取完整性階數(shù)高的多項(xiàng)式以提高單元精度（稱為單元的完備性）。精度（稱為單元的完備性）。v不同節(jié)點(diǎn)

20、、不同形狀的單元的表達(dá)式不不同節(jié)點(diǎn)、不同形狀的單元的表達(dá)式不同，后續(xù)將介紹。同，后續(xù)將介紹。3.3 收斂性v有限元法是一種數(shù)值分析方法，因此應(yīng)考慮收斂性問(wèn)題。v有限元法的收斂性是指：當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元解答的序列收斂到精確解；或者當(dāng)單元尺寸固定時(shí)，每個(gè)單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。v有限元的收斂條件有限元的收斂條件包括如下四個(gè)方面：包括如下四個(gè)方面：1 1）單元內(nèi)，）單元內(nèi)，位移函數(shù)必須連續(xù)位移函數(shù)必須連續(xù)。多項(xiàng)式是單值。多項(xiàng)式是單值連續(xù)函數(shù)，因此選擇多項(xiàng)式作為位移函數(shù)，在連續(xù)函數(shù)，因此選擇多項(xiàng)式作為位移函數(shù)，在單元內(nèi)的連續(xù)性能夠保證。單元內(nèi)的連續(xù)性能夠保證。（等效積分

21、的弱形（等效積分的弱形式的體現(xiàn)）式的體現(xiàn)）v2 2）在單元內(nèi)，）在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項(xiàng)位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項(xiàng)。每個(gè)。每個(gè)單元的應(yīng)變狀態(tài)總可以分解為不依賴于單元內(nèi)各點(diǎn)單元的應(yīng)變狀態(tài)總可以分解為不依賴于單元內(nèi)各點(diǎn)位置的位置的常應(yīng)變常應(yīng)變和由各點(diǎn)位置決定的和由各點(diǎn)位置決定的變量應(yīng)變變量應(yīng)變。當(dāng)單。當(dāng)單元的尺寸足夠小時(shí)，單元中各點(diǎn)的應(yīng)變趨于相等，元的尺寸足夠小時(shí)，單元中各點(diǎn)的應(yīng)變趨于相等，單元的變形比較均勻，因而常應(yīng)變就成為應(yīng)變的主單元的變形比較均勻，因而常應(yīng)變就成為應(yīng)變的主要部分。為反映單元的應(yīng)變狀態(tài)，單元位移函數(shù)必要部分。為反映單元的應(yīng)變狀態(tài)，單元位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項(xiàng)。須包括常應(yīng)

22、變項(xiàng)。v3 3）在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括剛體位移項(xiàng)。在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括剛體位移項(xiàng)。一般情況下，一般情況下，單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移包括形變位移和剛體位移兩部分。形變單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移包括形變位移和剛體位移兩部分。形變位移與物體形狀及體積的改變相聯(lián)系，因而產(chǎn)生應(yīng)變；剛體位移與物體形狀及體積的改變相聯(lián)系，因而產(chǎn)生應(yīng)變；剛體位移只改變物體的位置，不改變物體的形狀和體積，即剛體位移只改變物體的位置，不改變物體的形狀和體積，即剛體位移是不產(chǎn)生變形的位移?？臻g一個(gè)物體包括三個(gè)平動(dòng)位移位移是不產(chǎn)生變形的位移。空間一個(gè)物體包括三個(gè)平動(dòng)位移和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)位移，共有六個(gè)剛體位移分量。和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)位移，共有六個(gè)剛體位

23、移分量。v由于一個(gè)單元牽連在另一些單元上，其他單元發(fā)生變形時(shí)必將帶動(dòng)單元做剛體位移，由此可見(jiàn)，為模擬一個(gè)單元的真實(shí)位移，假定的單元位移函數(shù)必須包括剛體位移項(xiàng)。v4 4）位移函數(shù)在相鄰的公共邊界上必須協(xié)調(diào)。位移函數(shù)在相鄰的公共邊界上必須協(xié)調(diào)。對(duì)一般單元而對(duì)一般單元而言，協(xié)調(diào)性是指相鄰單元在公共節(jié)點(diǎn)處也有相同的位移，也言，協(xié)調(diào)性是指相鄰單元在公共節(jié)點(diǎn)處也有相同的位移，也就是說(shuō)，要就是說(shuō)，要保證不發(fā)生單元的相互脫離開(kāi)裂和相互侵入重疊。保證不發(fā)生單元的相互脫離開(kāi)裂和相互侵入重疊。要做到這一點(diǎn)，就要求函數(shù)在公共邊界上能由公共節(jié)點(diǎn)的函要做到這一點(diǎn)，就要求函數(shù)在公共邊界上能由公共節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值唯一確定。對(duì)一般

