2020_2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.4圓的方程2.4.2圓的一般方程學(xué)案含解析新人教A版選擇性必修第一冊

1、2.4.2圓的一般方程學(xué) 習(xí) 目 標核 心 素 養(yǎng)1.正確理解圓的方程的形式及特點，會由一般式求圓心和半徑(重點)2.會在不同條件下求圓的一般方程(重點)1. 通過圓的一般方程的推導(dǎo)，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).2. 通過學(xué)習(xí)圓的一般方程的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).(1)把(xa)2(yb)2r2展開是一個什么樣的關(guān)系式？(2)把x2y2dxeyf0配方后，將得到怎樣的方程？這個方程一定表示圓嗎？在什么條件下一定表示圓？這就是今天我們將要研究的問題圓的一般方程(1)圓的一般方程的概念當(dāng)d2e24f0時，二元二次方程x2y2dxeyf0叫做圓的一般方程其中圓心為，圓的半徑為r.(2)對

2、方程x2y2dxeyf0的討論d2e24f0時表示圓d2e24f0時表示點.d2e24f0時，不表示任何圖形思考：方程ax2bxycy2dxeyf0表示圓的條件是什么？提示ac0，b0且d2e24f0.1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)方程x2y2dxeyf0表示圓()(2)利用圓的一般方程無法判斷點與圓的位置關(guān)系()(3)圓的標準方程與一般方程可以相互轉(zhuǎn)化()(4)利用待定系數(shù)法求圓的一般方程時，需要三個獨立的條件()提示(1)(2)(3)(4)2若方程x2y22x2y 2210表示圓，則的取值范圍是()a(1，)bc(1，)dra因為方程x2y22x2y2210表示圓，所以d2

3、e24f0，即42424(221)0，解不等式得1，即的取值范圍是(1，)故選a.3圓的方程為(x1)(x2)(y2)(y4)0，則它的圓心坐標為_圓的方程整理為x2y2x2y100，配方得2(y1)2，所以圓心為.4過點(0,0)，(4,0)和(0,6)三點的圓的一般方程為_x2y24x6y0三點構(gòu)成的三角形為直角三角形，且圓心坐標為(2,3)，半徑r.方程為(x2)2(y3)213，一般方程為x2y24x6y0.圓的一般方程的認識【例1】(1)若方程x2y22ax2ay2a2a10表示圓，則a的取值范圍是_(2)下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求出其圓心坐標和半徑長x2y24x0；2x2

4、2y23x4y60；x2y22ax0.(1)(，1)把方程配方得(xa)2(ya)21a，由條件可知1a0，即a1.(2)解方程可變形為(x2)2y24，故方程表示圓，圓心為c(2,0)，半徑r2.方程可變形為22(y1)2，此方程無實數(shù)解故方程不表示任何圖形原方程可化為(xa)2y2a2.當(dāng)a0時，方程表示點(0,0)，不表示圓；當(dāng)a0時，方程表示以(a,0)為圓心，|a|為半徑的圓判斷方程x2y2dxeyf0是否表示圓，關(guān)鍵是將其配方，最后轉(zhuǎn)化為判斷d2e24f的正負問題跟進訓(xùn)練1下列方程能否表示圓？若能表示圓，求出圓心和半徑(1)2x2y27y50；(2)x2xyy26x7y0；(3)x

5、2y22x4y100；(4)2x22y25x0.解(1)方程2x2y27y50中x2與y2的系數(shù)不相同，它不能表示圓(2)方程x2xyy26x7y0中含有xy這樣的項，它不能表示圓(3)方程x2y22x4y100化為(x1)2(y2)25，它不能表示圓(4)方程2x22y25x0化為y2，它表示以為圓心，為半徑長的圓.求圓的一般方程【例2】已知abc的三個頂點為a(1,4)，b(2,3)，c(4，5)，求abc的外接圓方程、外心坐標和外接圓半徑解法一：設(shè)abc的外接圓方程為x2y2dxeyf0，a，b，c在圓上，abc的外接圓方程為x2y22x2y230，即(x1)2(y1)225.外心坐標為

6、(1，1)，外接圓半徑為5.法二：kab，kac3，kabkac1，abac.abc是以角a為直角的直角三角形，外心是線段bc的中點，坐標為(1，1)，r|bc|5.外接圓方程為(x1)2(y1)225.確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a，b，r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心(a，b)和半徑r，一般步驟為：(1)根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標準方程為(xa)2(yb)2r2(r0)；(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b，r的方程組；(3)解方程組，求出a，b，r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程跟進訓(xùn)練2已知圓c：x2y2dxey30，圓心在直線xy10上，且圓心

