第2章 流體運(yùn)動(dòng)基本方程

1、第2章 流體運(yùn)動(dòng)的基本方程流體運(yùn)動(dòng)極其復(fù)雜，但也有其內(nèi)在規(guī)律。這些規(guī)律就是自然科學(xué)中通過大量實(shí)踐和實(shí)驗(yàn)歸納出來的質(zhì)量守恒定律、動(dòng)量定理、能量守恒定律、熱力學(xué)定律以及物體的物性。它們?cè)诹黧w力學(xué)中有其獨(dú)特的表達(dá)形式，組成了制約流體運(yùn)動(dòng)的基本方程。本章將根據(jù)上述基本定律及流體的性質(zhì)推導(dǎo)流體運(yùn)動(dòng)的基本方程，并給出不同的表達(dá)形式。2.1 連續(xù)方程2.1.1 微分形式的連續(xù)方程質(zhì)量守恒定律表明，同一流體的質(zhì)量在運(yùn)動(dòng)過程中保持不變。下面從質(zhì)量守恒定律出發(fā)推導(dǎo)連續(xù)性方程。在流體中任取由一定流體質(zhì)點(diǎn)組成的物質(zhì)體，其體積為，質(zhì)量為，則根據(jù)質(zhì)量守恒定律，下式在任一時(shí)刻都成立 (2-1)應(yīng)用物質(zhì)體積分的隨體導(dǎo)數(shù)公式（

2、1-15b），則因假定流體為連續(xù)介質(zhì)，流體密度和速度均為空間和時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，被積函數(shù)連續(xù)，且體積是任意選取的，故被積函數(shù)必須恒等于零，于是有 （2-2a）或 （2-3a）上式亦可以寫成如下形式 （2-2b）或 （2-3b）式（2-2）和式（2-3）稱為微分形式的連續(xù)性方程。在直角坐標(biāo)系中，微分形式的連續(xù)性方程為 （2-4）微分形式的連續(xù)性方程適用于可壓縮流體非恒定流，它表達(dá)了任何可實(shí)現(xiàn)的流體運(yùn)動(dòng)所必須滿足的連續(xù)性條件。其物理意義是，流體在單位時(shí)間流經(jīng)單位體積空間時(shí)，流出與流入的質(zhì)量差與其內(nèi)部質(zhì)量變化的代數(shù)和為零。由式（2-2）可對(duì)不可壓縮流體給出確切定義。不可壓縮流體的條件應(yīng)為 （2-5）即

3、密度應(yīng)隨質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)保持不變。只是指密度是恒定不變的，但流體質(zhì)點(diǎn)密度還可以在流動(dòng)中隨位置發(fā)生變化。只有滿足式（2-5），質(zhì)點(diǎn)密度才能保持不變。但不能排除各個(gè)質(zhì)點(diǎn)可以具有各自不同的密度。如海水在河口淡水下面的入侵（圖2-1），含細(xì)顆粒泥沙的渾水在水庫的清水下面沿庫底的的運(yùn)動(dòng)（圖2-2），都是具有不同密度的不可壓縮流動(dòng)。在這種流動(dòng)中，因密度不同形成不同的流層，常稱為分層流動(dòng)。圖2-1 河口的海水入侵1圖2-2 水庫中的渾水異重流1對(duì)不可壓縮均質(zhì)流體，則不但，而是在全流場和全部時(shí)間內(nèi)常數(shù)，因此，連續(xù)性方程簡化為 （2-6a）以張量形式表示 （2-6b）以矢量表示（2-6c）即速度的散度為零?；?qū)憺椋?-

