第08章 最優(yōu)設計方法—狀態(tài)空間法

1、第第8章章 最優(yōu)設計方法最優(yōu)設計方法狀態(tài)空間法狀態(tài)空間法 8.1 引引 言言 前兩章闡述的系統(tǒng)離散化設計方法，是用前兩章闡述的系統(tǒng)離散化設計方法，是用極點配置極點配置解解決系統(tǒng)設計（綜合）問題，主要設計參數(shù)是決系統(tǒng)設計（綜合）問題，主要設計參數(shù)是閉環(huán)極點閉環(huán)極點。 本章研究系統(tǒng)本章研究系統(tǒng)最優(yōu)設計最優(yōu)設計方法。系統(tǒng)用線性離散狀態(tài)空方法。系統(tǒng)用線性離散狀態(tài)空間描述，性能準則是狀態(tài)與控制信號的二次型函數(shù)，設計間描述，性能準則是狀態(tài)與控制信號的二次型函數(shù)，設計問題就是問題就是尋求使性能準則為最小的允許控制信號序列尋求使性能準則為最小的允許控制信號序列，所，所設計的數(shù)字控制器是線性的，這類問題被稱為線

2、性二次型設計的數(shù)字控制器是線性的，這類問題被稱為線性二次型控制問題?？刂茊栴}。繼而研究在隨機信號擾動下的線性二次型高斯繼而研究在隨機信號擾動下的線性二次型高斯（LQG）控制問題?？刂茊栴}。 本章主要闡述如下兩個問題：本章主要闡述如下兩個問題：1. 建立在二次型代價函數(shù)（性能指標）最小基礎上的狀態(tài)建立在二次型代價函數(shù)（性能指標）最小基礎上的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)設計；反饋控制系統(tǒng)設計；2. 在隨機擾動作用下，最優(yōu)狀態(tài)估計在隨機擾動作用下，最優(yōu)狀態(tài)估計卡爾曼濾波器的卡爾曼濾波器的設計。設計。8.2 最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)設計最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)設計 8.2.1 設計準則設計準則 (1)( )( )(82 1)(0)(0)

3、0( )0 x kAx kBu kxxr k設線性系統(tǒng)離散化狀態(tài)方程：初始狀態(tài)已知，輸入。計計者者確確定定。取取對對角角陣陣），它它們們由由設設均均為為實實對對稱稱方方陣陣（往往往往為為正正定定陣陣，為為半半正正定定陣陣，加加權權矩矩陣陣，式式中中，表表示示：二二次次型型性性能能指指標標用用RSQSRQkRukukQxkxNxNxJJNkTTT,:,)()()()(21)(S)(2110 為為最最優(yōu)優(yōu)跡跡線線。，此此時時稱稱對對應應的的使使狀狀態(tài)態(tài)由由，：為為最最小小的的控控制制向向量量序序列列尋尋求求使使二二次次型型性性能能指指標標條條件件下下，由由狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋：滿滿足足式式最最優(yōu)優(yōu)調調

4、節(jié)節(jié)設設計計準準則則：在在NkkxNxxNkkuJkxkLku, 2 , 1 , 0)(0)()0(1, 2 , 1 , 0)()()()()128( 所設計的系統(tǒng)見圖所設計的系統(tǒng)見圖8-2-1。由。由J= Jmin準則設計的系統(tǒng)稱準則設計的系統(tǒng)稱線性線性二次型（二次型（LQ）控制系統(tǒng)，控制器稱控制系統(tǒng)，控制器稱線性二次調節(jié)器線性二次調節(jié)器。 圖圖8-2-1 LQ控制系統(tǒng)框圖控制系統(tǒng)框圖xr=0 uy_A,BL(k)CZOH 由式（由式（8-2-2）可見，）可見，LQ控制問題是一種控制問題是一種N階段問題，即階段問題，即為為“有限時間有限時間” 問題。式中，第一項稱終點代價，其余兩項問題。式中

5、，第一項稱終點代價，其余兩項稱運轉代價：其中，第一項反映了由初始狀態(tài)趨向于平衡位稱運轉代價：其中，第一項反映了由初始狀態(tài)趨向于平衡位置響應的快慢，第二項反映了功耗的大小。置響應的快慢，第二項反映了功耗的大小?！皺鄼唷钡倪x擇可的選擇可依據(jù)所著重的品質而定。依據(jù)所著重的品質而定。 對于很多實際系統(tǒng)，對于很多實際系統(tǒng)，N，即為即為“無限時間無限時間” 問題。問題。在本節(jié)，有限與無限時間問題均予以討論。在本節(jié)，有限與無限時間問題均予以討論。 )(kSS 對對某某個個變變量量的的要要求求。某某一一元元素素的的大大小小來來調調節(jié)節(jié)、可可通通過過調調節(jié)節(jié)陣陣，若若為為對對角角陣陣，則則為為陣陣，為為、RQR