7、在第二象限，半徑長為，求圓的一般方程解圓心c，圓心在直線xy10上，10，即de2.又半徑長r，d2e220.由可得或又圓心在第二象限，0，即d0.則故圓的一般方程為x2y22x4y30.與圓有關(guān)的軌跡問題探究問題1求軌跡方程與軌跡有什么區(qū)別？提示軌跡是一個圖形，比如是直線、圓之類，而軌跡方程是這個圖形的方程2已知動點m到點(8,0)的距離等于點m到點(2,0)的距離的2倍，你能求出點m的軌跡方程嗎？提示設(shè)m(x，y)，由題意有2，整理得點m的軌跡方程為x2y216.【例3】點a(2,0)是圓x2y24上的定點，點b(1,1)是圓內(nèi)一點，p，q為圓上的動點(1)求線段ap的中點m的軌跡方程；(

8、2)若pbq90，求線段pq的中點n的軌跡方程思路探究(1)(2)解(1)設(shè)線段ap的中點為m(x，y)，由中點公式得點p坐標為(2x2,2y)點p在圓x2y24上，(2x2)2(2y)24，故線段ap的中點m的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)線段pq的中點為n(x，y)，在rtpbq中，|pn|bn|.設(shè)o為坐標原點，連接on(圖略)，則onpq，|op|2|on|2|pn|2|on|2|bn|2，x2y2(x1)2(y1)24，故線段pq的中點n的軌跡方程為x2y2xy10.1在本例條件不變的情況下，求過點b的弦的中點t的軌跡方程解設(shè)t(x，y)因為點t是弦的中點，所以otbt.當(dāng)斜率

9、存在時有kotkbt1.即1，整理得x2y2xy0.當(dāng)x0或1時點(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)也都在圓上故所求軌跡方程為x2y2xy0.2本例條件不變，求bp的中點e的軌跡方程解設(shè)點e(x，y)，p(x0，y0)b(1,1)，整理得x02x1，y02y1，點p在圓x2y24上，(2x1)2(2y1)24，整理得點e的軌跡方程為x2y2xy0.1直接法求軌跡方程的一般步驟(1)建立適當(dāng)坐標系，設(shè)出動點m 的坐標(x，y)；(2)列出點m 滿足條件的集合；(3)用坐標表示上述條件，列出方程；(4)將上述方程化簡；(5)證明化簡后的以方程的解為坐標的點都是軌跡上的點2代入法求軌跡方程的一

10、般步驟(1)建立適當(dāng)坐標系，設(shè)出動點m的坐標為(x，y)；(2)建立x，y與相關(guān)點的坐標x0，y0的方程；(3)用x，y表示x0，y0；(4)把(x0，y0)代入到相關(guān)點滿足的方程；(5)化簡方程為最簡形式1求圓的方程時，如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用圓的標準方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r；如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)d，e，f.2圓的方程的幾種特殊情況一般方程x2y2dxeyf0(d2e24f0)過原點x2y2dxey0圓心在x軸上x2y2dxf0(d24f0)圓心在y軸上x2y2e

11、yf0(e24f0)3.求涉及到曲線的軌跡問題時，一般有兩種方法：一是直接法，即把動點滿足的條件直接用坐標“翻譯”過來的方法；二是代入法，代入法也叫相關(guān)點法，就是把動點(x，y)與相關(guān)點(x0，y0)建立等式，再把x0，y0用x，y表示后代入到它所滿足的曲線的方法解題時要注意條件的限制1方程2x22y24x8y100表示的圖形是()a一個點b一個圓c一條直線d不存在a方程2x22y24x8y100，可化為x2y22x4y50，即(x1)2(y2)20，方程2x22y24x8y100表示點(1，2)2若方程x2y2xym0表示一個圓，則實數(shù)m的取值范圍是()ambmcm2dm2a由d2e24f0得(1)2124m0，解得m，故選a.3若圓x2y22kx2y40關(guān)于直線2xy30對稱，則實數(shù)k等于_2由條件可知，直線經(jīng)過圓的圓心(k，1)，2k(1)30，解得k2.4設(shè)圓x2y24x2y110的圓心為a，點p在圓上，則pa的中心m的軌跡方程是_x2y24x2y10由條件知a(2