南航戴華《矩陣論》第二章線線性映射與性變換

1、教學(xué)目的教學(xué)目的u掌握線性映射的定義掌握線性映射的定義u熟練掌握特征值、特征向量的定義和性質(zhì)，熟練掌握特征值、特征向量的定義和性質(zhì)，u掌握矩陣可對(duì)角化的條件掌握矩陣可對(duì)角化的條件u理解酉空間的概念理解酉空間的概念u掌握酉空間與實(shí)內(nèi)積空間的異同。掌握酉空間與實(shí)內(nèi)積空間的異同。 在討論線性空間的同構(gòu)時(shí)，我們考慮的是一種在討論線性空間的同構(gòu)時(shí)，我們考慮的是一種保持向量的加法和數(shù)量乘法的一一對(duì)應(yīng)保持向量的加法和數(shù)量乘法的一一對(duì)應(yīng). 我們常稱我們常稱映射映射(比同構(gòu)映射少了一一對(duì)應(yīng)的條件比同構(gòu)映射少了一一對(duì)應(yīng)的條件)兩線性空間之間保持加法和數(shù)量乘法的映射為兩線性空間之間保持加法和數(shù)量乘法的映射為線性線性

2、線性變換線性變換是線性空間的核心內(nèi)容，反映的是線性空間是線性空間的核心內(nèi)容，反映的是線性空間中元素間的一種中元素間的一種基本聯(lián)系基本聯(lián)系，體現(xiàn)出一種，體現(xiàn)出一種“動(dòng)態(tài)的動(dòng)態(tài)的”或或者者“直觀的直觀的”視角。視角。借助借助基基的概念，可在線性變換與矩陣之間建立一一對(duì)的概念，可在線性變換與矩陣之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此通俗地講應(yīng)關(guān)系，因此通俗地講“變換即矩陣變換即矩陣”。這同時(shí)也意。這同時(shí)也意味著線性變換的運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為矩陣的運(yùn)算。味著線性變換的運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為矩陣的運(yùn)算。 (4)如果如果 1, 2, m 是是V1的線性相關(guān)組，則的線性相關(guān)組，則D D ( 1),D D ( 2),D D ( n)是

3、是V2的一組線性相關(guān)向量；的一組線性相關(guān)向量； 并且當(dāng)且僅當(dāng)并且當(dāng)且僅當(dāng)D D 是一一映射時(shí)，是一一映射時(shí)，V1中的線性無關(guān)組的像中的線性無關(guān)組的像是是V2中的線性無關(guān)組中的線性無關(guān)組.注注3 3 矩陣和線性映射互相唯一確定矩陣和線性映射互相唯一確定；在給定基在給定基的情況下，線性空間的情況下，線性空間V1到到V2的線性映射的線性映射L與與m n矩陣一一對(duì)應(yīng)，且這種對(duì)應(yīng)保持加法和數(shù)乘兩矩陣一一對(duì)應(yīng)，且這種對(duì)應(yīng)保持加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算。種運(yùn)算。 解 在Rxn中取基1=1， 2=x, n=xn-1 ,在Rxn-1中取基1=1， 2=x, n-1=xn-2，則D D ( 1)=0= 01+0 2+ +

4、0 n-1DD( 2)=1= 1+0 2+ +0 n-1DD( 3)=2x= 01+2 2+ +0 n-1 DD( n)=(n-1)xn-2= 01+2 2+ +(n-1) n-1D D ( 1, 2 , n)=(1, 2 n-1)nnnn)1(10000020000020000010即于是DD 在基1，x, xn-1與與1，x, xn-2下的矩陣為D=nnnn)1(10000020000020000010nn)1(010000010000010另：若在Rxn-1中取基1=1， 2=2x, n-1=(n-1)xn-2則DD 在基1，x, xn-1與1，2x, (n-1)xn-2下的矩陣為D=說

