曲率及其曲率半徑的計算

1、曲率及其曲率半徑的計算曲率及其曲率半徑的計算一、弧微分弧微分二、曲率及其計算公式曲率及其計算公式三、曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑有向弧段的值、弧微分公式曲率、曲率的計算公式曲率圓曲率半徑一、弧微分一、弧微分 s 的絕對值等于這弧段的長度，當有向弧段的方向與曲線的正向一致時s0，相反時s0 xyom0 x0mxs0,dxds21y21ydx ) jm1m2n1n2 觀察曲線的彎曲線程度與切線的關系：二、曲率及其計算公式二、曲率及其計算公式 可以用單位弧段上切線轉過的角度的大小來表達弧段的平均彎曲程度，m0mm dsda xyoa+da)a)sc 設曲線c是光滑的，曲線 線c上從點m 到點m

2、的弧為ds ，切線的轉角為da 平均曲率：曲率：skdda我們稱為弧段 的平均曲率mm）sksddda0lim 我們稱為曲線c在點m處的曲率 在 存在的條件下dsdssaaddd0limdsdka曲率的計算公式： 設曲線的直角坐標方程是yf(x)，且f(x)具有二階導數于是從而，有因為tan a y ，所以dsdkasec 2a dxday， dxdaa2tan1 y21yy dxdaa2tan1 y21yy ， da 21yy dx又知 ds21ydx k232)1 (|yy 例1 計算等雙曲線x y 1在點(1，1)處的曲率解因此，y|x11，y|x12曲線x y 1在點(1，1)處的曲率

3、為x1由y ，得 y21x，y21x，y32x k232)1 (|yy 232) 1(1 (22221232)1 (|yy 232) 1(1 (22221232)1 (|yy 232) 1(1 (22221 k232)1 (|yy 例2 拋物線yax2bxc 上哪一點處的曲率最大？ 解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，代入曲率公式，得要使k 最大，只須2axb0，拋物線的頂點因此，拋物線在頂點處的曲率最大，最大曲率為k|2a| k232)1 (|yy k232)1 (|yy 232)2(1 |2|baxa即 xab2而 xab2對應的點為 2若曲線由參數方程給出，那么曲率如何計算

4、？ 1直線上任一點的曲率等于什么？討論： 提示：設直線方程為y=ax+b，則y =a， y = 0于是)()(tytxj.0)1 (|232 yyk 提示：2322)()(| )()()()(|ttttttkjjj 曲線在點m處的曲率k(k 0)與曲線在點m處的曲率半徑 r 有如下關系：曲線在m點的曲率中心三、曲率圓與曲率半徑三、曲率圓與曲率半徑m y=f(x)xyod r曲線在m點的曲率半徑曲線在m點的曲率圓 r k1， k r1|dm|k1r 例3 設工件表面的截線為拋物線y04x 2現在要用砂輪磨削其內表面問用直徑多大的砂輪才比較合適？42o2xy y=04 x2 解 砂輪的半徑不應大于拋物線頂點處的曲率半徑 例3 設工件表面的截線為拋物線y04x 2現在要用砂輪磨削其內表面問用直徑多大的砂輪才比較合適？y08x ，y08，y|x00，y|x008拋物線頂點處的曲率半徑為所以選用砂輪的半徑不得超過12