6、RRQQQmmRnnSQmmnn 00R,00Q22112211 權矩陣權矩陣Q、R、S與狀態(tài)向量、控制向量有關的物理限制與狀態(tài)向量、控制向量有關的物理限制（如：上、下限值等）、與所研究問題的性質有關。（如：上、下限值等）、與所研究問題的性質有關。Q、R一一般是定常的，般是定常的，S可對不同階段取不同陣：可對不同階段取不同陣： 。8.2.2 變分法變分法 用變分法中的拉格朗日乘數(shù)法解用變分法中的拉格朗日乘數(shù)法解LQ問題。求解步驟：問題。求解步驟： 從數(shù)學角度可以說，最優(yōu)控制要解決的問題是，求泛函從數(shù)學角度可以說，最優(yōu)控制要解決的問題是，求泛函J在式（在式（8-2-1）條件下的極值問題，典型的求

7、解方法：）條件下的極值問題，典型的求解方法：動態(tài)規(guī)動態(tài)規(guī)劃法劃法和和變分法變分法。1. 構造哈密頓（構造哈密頓（Hamilton）函數(shù)函數(shù) 將式（將式（8-2-1）寫成：）寫成： 引入拉格朗日乘子向量：引入拉格朗日乘子向量： 0)1()()( kxkBukAxTnkkkk)()()()(21 構造哈密頓函數(shù)：構造哈密頓函數(shù)： )1()()()1()()()(Q)(21)()(2110 kxkBukAxkkRukukxkxNSxNxHTTNkTT 于是，將原來于是，將原來求求J的條件極值的條件極值問題，變成問題，變成求求H的無條件極的無條件極值值問題。問題。 2. 開環(huán)最優(yōu)調節(jié)開環(huán)最優(yōu)調節(jié) 依據(jù)

8、變分原理，式（依據(jù)變分原理，式（8-2-2）代價函數(shù)）代價函數(shù)J= Jmin最?。ㄒ卜Q最最?。ㄒ卜Q最優(yōu)）的必要條件：優(yōu)）的必要條件： 。0 H因因 )1()1()()()()( kkHkukuHkxkxHH 則則J最優(yōu)的必要條件為最優(yōu)的必要條件為： 1, 1 , 0,0)()1()()( NkkkAkQxkxHT 1, 1 , 0,0)1()()( NkkBkRukuHT 1, 1 , 0,0)1()()()1( NkkxkBukAxkH 由上三式可求得開環(huán)最優(yōu)調節(jié)描述為由上三式可求得開環(huán)最優(yōu)調節(jié)描述為： 1, 1 , 0, )1()()( NkkAkQxkT 1, 1 , 0, )1()(1

9、 NkkBRkuT 1, 1 , 0, )1()()1(1 NkkBBRkAxkxT 終止階段的拉格朗日乘子向量，可由：終止階段的拉格朗日乘子向量，可由： 0)()()( NNSxNxH 求得：求得： )()(NSxN 3. 閉環(huán)最優(yōu)調節(jié)閉環(huán)最優(yōu)調節(jié) 為求閉環(huán)反饋最優(yōu)調節(jié)，引入為求閉環(huán)反饋最優(yōu)調節(jié)，引入Riccati變換變換： )()()(kxkPk )1()1()()()( kxkPAkQxkxkPT 1928)()1()1()1()()1(111 kAxkPBBRIkxkPBBRkAxkxTT則則)2128()1()1()()()1()1()()()(1111 AkPBBRIkPAQkPk

10、AxkPBBRIkPAkQxkxkPTTTT在最終段，在最終段，k=N，可得：可得： 。，即即SNPNSxNxNPk )()()()()( 可見，在已知可見，在已知Q、S、A、B情況下，由情況下，由k=N開始，沿階段開始，沿階段數(shù)減小方向，根據(jù)上式一步步倒推，可求得數(shù)減小方向，根據(jù)上式一步步倒推，可求得P(k)各值。各值。 )2428()()()()()2328()()()()()()(1111 QkPABRkLkLkxkLkxQkPABRkuTTTT陣陣，且且可可現(xiàn)現(xiàn)脫脫機機計計算算：即即為為所所求求的的反反饋饋增增益益矩矩式式中中，控控制制變變量量為為102208-2-1 (1)( )2