4、6d）對(duì)不可壓縮流體二元流，連續(xù)性微分方程可寫為 （2-7）微分形式的連續(xù)性方程也可通過下面的方法推導(dǎo)。設(shè)想在流場中取一空間微分平行六面體（圖2-3），六面體的邊長為，其形心為A(x,y,z)，A點(diǎn)的流速在各坐標(biāo)軸的投影為，A點(diǎn)的密度為。圖2-3 微分平行六面體分析該六面體流體質(zhì)量的變化。經(jīng)一微小時(shí)段，自左面流入的流體質(zhì)量為 ；自右面流出的流體質(zhì)量為 ，故時(shí)段內(nèi)沿x方向流入與流出六面體的流體質(zhì)量差為同理，在時(shí)段內(nèi)沿y和z方向流進(jìn)與流出六面體的流體質(zhì)量之差分別為 和 因此，在時(shí)段內(nèi)流進(jìn)與流出六面體總的流體質(zhì)量的變化為因六面體內(nèi)原來的平均密度為，總質(zhì)量為；經(jīng)時(shí)段后平均密度變?yōu)?，總質(zhì)量變?yōu)?，故?jīng)過時(shí)

5、段后六面體內(nèi)質(zhì)量總變化為在同一時(shí)段內(nèi)，流進(jìn)與流出六面體總的流體質(zhì)量的差值應(yīng)與六面體內(nèi)因密度變化所引起的總的質(zhì)量變化相等，即兩端除以后即得式（2-4）。2.1.2 積分形式的連續(xù)方程對(duì)式（2-1）應(yīng)用物質(zhì)體積分的隨體導(dǎo)數(shù)公式（1-15a），則有 （2-8）這就是積分形式的連續(xù)性方程。 對(duì)于圓管或明渠一維恒定流動(dòng)，因，則式（2-8）簡化為 （2-9）上式的物理意義是，單位時(shí)間內(nèi)流入和流出某一管段或某一明渠段的流體質(zhì)量必相等。這個(gè)條件可簡單地表示為 （2-10a）或 （2-10b）式中和為管段或明渠段的流入斷面和流出斷面的面積，和為上述兩斷面的平均速度。式（2-10）即為水力學(xué)中經(jīng)常用到的總流的連續(xù)

6、性方程。該式說明，在不可壓縮流體總流中，任意兩個(gè)過流斷面所通過的流量相等。也就是說，上游斷面流進(jìn)多少流量，下游任何斷面也必然流出多少流量。2.2 運(yùn)動(dòng)方程連續(xù)性方程是控制流體運(yùn)動(dòng)的基本方程之一，它只限于流體運(yùn)動(dòng)必須遵循的一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)條件。因此，還須從動(dòng)力學(xué)角度提出流動(dòng)必須滿足的條件，即運(yùn)動(dòng)方程(equation of motion），這樣才組成求解流動(dòng)的最基本方程組。2.2.1 應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程以圖1-9所示的流體中的微小六面體作為隔離體進(jìn)行分析。微小六面體的質(zhì)量為。作用在六面體上的表面力每面有三個(gè)：一個(gè)法向應(yīng)力，兩個(gè)切應(yīng)力。設(shè)法向應(yīng)力沿外法線方向?yàn)檎O(shè)包含A點(diǎn)的三個(gè)面上的切應(yīng)力為負(fù)向，則包

7、含H點(diǎn)的三個(gè)面上的切應(yīng)力必為正向。根據(jù)牛頓第二定律寫出x方向的動(dòng)力平衡方程式化簡后得x方向的方程。同理可得方向的方程。則 （2-11a）上式就是以應(yīng)力表示的粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式。這是流體運(yùn)動(dòng)方程最一般的表達(dá)形式。 寫成張量形式 （2-11b）寫成矢量形式 (2-11c）式中，表示單位體積上的慣性力；表示單位體積上的質(zhì)量力；而則表示單位體積上的應(yīng)力張量的散度。于是運(yùn)動(dòng)方程（2-11c）表明單位體積上的慣性力等于單位體積上的質(zhì)量力加上單位體積上應(yīng)力張量的散度。上述推導(dǎo)表明，流體運(yùn)動(dòng)方程即是牛頓第二定律在流體運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用。因牛頓第二定律就是動(dòng)量定律，因此運(yùn)動(dòng)方程有時(shí)也稱動(dòng)量方程。流體運(yùn)動(dòng)方程也可