24、單元，協(xié)調(diào)性保證了相鄰單元邊界位數(shù)值唯一確定。對(duì)一般單元，協(xié)調(diào)性保證了相鄰單元邊界位移的連續(xù)性。移的連續(xù)性。v但是，在板殼的相鄰單元之間，還要求位移的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，但是，在板殼的相鄰單元之間，還要求位移的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，只有這樣，才能保證結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能是有界量。只有這樣，才能保證結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能是有界量。v總的說(shuō)來(lái)，協(xié)調(diào)性是指在相鄰單元的公共邊界上滿足連續(xù)性總的說(shuō)來(lái)，協(xié)調(diào)性是指在相鄰單元的公共邊界上滿足連續(xù)性條件。條件。v前三條又叫完備性條件，滿足完備條件的單元叫完備單元；前三條又叫完備性條件，滿足完備條件的單元叫完備單元；第四條是協(xié)調(diào)性要求，滿足協(xié)調(diào)性的單元叫協(xié)調(diào)單元；否則第四條是協(xié)調(diào)性要求，滿足協(xié)

25、調(diào)性的單元叫協(xié)調(diào)單元；否則稱為非協(xié)調(diào)單元。完備性要求是收斂的必要條件，四條全部稱為非協(xié)調(diào)單元。完備性要求是收斂的必要條件，四條全部滿足，構(gòu)成收斂的充分必要條件。滿足，構(gòu)成收斂的充分必要條件。3.4有限元位移解的下限性質(zhì)v在用有限元位移法求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)在用有限元位移法求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí), ,要應(yīng)用最要應(yīng)用最小位能原理。根據(jù)最小位能原理求得的位移近似解，小位能原理。根據(jù)最小位能原理求得的位移近似解，其值將小于精確解。這種位移近似解稱為下限解。其值將小于精確解。這種位移近似解稱為下限解。v位移解的下限性質(zhì)可以解釋為：?jiǎn)卧沁B續(xù)體的一部分，位移解的下限性質(zhì)可以解釋為：?jiǎn)卧沁B續(xù)體的一部分，具有

26、無(wú)限多個(gè)自由度。在假定了單元的位移函數(shù)后，自由度具有無(wú)限多個(gè)自由度。在假定了單元的位移函數(shù)后，自由度限制為只有以節(jié)點(diǎn)位移表示的有限自由度，即位移函數(shù)對(duì)單限制為只有以節(jié)點(diǎn)位移表示的有限自由度，即位移函數(shù)對(duì)單元的變形進(jìn)行了元的變形進(jìn)行了約束的限制約束的限制，使單元的剛度較實(shí)際連續(xù)體加，使單元的剛度較實(shí)際連續(xù)體加大了，因此連續(xù)體的整體剛度隨之增加，離散后的剛度比實(shí)大了，因此連續(xù)體的整體剛度隨之增加，離散后的剛度比實(shí)際剛度大，求得的位移近似解總體上（而不是每一點(diǎn)）將小際剛度大，求得的位移近似解總體上（而不是每一點(diǎn)）將小于精確解。于精確解。第四節(jié) 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的性質(zhì)和處理v應(yīng)用位移元進(jìn)行有限元分析時(shí)，未

27、知的場(chǎng)函數(shù)是位移。利用應(yīng)用位移元進(jìn)行有限元分析時(shí)，未知的場(chǎng)函數(shù)是位移。利用系統(tǒng)的總位能系統(tǒng)的總位能pp（表示各單元（表示各單元e e之和）的變分得到的求解之和）的變分得到的求解方程是系統(tǒng)的平衡方程。雖然它滿足各個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡條件以方程是系統(tǒng)的平衡方程。雖然它滿足各個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡條件以及各個(gè)單元和整個(gè)結(jié)構(gòu)的總體平衡條件，但是從求解方程解及各個(gè)單元和整個(gè)結(jié)構(gòu)的總體平衡條件，但是從求解方程解得的則是各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移值。而得的則是各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移值。而實(shí)際工程問(wèn)題所需要的往往實(shí)際工程問(wèn)題所需要的往往是應(yīng)力的分布，特別是最大應(yīng)力的位置和數(shù)值。是應(yīng)力的分布，特別是最大應(yīng)力的位置和數(shù)值。為此需要利為此需要利用以下公