5、明同一個(gè)線性映射在不同基下的矩陣不同 即對(duì)即對(duì)V 中的任意兩個(gè)向量中的任意兩個(gè)向量 ， 和任意和任意k P，映射，映射（未必是雙射）（未必是雙射）A A ：VV 滿足滿足 (i) (A A (+) A A ()+A A () (ii) ():kA A ()=A A (k)稱稱A A ( )為為 在變換在變換A A 下的像，下的像， 稱為原像。稱為原像。 V上的全體線性變換記為：上的全體線性變換記為：L L (V, V)線性變換的基本性質(zhì)線性變換的基本性質(zhì)11(3)().mmiiiiiiTT 如果如果 T ：VV 是線性變換，是線性變換，則則(1)( );T ()( );TT (2)零向量對(duì)應(yīng)零

6、向量零向量對(duì)應(yīng)零向量疊加原理疊加原理(4).線線性性相相關(guān)關(guān)像像像像線線性性相相關(guān)關(guān)原原(5).像像原原像像線線性性無無關(guān)關(guān)線線性性無無關(guān)關(guān)1221(3)()( )( );T TTT L L (V,V )表示表示線性空間線性空間V 上的所有線性變換的集合，上的所有線性變換的集合，對(duì)任意的對(duì)任意的T,T1,T2L L (V,V ), , V, ,定義定義(1)2112()( )( )( );TTTT ()( )( );kTTk (2)則可以驗(yàn)證，則可以驗(yàn)證， 都是線性變換，因此都是線性變換，因此L L (V,V )也是數(shù)域也是數(shù)域P上的線性空間。上的線性空間。注：數(shù)乘變換和線性變換的數(shù)乘運(yùn)算是兩

7、個(gè)不同的概念注：數(shù)乘變換和線性變換的數(shù)乘運(yùn)算是兩個(gè)不同的概念1212,TT kT TT 特殊的變換：特殊的變換：對(duì)任意的對(duì)任意的kP定義數(shù)乘變換定義數(shù)乘變換K K（x）=kx，恒等變換：恒等變換：I I（x）=x，零變換：，零變換：O O (x)=0例例2.3.1 設(shè)線性空間設(shè)線性空間 的線性變換為的線性變換為 求在自然基底下的矩陣求在自然基底下的矩陣. 123, 解：解： 3()(0,0,1)(0,0,0) 1()(1,0,0)(1,0,1) 2()(0,1,0)(0,1,1) 1231231 0 0(,)(,) 0 1 01 1 0 1231212(,)(,)x xxx xxx 3R (

8、)=123()( 5,0,3)()(0, 1,6),()( 5, 1,9) 例例2.3.2 在線性空間在線性空間 中，線性變換定義如下中，線性變換定義如下：3R 123( 1,0,2),(0,1,1)(3, 1,0) 其其中中（1）求）求 在標(biāo)準(zhǔn)基在標(biāo)準(zhǔn)基 下的矩陣下的矩陣.123, （2）求在下的矩陣）求在下的矩陣.123, 解解：（：（1）由已知，有）由已知，有1231231231 0 3(,)(,)0 11(,),2 1 0X 自然基底自然基底123123(,)(,)A 123123123(,)(,)(,)XX 設(shè)設(shè) 在標(biāo)準(zhǔn)基在標(biāo)準(zhǔn)基 下的矩陣為下的矩陣為A，即，即123, 123(,)

9、AX 012110301X即：即： 為過渡矩陣為過渡矩陣1231231231 0 3(,)(,)0 11(,),2 1 0X 123123505(,)(,)011 ,369 5 20201452727 1824因而，因而，5 05011 ,369AX115055051 030110110 113693692 10AX 11 0 35 050 110112 1 0369B 23 51 011 10 設(shè)在設(shè)在 下的矩陣為下的矩陣為B，則，則123, 1BXAX （2 2）求在下的矩陣）求在下的矩陣. .123, 定義定義2.3.3 設(shè)DD 是數(shù)域 P上的線性空間 上的線性變換 。令VR( (D D