8、從動(dòng)量定理直接導(dǎo)出，下面進(jìn)行推導(dǎo)。 任取一體積為的流體，它的邊界為。根據(jù)動(dòng)量定理，體積中流體動(dòng)量的變化率等于作用在該體積上的質(zhì)量力和表面力之和。以表示作用在單位質(zhì)量上的質(zhì)量力分布函數(shù)，而為作用在單位面積上的表面力分布函數(shù)，則作用在上和上的總質(zhì)量力和表面力為及，其次，體積內(nèi)的動(dòng)量是。于是動(dòng)量定理可寫成下列表達(dá)式 (2-12) 對(duì)上式左端項(xiàng)，利用質(zhì)量守恒定律，有下式成立對(duì)上式右端第二項(xiàng)應(yīng)用奧高定理，有下式成立其中是應(yīng)力張量。于是式（2-12）變?yōu)?因任意，且假定被積函數(shù)連續(xù)，因此被積函數(shù)恒為零，得 （2-11c）上式也稱為微分形式的動(dòng)量方程，一般稱為運(yùn)動(dòng)方程。2.2.2 納維斯托克斯方程將不可壓縮

9、牛頓流體的本構(gòu)方程式 （1-41a）代入式（2-11b），并應(yīng)用變形率張量 （1-23）則有 （2-13）對(duì)于不可壓縮流體，則而其中，為拉普拉斯（Laplace）算子。將上式代入式（2-13），得 （2-14a）上式即是納維斯托克斯(Navier-Stokes)方程，簡稱N-S方程。式中為運(yùn)動(dòng)粘滯系數(shù)，。或?qū)懗梢韵滦问?（2-14b） （2-14c） （2-14d）式中，是哈密頓（Hamilton）算子，是壓強(qiáng)梯度。在直角坐標(biāo)系下，上述方程表述為 （2-14e）或（2-14f）上述N-S方程是不可壓縮粘性流體的普遍方程。N-S方程中有四個(gè)未知數(shù)，因N-S方程組和連續(xù)性方程共有四個(gè)方程式，所以從

10、理論上講是可求解的，但實(shí)際上由于數(shù)學(xué)上的困難，N-S方程尚不能求出普遍解。一般只能在簡單的邊界條件，并略去一些次要因素，才能求得解析解。隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，一些復(fù)雜的流體運(yùn)動(dòng)的數(shù)值求解日漸完善。如果流體為理想流體，運(yùn)動(dòng)粘滯系數(shù)，則N-S方程即成為理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程，即Euler運(yùn)動(dòng)微分方程方程 （2-15a）或 （2-15b）如果流體為靜止或相對(duì)靜止流體，則N-S方程即成為流體的平衡微分方程，即Euler平衡微分方程方程： （2-16a）或 （2-16b）2.2.3 蘭姆葛羅米柯方程在運(yùn)動(dòng)方程式（2-15）中，將加速度寫成考慮到場論中基本運(yùn)算公式我們有 （2-17）將慣性加速度寫成上述形式

11、的優(yōu)點(diǎn)在于它將中的位勢部分和渦旋部分分開，這樣做在解決具體問題時(shí)常常是方便的。將式（2-17）代入式（2-15），得 （2-18）這就是所謂得蘭姆葛羅米柯（）形式的運(yùn)動(dòng)方程。2.3 動(dòng)量方程 流體運(yùn)動(dòng)方程聯(lián)同連續(xù)性方程原則上已可求解流動(dòng)的流速分布和壓強(qiáng)分布。進(jìn)而，由流速分布通過本構(gòu)方程求得切應(yīng)力分布。通過積分即可求出某一作用面上流體合力，這常常是許多工程問題所需要尋求的。例如作用于水輪機(jī)葉片上的力，作用于火箭的合力，以及作用于螺旋槳的推力等。但工程上往往只關(guān)心總的合力，并不關(guān)心其分布情況。若按上述方法，工作量甚大，又非必需。而動(dòng)量方程（動(dòng)量的積分方程）則可以簡單方便地解決這類問題。下面從動(dòng)量定

