偏微分方程數(shù)值解法試題與答案

1、一填空（分）1若步長(zhǎng)趨于零時(shí)，差分方程的截?cái)嗾`差，則差分方程的解趨近于微分方程的解. 此結(jié)論_（錯(cuò)或?qū)Γ?一階sobolev空間關(guān)于內(nèi)積_是hilbert空間；3對(duì)非線性（變系數(shù)）差分格式，常用 _系數(shù)法討論差分格式的_穩(wěn)定性；4寫(xiě)出在區(qū)間上的兩個(gè)一階廣義導(dǎo)數(shù)：_，_；5隱式差分格式關(guān)于初值是無(wú)條件穩(wěn)定的. 此結(jié)論_（錯(cuò)或?qū)Γ?。二?3分）設(shè)有橢圓型方程邊值問(wèn)題bdac 用 作正方形網(wǎng)格剖分 。 （1）用五點(diǎn)菱形差分格式將微分方程在內(nèi)點(diǎn)離散化；（2）用截?cái)嗾`差為的差分法將第三邊界條件離散化；（3）整理后的差分方程組為 三（12）給定初值問(wèn)題 ， 取時(shí)間步長(zhǎng)，空間步長(zhǎng)。試合理選用一階偏心差分格

2、式（最簡(jiǎn)顯格式）, 并以此格式求出解函數(shù)在處的近似值。 1所選用的差分格式是： 2計(jì)算所求近似值：四（12分）試討論差分方程 逼近微分方程 的截?cái)嗾`差階。思路一：將r帶入到原式，展開(kāi)后可得格式是在點(diǎn)（l+1/2,k+1/2）展開(kāi)的。思路二：差分格式的用到的四個(gè)點(diǎn)剛好是矩形區(qū)域的四個(gè)頂點(diǎn)，可由此構(gòu)造中心點(diǎn)的差分格式。五（12分）對(duì)拋物型方程，考慮du fort-frankel格式 試論證該格式是否總滿足穩(wěn)定性的von-neumann條件？六 （12分）（1）由green 第一公式推導(dǎo)green第二公式： （2） 對(duì)雙調(diào)和方程邊值問(wèn)題 ，選擇函數(shù)集合（空間）為：推導(dǎo)相應(yīng)的雙線性泛函和線性泛函： 相

3、應(yīng)的虛功問(wèn)題為：極小位能問(wèn)題為七（12分）設(shè)有常微分方程邊值問(wèn)題 將區(qū)間作剖分： 1若要求節(jié)點(diǎn)基函數(shù)為分段三次多項(xiàng)式且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試寫(xiě)出基函數(shù)所應(yīng)滿足的插值條件： 2畫(huà)出基函數(shù)在上的圖形： 3將有限元解用基函數(shù)的形式表示出來(lái)：八（12分）設(shè)有常微分方程邊值問(wèn)題 1. 轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分問(wèn)題選擇函數(shù)集合（空間）為：推導(dǎo)相應(yīng)的雙線性性泛函和線性泛函： 2. 將二等分，采用線性元的有限元方法，導(dǎo)出有限元方程并求解。參考解答二（1） 即 （2） 或 （3） 或 三 四box格式，二階五練習(xí)題?？倽M足。六1在第一公式中 將位置對(duì)換，并進(jìn)一步換 在原公式中換 2取 ,由第二公式有， 虛工問(wèn)題：求，使 極小位能：求，使 七1 2 八1. 取 作內(nèi)積 ，分部積分 虛工問(wèn)題：求，使