10、 )=)=Im( (DD)=)=DD( a)|a V Ker( (D D )=)=N( (DD)=)=a V| |D D ( a)=0 稱稱R( (D D ) )是線性變換是線性變換D D 的值域，而的值域，而Ker( (D D ) )是線性是線性變換的核。變換的核。R( (D D ) )的維數(shù)稱為的維數(shù)稱為D D 的秩，的秩，Ker( (D D ) )的維的維數(shù)稱為數(shù)稱為D D 的零度。的零度。設(shè)DD 是數(shù)域 P上的線性空間V上的線性變換 。令令DD 在在V的一組基的一組基 1 1, , 2 2, n n下的矩陣表示為下的矩陣表示為A，則則（1 1）Im( (D D ) )和和Ker( (D

11、 D ) )都是都是V的子空間；的子空間；（2 2）Im( (D D )=)=span( (D D ( ( 1 1),),D D ( ( 2 2),),D D ( ( n n) ) （3 3）rank( (D D )=)=rank(A) ) （4 4）dim( (Im( (D D )+)+dim( (Ker( (D D )=)=n證明證明（1 1）顯然）顯然R( (D D ) )是是V的非空子集，對(duì)任意的非空子集，對(duì)任意DD( ( ),),DD( ( ) ) R( (D D ) )，k P 有有 DD( ( )+)+DD( ( )=)=DD( ( + + ) ) R( (D D ) ) kDD

12、( ( )=)=DD( (k ) ) R( (D D ) )所以所以R( (D D ) )是是V的子空間的子空間 又DD( (0 0)=0,)=0,所以所以Ker( (D D )是V的非空子集,對(duì)任意對(duì)任意 , , Ker( (D D ) )，k P D D( ( + + )=)=DD( ( )+)+DD( ( )=0)=0 Ker( (D D ) ) DD( (k )=)=kDD( ( )=0)=0 Ker( (D D ) )所以所以Ker( (D D ) )是是V的子空間的子空間 如果如果D D ( ( r+1r+1),),DD( ( n n) )是線性無關(guān)的，則有是線性無關(guān)的，則有dim

13、( (Im( (D D )=n-r證明證明（4 4）設(shè)）設(shè) dim( (Ker( (D D )=)=r，在，在 Ker( (D D ) 中取一中取一組基組基 1 1, , 2 2, r r，根據(jù)擴(kuò)充定理，將它擴(kuò)充成，根據(jù)擴(kuò)充定理，將它擴(kuò)充成 的基的基 1 1, , 2 2, r r, , r+1r+1, n n，則，則Im( (D D )=)=span( (D D ( ( 1 1),),D D ( ( r r),),D D ( ( r+1r+1),),DD( ( n n) = =span( (D D ( ( r+1r+1),),DD( ( n n) ) V因?yàn)橐驗(yàn)?線性無關(guān)，所以線性無關(guān)，所以

14、ki=0(=0(i=1,2n),),所以所以DD( ( r+1),),DD( ( n n) )線性無關(guān)。線性無關(guān)。12,n 事實(shí)上，設(shè)事實(shí)上，設(shè) ，則，則 )(DD 00nj=r+1 kj j nj=r+1 kjD D (aj) 0 0 從而從而 則則 nj=r+1 kj j Ker( (DD) ) nj=r+1 kj j= rj=1 kj j 注意注意dim( (Im( (D D )+)+dim( (Ker( (D D )=)=nIm( (D D )+)+Ker( (D D ) ) V( (Ker( (D D )=0)=0Im( (D D )=)=VDD1021121312552212 例例

15、2.3.3 設(shè)設(shè)線性變換線性變換 T 在在4維線性空間維線性空間 的基的基 下的矩陣為下的矩陣為V1234, 1234,A （2）求）求 Im(T ) 的一組基的一組基;（1）求）求Ker(T ) 的一組基的一組基;解解（1）對(duì)任意）對(duì)任意1 14 4( )xxKer T 有有1 14 4( )()TT xx 1144( )()xTxT 14( ( ), ()TTx 14( ,)xA 因此因此Ax 解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系12( 4, 3,2,0) ,( 1, 2,0,1)TT 則則 的基為的基為( )Ker T112341123(,)432, 212342124(,)2. （2）由于）由于3