12、理出發(fā)推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方程。與推導(dǎo)流體運(yùn)動(dòng)方程（微分形式的動(dòng)量方程）的方法相同，任取一體積為的流體，它的邊界面為。根據(jù)動(dòng)量定理，體積中流體動(dòng)量的變化率等于作用在該體積上的質(zhì)量力和表面力之和。以表示作用在單位質(zhì)量上的質(zhì)量力分布函數(shù)，而為作用在單位面積上的表面力分布函數(shù)，則作用在上和上的總質(zhì)量力和表面力為及，其次，體積內(nèi)的動(dòng)量是。于是動(dòng)量定理可寫成下列表達(dá)式 (2-12)對(duì)上式左邊應(yīng)用物質(zhì)體積分的隨體導(dǎo)數(shù)公式（1-16）得 (2-19a)這就是積分形式的動(dòng)量方程，一般稱為動(dòng)量方程(momentum equation)。式中，是表面外法線方向的速度分量。 把總質(zhì)量力和表面力為及分別用和表示，則上式表示為 (

13、2-19b)這就是動(dòng)量方程的普遍形式。式中左端第一項(xiàng)表示體積內(nèi)流體動(dòng)量隨時(shí)間的變化率；第二項(xiàng)表示穿越邊界面的動(dòng)量流量。動(dòng)量方程表明這兩項(xiàng)矢量和等于作用于體積的外力的矢量和。為了應(yīng)用方便，常采用直角坐標(biāo)系投影形式的動(dòng)量方程： (2-19c)對(duì)于恒定流動(dòng)，動(dòng)量方程左端第一項(xiàng)等于零，式（2-19b可簡化為 (2-20a)在直角坐標(biāo)系下的投影式（2-19c）可簡化為 (2-20b)對(duì)于一元流動(dòng)，因沿流動(dòng)方向邊界面的法向速度為零，故穿越邊界面的動(dòng)量流量只有，動(dòng)量變化只考慮進(jìn)流和出流兩過流斷面。若進(jìn)流和出流兩過流斷面1和2的動(dòng)量分別用其斷面平均流速和表示，引入動(dòng)量修正系數(shù)和，其動(dòng)量分別表示為和，因此一元恒

14、定流動(dòng)量方程可寫為 （2-21）對(duì)于沒有流量匯入與流出的一元恒定流動(dòng)，考慮連續(xù)性方程，并令作用于總流段上所有外力的合力，則上式寫為 （2-22a）這就是在水力學(xué)或流體力學(xué)中常用的一元恒定總流的動(dòng)量方程矢量形式。它的投影形式為 （2-22b）2.4 能量方程 原則上講，聯(lián)合求解運(yùn)動(dòng)方程和連續(xù)方程可以得到不可壓縮流體的流場各點(diǎn)的流速和壓強(qiáng)，但當(dāng)不可壓縮流體需考慮溫度或能量變化，則還需要另一個(gè)基本方程，即能量方程。2.4.1 積分形式的能量方程將能量守恒定律具體應(yīng)用于流體運(yùn)動(dòng)即得流體運(yùn)動(dòng)的能量方程。實(shí)際流體有粘性，粘滯切應(yīng)力作功而消耗機(jī)械能，這些機(jī)械能是以轉(zhuǎn)化為熱能的方式而耗損的，所以能量守恒的關(guān)系

