電磁場的相對論變換1024谷風教學

1、一、問題的提出電流是電荷的定向流動，而靜止或運動都是相對于特定的參考系而言的。很自然地可以想到，若在一個參考系s中靜止的電荷，在s系中觀察只存在電場，在相對于s系勻速運動的s'系中觀察則同時存在電場和磁場；同樣，在s系中靜止的兩個電荷間只存在靜電力，而在s'系中這兩個電荷間不僅存在電的相互作用，還存在磁的相互作用。經(jīng)典電磁學中感應(yīng)電動勢分為感生和動生兩種，只具有相對意義。例如一個磁鐵和一個線圈，當磁鐵靜止、線圈運動時，因線圈切割磁感應(yīng)線而在其中產(chǎn)生動生電動勢，此電動勢是由磁場產(chǎn)生的洛倫茲力引起的；若線圈靜止、磁鐵運動時，線圈中因磁通量變化而產(chǎn)生感生電動勢，此電動勢是由渦旋電場引

2、起的。上述兩種情形是同一物理過程在兩個不同參考系中觀察的結(jié)果，得到不同的描述，這個問題也正是1905年愛因斯坦創(chuàng)立狹義相對論的那篇論文論動體的電動力學中一開始就提出的。物理現(xiàn)象不應(yīng)隨參考系而異。在不同參考系中，電磁規(guī)律的形式為何不同？已建立的電磁規(guī)律是相對于哪個參考系的？不同參考系中得到的電磁規(guī)律之間有什么相互關(guān)系？電磁學中，無論速度多么低，伽利略變化都不再適用，解決這些問題要靠相對論。二、相對論力學的相關(guān)結(jié)論1、洛倫茲變換設(shè)有兩個慣性系s系和s'系，其對應(yīng)的坐標軸互相平行，s'系相對s系以速度v沿x軸正方向運動，在t=t'=0時刻兩個參考系的原點重合。把時間寫成虛變量

3、w=ict，以(x,y,z,w)為閔可夫斯基空間中的時空四矢量，洛倫茲變換為 式中i為虛數(shù)單位，c為真空中的光速。若(ax,ay,az,at)與(x,y,z,w)一樣地服從洛倫茲變換，即 則它也是個時空四矢量。2、四維速度相對于粒子靜止的時鐘所顯示的時間間隔d=dt稱為它的固有時，固有時是洛倫茲變換中的不變量。四維速度(ux,uy,uz,ut)定義為四維速度是時空四矢量，它仍服從洛倫茲變換 3、四維動量四維動量是由三維動量和能量w組成的四維矢量m0為靜質(zhì)量m0為靜質(zhì)量。四維動量是時空四矢量，它仍服從洛倫茲變換 三、電荷不變性與洛倫茲力公式的協(xié)變性在參考系變換時，物理量一般是變化的，規(guī)律的協(xié)變性

4、要求規(guī)律中的物理量協(xié)同變換，而保持規(guī)律的形式不變。許多事實表明，一個物體中的總電荷量不因物體的運動而改變。例如實驗測定速度為v的帶電粒子的荷質(zhì)比滿足而質(zhì)量隨速度變化的相對論公式為比較這兩個公式，暗示著帶電體的電量q不隨運動速度而改變。又例如質(zhì)子所帶的正電量與電子所帶的負電量精確相等。由于物體運動時，在其運動方向上長度將收縮，物體的體積也將收縮，故帶電體的電荷密度不是不變量。若在某一參考系中觀察到一個靜止的帶電體的電荷密度為，在另一參考系中觀察到帶電體的運動速度為u，其電荷密度為'，則'=。相對性原理要求電磁學的基本方程在洛倫茲變換下要具有協(xié)變性。經(jīng)典電磁學中的洛倫茲力公式只包含

5、磁場力，不可能具有協(xié)變性，普遍的洛倫茲力公式應(yīng)包含電場力，即這里的電場既包含庫侖場，也包含渦旋場。四、電磁場的相對論變換公式在相對論力學中四維動量是時空四矢量，服從洛倫茲變化；但它對時間t的導(dǎo)數(shù)即由力的三個分量(fx,fy,fz)和功率p的組合并不構(gòu)成時空四矢量。若把dt換成固有時間隔d，或者說在上述四個量上乘以就變成服從洛倫茲變換的時空四矢量 電磁學中電荷q受到的洛倫茲力和功率為乘以，得根據(jù)洛倫茲變換下的協(xié)變性要求，從慣性系s變換到慣性系s'，上式應(yīng)該具有的形式為利用s系到s'系的洛倫茲變換，有把上式中的ux、uy、uz、ut作洛倫茲反變換，化簡后得到由于上式對任意速度都成立

6、，令其中u't、u'y、u'z的系數(shù)與中u't、u'y、u'z的系數(shù)對應(yīng)相等，得到同樣的方法運用到其他分量，得到電磁場的洛倫茲變換公式為 五、運動的點電荷的電場考慮一個電量為q的點電荷靜止于s'系的原點，它在所產(chǎn)生的電場為其分量為式中。s'系中不存在磁場，即現(xiàn)設(shè)參考系s'系相對s系以速度v沿x軸正方向運動，兩個參考系對應(yīng)的對比澳洲相互平行且在t=t'=0時刻兩個參考系原點重合，則s系中的電場就是所求的運動的點電荷的電場。利用洛倫茲變換公式，得考慮t=0時刻，有也就是說，電場強度與坐標軸之間的夾角等于徑矢與坐標軸之間

7、的夾角，或者說電場強度的方向沿著以點電荷的瞬時位置為起點的徑矢方向?？紤]電場強度大小的分布故此結(jié)果表明，運動的點電荷的電場強度的大小除了與r2成反比外，還依賴于徑矢與運動方向之間的夾角以及電荷的運動速率v，電場強度的大小不是各向均勻的。隨著電荷的運動，電場強度的這種分布以同一速度向前運動。當點電荷速度v較小，<<1而可忽略時，電場近似為庫侖場。電荷的速度越大，電場線在yoz平面附近的密集越高，在1的極限情形下，極強的電場局限在yoz平面內(nèi)，運動電荷攜帶這樣的電場高速運動。六、運動的點電荷的磁場根據(jù)電磁場的洛倫茲變換公式，可得點電荷勻速運動時空間的磁感應(yīng)強度為寫成矢量表達式為該式表明，點電荷勻速運動時，空間的磁場也是隨時間變化的，它總是垂直于速度矢量和電場矢量所決定的平面。磁感應(yīng)線是一些以電荷運動軌跡為軸的同心圓。在t=0時刻點電荷恰好處于s系原點時，磁感應(yīng)強度的大小為電場與磁場是相互聯(lián)系的，真空介電常數(shù)0與真空磁導(dǎo)率0之間的關(guān)系為于是與電場線的分布對應(yīng)，磁感應(yīng)線也在yoz平面附近較為密集。電荷的速度越大，磁感應(yīng)線在yoz平面附近的密集程度越高。隨著電荷的運動，磁感應(yīng)強度的這種分布以同一速度向前運動。當電荷運動速度較小，<<1而可忽略時，磁感應(yīng)強度的分布為寫成矢量表達式為這就是低速情形下勻速運動的點電荷產(chǎn)生的磁場的公式。作的代換，可過渡到電流元產(chǎn)生的磁場的公