16、1241232,22 14Im( )(,)Tspan TT 從而從而這說明這說明3143( ,)T 4122TTT 14121233( ,)(2)222TT 12(,)span TT 例例2.4.1 設(shè)線性變換設(shè)線性變換A A 在基在基 下的矩陣是下的矩陣是求求A A 的全部特征值與特征向量。的全部特征值與特征向量。解：求解：求A A 的特征值等價(jià)于求對(duì)應(yīng)矩陣的特征值和特的特征值等價(jià)于求對(duì)應(yīng)矩陣的特征值和特征向量。征向量。123, 222214241A 所以所以A的特征值是的特征值是 3 (二重二重)與與 -6。 對(duì)于特征值對(duì)于特征值 3，解齊次線性方程組，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：得

17、到一個(gè)基礎(chǔ)解系：2222214241(3) (6)IA(3)0IA X210,201TT從而從而 A A 的屬于的屬于 3 的極大線性無關(guān)特征向量組是的極大線性無關(guān)特征向量組是于是于是A A 屬于屬于 3的全部特征向量是的全部特征向量是 這里這里 k1k20 。 對(duì)于特征值對(duì)于特征值 -6，解齊次線性方程組，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：1122132,2 1 12212,kkk kK( 6)0IA X122T從而從而 A A 的屬于的屬于 -6 的極大線性無關(guān)特征向量組是的極大線性無關(guān)特征向量組是于是于是 A A 的屬于的屬于 -6 的全部特征向量的全部特征向量這里這里

18、 k 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 F 中任意非零數(shù)。中任意非零數(shù)。3123223,kkK稱稱 矩陣矩陣 為多項(xiàng)式為多項(xiàng)式 的的，這里，這里例例 2.4.2 對(duì)于多項(xiàng)式對(duì)于多項(xiàng)式1110( )nnnf xxaxa xa nn C( )f x求求C的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式0211000001000010000aaaaCnnn解解 記記由上式逐次遞推得由上式逐次遞推得111100100100aaaadiiii對(duì)對(duì)di按第一行展開按第一行展開,有有 di= di-1+ai , i 1dn=|I-A|=dn-1+an=(dn-2+an-1)+an=2(dn-3+an-2)+an-1+an=n+a1n-1+a2n-2+

19、an-1+an接下來考慮線性變換在不同基下的矩陣特征值的關(guān)系：接下來考慮線性變換在不同基下的矩陣特征值的關(guān)系：證證:（1）| I-B|=| I-P-1AP|=|P-1( I-A)P|=|P-1|( I-A)|P|=| I-A|另：另：66頁例頁例2.4.5的結(jié)論：的結(jié)論： m階方陣階方陣AB與與n階方陣階方陣BA有相同的非零特征值，有相同的非零特征值，從而有從而有tr(AB)=tr(BA)；特別地，若；特別地，若A，B為同階方為同階方陣，則陣，則AB與與BA有相同的特征值有相同的特征值.推論：推論：若若P-1AP=diag（ 1, 2, n），則），則 1, 2, n是是A的的n個(gè)特征值，個(gè)特

20、征值，C的第的第i個(gè)列向量是個(gè)列向量是A的屬于的屬于 i的特征向量的特征向量例例 2.5.1 在多項(xiàng)式空間在多項(xiàng)式空間 Pt3 中，設(shè)中，設(shè) f(t)=a1+a2t+a3t2定義線性變換定義線性變換Tf(t)=(a2+a3) +(a1+a3)t+ +(a1+a2) t2試求試求 Pt3 的一組基的一組基 ，使，使 在該基下的矩陣為對(duì)在該基下的矩陣為對(duì)角矩陣。角矩陣。T解：解： 這里標(biāo)準(zhǔn)基這里標(biāo)準(zhǔn)基 在線性變換在線性變換 下的矩陣表示下的矩陣表示為為21, , t tT011101110A 矩陣矩陣A的特征值為的特征值為1232,1 屬于屬于2的特征向量為的特征向量為p1=(1，1，1)T屬于屬