28、式由已解得的節(jié)點(diǎn)位移算出單元內(nèi)的應(yīng)力。用以下公式由已解得的節(jié)點(diǎn)位移算出單元內(nèi)的應(yīng)力。v =Ba=Bae e =D=D Ba =D=D Bae e va ae e為節(jié)點(diǎn)位移矩陣為節(jié)點(diǎn)位移矩陣v應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣B B是插值函數(shù)是插值函數(shù)N N對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行求導(dǎo)后得到的矩陣。求導(dǎo)對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行求導(dǎo)后得到的矩陣。求導(dǎo)一次，插值多項(xiàng)式的次數(shù)就降低一次。所以通過(guò)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算得一次，插值多項(xiàng)式的次數(shù)就降低一次。所以通過(guò)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算得到的應(yīng)變到的應(yīng)變和應(yīng)力和應(yīng)力精度較位移精度較位移u u降低了，即利用以上兩式降低了，即利用以上兩式得到的得到的和和的解答可能具有較大的誤差。的解答可能具有較大的誤差。應(yīng)力解的近似性表現(xiàn)在：應(yīng)力解

29、的近似性表現(xiàn)在：v1 1）單元內(nèi)部一般不滿足平衡方程；）單元內(nèi)部一般不滿足平衡方程；v2 2）單元與單元的交界面上應(yīng)力一般不連續(xù)；）單元與單元的交界面上應(yīng)力一般不連續(xù)；v3 3）在力的邊界上一般也不滿足力的邊界條件。）在力的邊界上一般也不滿足力的邊界條件。v這是因?yàn)槠胶夥匠淌胶土Φ倪吔鐥l件以及單元交界面上內(nèi)力的連續(xù)條件是泛函p的歐拉方程，只有在位移變分完全任意的情況下，歐拉方程才能精確的滿足。v在有限元方法中，只有當(dāng)單元尺寸趨于零時(shí)，即自由度數(shù)趨于無(wú)窮大時(shí)，才能精確的滿足平衡方程和力的邊界條件以及單元交界面上力的連續(xù)條件。v當(dāng)單元尺寸限制時(shí)，即自由度數(shù)為有限時(shí)，這些方程只能是近似的滿足。除非實(shí)

30、際應(yīng)力變化的階次等于或低于所采用單元的應(yīng)力階次，得到的只能是近似的解答。因此，如何從有限元的位移解得到較好的應(yīng)力解，就成為需要研究和解決的問(wèn)題。4.1應(yīng)力近似解的性質(zhì)v我們已知最小位能原理求得的位移解具有下限性質(zhì)。由于我們已知最小位能原理求得的位移解具有下限性質(zhì)。由于近近似解的總位能一般總是大于精確解的總位能，而近似解的應(yīng)似解的總位能一般總是大于精確解的總位能，而近似解的應(yīng)變能一般地總是小于精確解的應(yīng)變能。變能一般地總是小于精確解的應(yīng)變能。因此，得到的位移解因此，得到的位移解總體上偏小?？傮w上偏小。v分析得出，應(yīng)變解或應(yīng)力解的重要特點(diǎn)是：應(yīng)變近似解和應(yīng)分析得出，應(yīng)變解或應(yīng)力解的重要特點(diǎn)是：應(yīng)變近似解和應(yīng)力近似解必然在精確解上下振蕩，并在某些點(diǎn)上，近似解正力近似解必然在精確解上下振蕩，并在某些點(diǎn)上，近似解正好是精確解，亦即在單元內(nèi)存在最佳應(yīng)力點(diǎn)。應(yīng)力解的這個(gè)好是精確解，亦即在單元內(nèi)存在最佳應(yīng)力點(diǎn)。應(yīng)力解的這個(gè)特點(diǎn)將有助于處理應(yīng)力計(jì)算的結(jié)果，改善應(yīng)力解的精度。特點(diǎn)將有助于處理應(yīng)力計(jì)算的結(jié)果，改善應(yīng)力解的精