15、對(duì)于實(shí)際流體來說應(yīng)同時(shí)考慮機(jī)械能和熱能在內(nèi)。在流場中任取一控制體，其界面為，體積為。對(duì)于該流體，能量守恒定律可表達(dá)為：體積內(nèi)流體總能量的變化率等于單位時(shí)間內(nèi)由外界傳入該流體的熱量加上外力對(duì)該流體所作的功。表述如下 （223）式中，為體秏內(nèi)流體的總能量；串單位斲間內(nèi)由外界傳入流佑的熱量；串同一時(shí)段內(nèi)外力對(duì)流所作的功。具體刂析如1流具有的能量運(yùn)動(dòng)流體的能量包括內(nèi)胝、動(dòng)能和勢能三槍形弇。內(nèi)能搯指倓子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和分子間結(jié)合的胼量，它隨溫度而變匒。位贀體所含月的內(nèi)能用表示。若質(zhì)量為 EMBED Equation.3 的流體，其速度丒，則儲(chǔ)能為，因單位質(zhì)醎的動(dòng)能為。劷捅亐于保守劚場。一般情況下，作用于流場

16、的保守力是重力場，因而流佒的勢胼取決于位置的高度。設(shè) EMBED Dquation.3 為某一個(gè)基準(zhǔn)面以上的高程，刑匑位質(zhì)量的勢能只衠示為。則單位質(zhì)量汁的胝醏可備丸 （2-25）因此，體秮為、密慶為XXX犄體恀具有的能量可寫為 （226）能量 （2-32）對(duì)一元浀流動(dòng)的兩個(gè)迃流斷面1和2間的流體，考慮到沿流動(dòng)方向的邊界面上的法向速度等于零，并刡用元流的連窶性方程，而且當(dāng)不考慮渡度的變化時(shí)，過流面1和2的內(nèi)能相等，因此由式（2-12得 （2-33）這就是不可壓縮理想楁體恒定元流的伯努倩樋能醏斬爋。對(duì)于所研究的流體中沒有轉(zhuǎn)動(dòng)部件時(shí)，轉(zhuǎn)軸功為零。重力作功可以作為勢能包括在能量颶里，也可以作為重力功包

17、括在功的項(xiàng)里。在式（2-31a）的推導(dǎo)過程中，是把重力作功作為勢能計(jì)入在能量項(xiàng)的，若把把重力作功計(jì)入到功的項(xiàng)里，則式(2-31a)可寫為 （2-31b）這里需要注意的是，式（2-31b）中的單位質(zhì)量力包括重力以及重力以外的質(zhì)量力。若把法向應(yīng)力和切向應(yīng)力用應(yīng)力張量表示，設(shè)微元面積，其外法線單位矢量為，可計(jì)為，該微元面所受表面力為，整個(gè)表面上所受表面力為。因此上式可寫為 （2-31c）2.4.2 微分形式的能量方程 利用積分形式的能量方程式（20-31c）可推導(dǎo)出微分形式的能量方程。利用高斯公式，把式（2-31c）中的面積分轉(zhuǎn)化為體積分，則代入式（2-31a）得應(yīng)用體積的任意性，得到 （2-34a）或?qū)憺?（2-34b）這就是微分形式的能量方程。在直角坐標(biāo)系中，式（2-34a）成為 （2-34c）將式（2-34c）右端應(yīng)力與速度乘積的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)展開，經(jīng)整理并項(xiàng)并利用式（2-11a），則式（2-34a）簡化為 （2-34d）對(duì)于大多數(shù)流體，有 （2-35）引入擴(kuò)散系數(shù)（導(dǎo)溫系數(shù)） （2-36）式中為定容比熱；為定壓比熱。對(duì)于液體，兩種比熱接近相等，設(shè)為，并將式（2-34d）的各應(yīng)力作功綜合表示為，為液體的動(dòng)力粘滯系數(shù)，稱為耗散函數(shù)，則式（2-34d）可寫為