21、于-1的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量為的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量為 p2=(-1，1，0)T p3=(1，0，-1)T,所以所以123111110(,)101Pppp 使得使得 P-1AP= 2211( )(1, ,)1f tt tptt 因此所求基為因此所求基為222( )(1, ,)1f tt tpt 2233( )(1, ,)1f tt tpt 顯然可以驗(yàn)證線性變換顯然可以驗(yàn)證線性變換 滿足滿足T( )( ),1,2,3iiif tf tTi 注 鑒于正交的重要性，所以相應(yīng)的鑒于正交的重要性，所以相應(yīng)的正交變換顯得尤顯得尤為重要。為重要。HouseholderHouseholder變換（即反射變

22、換）和變換（即反射變換）和GivensGivens變換（即旋轉(zhuǎn)變換）是兩種最重要的正交變換，它們變換（即旋轉(zhuǎn)變換）是兩種最重要的正交變換，它們的作用主要是在數(shù)值算法中構(gòu)造正交基。的作用主要是在數(shù)值算法中構(gòu)造正交基。 根據(jù)定義，顯然正交變換也保持歐氏空間中向量根據(jù)定義，顯然正交變換也保持歐氏空間中向量的長度、距離及向量間的夾角等幾何屬性不變。的長度、距離及向量間的夾角等幾何屬性不變。補(bǔ)充：兩種基本的圖形變換補(bǔ)充：兩種基本的圖形變換例例1 1（旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換或或Givens變換變換）將線性空間）將線性空間 中的中的所有向量均繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角所有向量均繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角 ，這時(shí)，這時(shí) 與與 之間

23、的關(guān)系為之間的關(guān)系為 2R12(,) 12(,) 2121cossinsincos例例2 2（反射變換反射變換或或HouseholderHouseholder變換變換）將）將 中任一向中任一向量量x 關(guān)于關(guān)于橫橫軸做反射得向量軸做反射得向量y。這時(shí)像。這時(shí)像(x2,y2) 與原像與原像 (x1,y1)之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為2R11221001yxyx 從幾何上看，圖形經(jīng)過從幾何上看，圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換或或反射變換反射變換后只后只是位置改變了，形狀和大小都沒有改變，也就是說是位置改變了，形狀和大小都沒有改變，也就是說變換前后的圖形是全等的，即這兩種變換都是正交變換前后的圖形是全等的，即這

24、兩種變換都是正交變換。變換。將這兩種變換擴(kuò)展到將這兩種變換擴(kuò)展到n維歐氏空間，得到兩類重要的維歐氏空間，得到兩類重要的正交變換：正交變換：一般形式的一般形式的Givens矩陣為：矩陣為：11cossin11sincos11 ( , )G i j 第第j j 列列第第i i 列列對(duì)應(yīng)的變換稱為對(duì)應(yīng)的變換稱為Givens變換，或初等旋轉(zhuǎn)變換。變換，或初等旋轉(zhuǎn)變換。對(duì)任意對(duì)任意 ，存在有限個(gè)，存在有限個(gè)Givens矩陣矩陣的乘積的乘積 ，使得，使得 其中其中 為標(biāo)準(zhǔn)單位向量。即為標(biāo)準(zhǔn)單位向量。即通過有限次通過有限次Givens變換可以將向量旋轉(zhuǎn)到某個(gè)坐標(biāo)軸上。變換可以將向量旋轉(zhuǎn)到某個(gè)坐標(biāo)軸上。1ne

25、R 21|Te nR TGivens變換在簡(jiǎn)化矩陣方面有重要應(yīng)用，對(duì)非零變換在簡(jiǎn)化矩陣方面有重要應(yīng)用，對(duì)非零n維維向量，通過向量，通過有限次有限次Givens變換，可將變換，可將其后任意其后任意r 個(gè)分個(gè)分量變?yōu)榱?，特別地，量變?yōu)榱?，特別地，r=n-1時(shí)，得時(shí)，得xy2e21e 如圖，顯然有正交分解如圖，顯然有正交分解 1122( ,)( ,)xx e ex e e,222222( ,)2( ,)yxxx e exex e 因此向量因此向量 關(guān)于關(guān)于“與與 軸正交的直線軸正交的直線”對(duì)稱的鏡對(duì)稱的鏡像向量的表達(dá)式為像向量的表達(dá)式為2ex再看再看HouseHolder變換變換2222(2)2TT

