三角形重心外心垂心內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì)經(jīng)典實(shí)用

1、三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用1o是的重心;若o是的重心，則故;為的重心.2o是的垂心;若o是(非直角三角形)的垂心，則故3o是的外心(或)若o是的外心則故4o是內(nèi)心的充要條件是引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡潔。如果記的單位向量為，則剛才o是內(nèi)心的充要條件可以寫成 ，o是內(nèi)心的充要條件也可以是 。若o是的內(nèi)心，則acbccp故;是的內(nèi)心;向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)； (一)將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例1o是平面上的一定點(diǎn)，a,b,c是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)p滿足，則p點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）（a）外心（b）內(nèi)心（c）重心（d）垂心解析：因?yàn)槭窍蛄康膯挝幌蛄吭O(shè)與方向

2、上的單位向量分別為， 又，則原式可化為，由菱形的基本性質(zhì)知ap平分，那么在中，ap平分，則知選b. (二)將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2 h是abc所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)h是abc的垂心.由,同理，.故h是abc的垂心. （反之亦然（證略）例3.(湖南)p是abc所在平面上一點(diǎn)，若，則p是abc的（d）a外心b內(nèi)心c重心d垂心解析:由.即則 所以p為的垂心. 故選d. (三)將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4 g是abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，=0點(diǎn)g是abc的重心.證明 作圖如右，圖中連結(jié)be和ce，則ce=gb，be=gcbgce為平行四邊形d是bc的中點(diǎn)，ad為bc邊上

3、的中線.將代入=0，得=0，故g是abc的重心.（反之亦然（證略）例5 p是abc所在平面內(nèi)任一點(diǎn).g是abc的重心.證明 g是abc的重心 =0=0，即由此可得.（反之亦然（證略）例6 若 為內(nèi)一點(diǎn)， ，則 是 的（     ）a內(nèi)心           b外心        c垂心        

4、0; d重心 解析：由得，如圖以ob、oc為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則，由平行四邊形性質(zhì)知，同理可證其它兩邊上的這個性質(zhì)，所以是重心，選d。(四) 將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若 為內(nèi)一點(diǎn)，則 是 的（     ）a內(nèi)心           b外心        c垂心          d重

5、心解析：由向量模的定義知到的三頂點(diǎn)距離相等。故 是 的外心 ，選b。 (五)將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例8已知向量，滿足條件+=0，|=|=|=1，求證 p1p2p3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊（下），復(fù)習(xí)參考題五b組第6題）證明 由已知+=-，兩邊平方得·=， 同理 ·=·=， |=|=|=，從而p1p2p3是正三角形.反之，若點(diǎn)o是正三角形p1p2p3的中心，則顯然有+=0且|=|=|.即o是abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，+=0且|=|=|點(diǎn)o是正p1p2p3的中心.例9在abc中，已知q、g、h分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：q、g、h三點(diǎn)共線，且q

6、g:gh=1:2。【證明】：以a為原點(diǎn)，ab所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)a(0,0)、b（x1,0）、c(x2,y2)，d、e、f分別為ab、bc、ac的中點(diǎn)，則有： 由題設(shè)可設(shè),ab(x1,0)c(x2,y2)yxhqgdef即，故q、g、h三點(diǎn)共線，且qg：gh=1：2例10若o、h分別是abc的外心和垂心.求證 .證明 若abc的垂心為h，外心為o，如圖.連bo并延長交外接圓于d，連結(jié)ad，cd.，.又垂心為h，ahcd，chad，四邊形ahcd為平行四邊形，故.著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置關(guān)系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共

7、線“歐拉線”；（2）三角形的重心在“歐拉線”上，且為外垂連線的第一個三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡單，可簡化成如下的向量問題.例11 設(shè)o、g、h分別是銳角abc的外心、重心、垂心. 求證 證明 按重心定理 g是abc的重心按垂心定理 由此可得 .一、“重心”的向量風(fēng)采【命題1】 是所在平面上的一點(diǎn)，若，則是的重心如圖.m 圖圖 【命題2】 已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則的軌跡一定通過的重心.【解析】 由題意，當(dāng)時，由于表示邊上的中線所在直線的向量，所以動點(diǎn)的軌跡一定通過的重心，如圖.二、“垂心”的向量風(fēng)采【命題3】

8、 是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的垂心【解析】 由，得，即，所以同理可證，是的垂心如圖. 圖圖【命題4】 已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡一定通過的垂心【解析】 由題意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即點(diǎn)在過點(diǎn)且垂直于的直線上，所以動點(diǎn)的軌跡一定通過的垂心，如圖.三、“內(nèi)心”的向量風(fēng)采【命題5】 已知為所在平面上的一點(diǎn)，且， 若，則是的內(nèi)心圖圖【解析】 ，則由題意得，與分別為和方向上的單位向量，與平分線共線，即平分同理可證：平分，平分從而是的內(nèi)心，如圖.【命題6】 已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心【解析】 由題意得