26、Ixxexeee 類似地，可定義將向量類似地，可定義將向量 變換為關(guān)于變換為關(guān)于“與單與單位向量位向量 正交的正交的 維子空間維子空間”對(duì)稱的向?qū)ΨQ的向量量 的鏡像變換。的鏡像變換。nuR nxR nyR 1n 設(shè)設(shè) 為單位向量，稱矩陣為單位向量，稱矩陣為為Householder 矩陣（初等反射矩陣），矩陣（初等反射矩陣），對(duì)應(yīng)的變換對(duì)應(yīng)的變換 稱為稱為Householder 變換（初等反射變換）變換（初等反射變換）nR 2HHI (2)HHI 定理定理 對(duì)任意對(duì)任意 ，存在，存在Householder 矩矩陣陣 ，使得，使得 其中其中 為標(biāo)準(zhǔn)單位向量。即為標(biāo)準(zhǔn)單位向量。即可以通過可以通過Ho

27、useholder變換將向量反射到某個(gè)坐標(biāo)軸上。變換將向量反射到某個(gè)坐標(biāo)軸上。1neR 21|He nR HHouseholder變換能將任何非零向量變成與給定單位變換能將任何非零向量變成與給定單位向量同方向的向量；向量同方向的向量；兩類矩陣的關(guān)系：兩類矩陣的關(guān)系：Givens矩陣（變換）等于兩個(gè)初等反射矩陣矩陣（變換）等于兩個(gè)初等反射矩陣（變換）的乘積。（變換）的乘積。 即反射變換比旋轉(zhuǎn)變換更基本。即反射變換比旋轉(zhuǎn)變換更基本。( ,)(1),;) (2) (,)( ,);()C (3)(, )( , )( , ); (4) ，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立。時(shí)，等號(hào)成立。 ( ,)0 V

28、、 、 是是復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域 上的線性空間。如果對(duì)上的線性空間。如果對(duì) 中任意中任意兩個(gè)向量兩個(gè)向量 都存在所謂都存在所謂 與與 的的 ，滿足下面，滿足下面四個(gè)條件四個(gè)條件。稱定義了內(nèi)積的線。稱定義了內(nèi)積的線性空間性空間 為為，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱。VVCVV 、 ()C , ,補(bǔ)充補(bǔ)充 酉空間酉空間(Unitary Space)例例 1 1 定義了定義了的的 是一酉空間。這里，是一酉空間。這里，對(duì)任意兩個(gè)向量對(duì)任意兩個(gè)向量 及及 ， 標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積為標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積為nC12(,)Tnna aaC ( ,)H 12(,)Tnnb bbC 1122( ),HTnna ba ba b 例例 2 2 在線性空間在線性空間 中

29、，對(duì)任意中，對(duì)任意定義定義這里這里 是是，即，即 則則 是是 的一個(gè)內(nèi)積。的一個(gè)內(nèi)積。nCA , (, ),Hn nx yAx yy AxAC nxyC 、 , x ynC()THAAA 二、酉空間的一些重要結(jié)論二、酉空間的一些重要結(jié)論（1 1） （2 2）（3 3）( ,)( ,); ( ,)( ,)( , ); ( , )( ,)0; （4 4）（5 5） ，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng) 線線性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立；性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立；| ( ,) ; |( ,)| 、（6 6） 兩個(gè)非零向量兩個(gè)非零向量 的內(nèi)積的內(nèi)積 時(shí)，稱時(shí)，稱 與與 ；（7 7） 任意一組線性無關(guān)的向量都可以用任意一組線性無關(guān)的向量都可以用Schmidt正正交化方法正交化，并擴(kuò)充成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基；交化方法正交化，并擴(kuò)充成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基；（8 8）標(biāo)準(zhǔn)正交基）標(biāo)準(zhǔn)正交基 下的任意兩向量下的任意兩向量的內(nèi)積的內(nèi)積（9 9）任意一個(gè)酉空間）任意一個(gè)酉空間 都可以分解為其子空間都可以分解為其子空間 和和 的的