9、，當(dāng)時，表示的平分線所在直線方向的向量，故動點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心，如圖.四、“外心”的向量風(fēng)采【命題7】 已知是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的外心圖圖【解析】 若，則，則是的外心，如圖?！久}7】 已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡一定通過的外心。【解析】 由于過的中點(diǎn)，當(dāng)時，表示垂直于的向量（注意：理由見二、4條解釋。），所以在垂直平分線上，動點(diǎn)的軌跡一定通過的外心，如圖。補(bǔ)充練習(xí)1已知a、b、c是平面上不共線的三點(diǎn)，o是三角形abc的重心，動點(diǎn)p滿足= (+2),則點(diǎn)p一定為三角形abc的 （ b ）a.ab邊中線的中點(diǎn) b.ab邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）c

10、.重心 d.ab邊的中點(diǎn)1. b取ab邊的中點(diǎn)m，則，由= (+2)可得3，即點(diǎn)p為三角形中ab邊上的中線的一個三等分點(diǎn)，且點(diǎn)p不過重心，故選b.2在同一個平面上有及一點(diǎn)滿足關(guān)系式： ，則為的 （  d  ） 外心 內(nèi)心 c 重心 d 垂心2已知abc的三個頂點(diǎn)a、b、c及平面內(nèi)一點(diǎn)p滿足：，則p為的 （  c  ） 外心 內(nèi)心 c 重心 d 垂心3已知o是平面上一 定點(diǎn)，a、b、c是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)p 滿足：，則p的軌跡一定通過abc的 （  c  ）

11、外心 內(nèi)心 c 重心 d 垂心4已知abc，p為三角形所在平面上的動點(diǎn)，且動點(diǎn)p滿足：，則p點(diǎn)為三角形的 （  d   ） 外心 內(nèi)心 c 重心 d 垂心5已知abc，p為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)p滿足：，則p點(diǎn)為三角形的 （ b   ） 外心 內(nèi)心 c 重心 d 垂心6在三角形abc中，動點(diǎn)p滿足：，則p點(diǎn)軌跡一定通過abc的： （ b ） 外心 內(nèi)心 c 重心 d 垂心7.已知非零向量與滿足(+)·=0且·= , 則abc為( )a.三邊均不相等的三角形 b.直角三角形 c.等腰非等邊三

12、角形 d.等邊三角形解析：非零向量與滿足()·=0，即角a的平分線垂直于bc， ab=ac，又= ，a=，所以abc為等邊三角形，選d8.的外接圓的圓心為o，兩條邊上的高的交點(diǎn)為h，則實(shí)數(shù)m = 19.點(diǎn)o是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)o是的（b）（a）三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（b）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（c）三條中線的交點(diǎn)（d）三條高的交點(diǎn)10. 如圖1，已知點(diǎn)g是的重心，過g作直線與ab，ac兩邊分別交于m，n兩點(diǎn)，且，則。 證 點(diǎn)g是的重心，知o，得o，有。又m，n，g三點(diǎn)共線（a不在直線mn上）， 于是存在，使得， 有=，得，于是得。1、課前練習(xí)1.1已知o是abc內(nèi)的一點(diǎn)

13、，若，則o是abc的 a、重心 b、垂心 c、外心 d、內(nèi)心1.2在abc中，有命題；若，則abc為等腰三角形；若，則abc為銳角三角形，上述命題中正確的是 a、 b、 c、 d、例1、已知abc中，有和,試判斷abc的形狀。練習(xí)1、已知abc中，b是abc中的最大角，若，試判斷abc的形狀。4、運(yùn)用向量等式實(shí)數(shù)互化解與三角形有關(guān)的向量問題例2、已知o是abc所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則o是abc的 a、重心 b、垂心 c、外心 d、內(nèi)心5、運(yùn)用向量等式圖形化解與三角形有關(guān)的向量問題例3、已知p是abc所在平面內(nèi)的一動點(diǎn)，且點(diǎn)p滿足，則動點(diǎn)p一定過abc的 a、重心 b、垂心 c、外心 d、內(nèi)心

14、練習(xí)2、已知o為平面內(nèi)一點(diǎn)，a、b、c平面上不共線的三點(diǎn)，動點(diǎn)p滿足，則動點(diǎn)p 的軌跡一定通過abc的 a、重心 b、垂心 c、外心 d、內(nèi)心例4、已知o是abc所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，動點(diǎn)p滿足，則動點(diǎn)p一定過abc的 a、重心 b、垂心 c、外心 d、內(nèi)心練習(xí)3、已知o是abc所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，動點(diǎn)p滿足，則動點(diǎn)p一定過abc的 a、重心 b、垂心 c、外心 d、內(nèi)心例5、已知點(diǎn)g是的重心，過g作直線與ab、ac分別相交于m、n兩點(diǎn)，且，求證：7、作業(yè)1、已知o是abc內(nèi)的一點(diǎn)，若，則o是abc的 a、重心 b、垂心 c、外心 d、內(nèi)心2、若abc的外接圓的圓心為o，半徑為1，且，則等于 a、 b、0