11、( ),(0)1014( )( )2kx kx ku kxJxkuk例已知對象特性：代價函數(shù)：設計線性二次型調節(jié)器。、繼繼續(xù)續(xù)遞遞推推，直直至至：可可遞遞推推求求得得、由由式式。已已知知參參數(shù)數(shù)：解解)0()0(0)44(2)10(4)11(221)11(4)10(0 , 9 ,10),(),()2428()2128(0)11(, 1, 4, 2, 1:1LPLPPPkkLkPPSRQBA min(8-2-23) (8-2-19)( ), ( ),0,1,10,u kx kkJJ由式、求得的是使的控制序列與系統(tǒng)狀態(tài)，可見，系統(tǒng)很快回到平衡狀態(tài)。8.2.3 無限時間問題無限時間問題 以上討論的以

12、上討論的LQ控制是控制是“有限時間有限時間”問題，下面討論問題，下面討論N的的“無限時間無限時間”問題。問題。1. 確定穩(wěn)態(tài)反饋增益矩陣確定穩(wěn)態(tài)反饋增益矩陣L 由例由例8-2-1、8-2-2可知，對于可知，對于A、B、Q、R為定常陣，且為定常陣，且（A,B）具有能控性情況，具有能控性情況，N有限時，反推求得的有限時，反推求得的P(k)、L(k)雖雖是時變的，但在前幾個時間段，已基本上是常值。為此推斷出，是時變的，但在前幾個時間段，已基本上是常值。為此推斷出，當當N很大時，由最終段倒推，很大時，由最終段倒推， P(k)、 L(k)會隨著會隨著k的減小很快趨的減小很快趨于常值，稱為于常值，稱為穩(wěn)態(tài)

13、解穩(wěn)態(tài)解，此時，式（，此時，式（8-2-21）成為代數(shù)方程：）成為代數(shù)方程： )2728()()()2628()()()2428()2528(1111 kLxkuQPABRLLAPBBRIPAQPTTTT狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋控控制制：得得到到：由由式式穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)反反饋饋增增益益矩矩陣陣 確定確定L的遞推法：取某一有限的遞推法：取某一有限N值，與例值，與例8-2-1、8-2-2同樣同樣方法遞推，當方法遞推，當P(k)、L(k)變化很小時，定其為近似穩(wěn)態(tài)解變化很小時，定其為近似穩(wěn)態(tài)解L。2. LQ調節(jié)閉環(huán)極點調節(jié)閉環(huán)極點 求求得得。程程：則則閉閉環(huán)環(huán)極極點點可可由由特特征征方方可可得得：、由由式式0)(

14、)()1()()()()()1()2728()128( BLAzIkxBLAkxkLxkukBukAxkx個個穩(wěn)穩(wěn)定定特特征征根根。的的是是廣廣義義特特征征方方程程：有有關關，可可證證明明閉閉環(huán)環(huán)極極點點、與與由由于于nAIzQBBRAzIRQLTT011 3. 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性 在在A、B、Q、R為定常，為定常，Q 0，R0前提下，前提下，P(k)或或S(k)存在正定的穩(wěn)態(tài)解，可證明，構成的存在正定的穩(wěn)態(tài)解，可證明，構成的LQ調節(jié)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，調節(jié)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即其特征根必位于即其特征根必位于Z平面單位圓內，求解的平面單位圓內，求解的x(k)表示由初始表示由初始狀態(tài)狀態(tài)x(0)得

15、到的自由運動必衰減到零，即達到平衡位置。且得到的自由運動必衰減到零，即達到平衡位置。且代價函數(shù)代價函數(shù)J為有限值。為有限值。 4. 單輸入單輸出（單輸入單輸出（SISO）系統(tǒng)系統(tǒng) 為便于說明，以為便于說明，以SISO系統(tǒng)為例予以討論。系統(tǒng)為例予以討論。 0)()(21)()()()()1(1022 TTTnkAIzCqCBBAzIkukqyJkCxkykBukAxkx特特征征方方程程：代代價價函函數(shù)數(shù)：對對象象狀狀態(tài)態(tài)空空間間描描述述)3728(0)()(1)()(0)()(111111 zGzqGBAzICzGSISOBAzICCAIzqBIAIzAzIdddTTTT可可得得閉閉環(huán)環(huán)特特征征

16、方方程程：系系統(tǒng)統(tǒng)：對對得得到到由由行行列列式式的的相相應應性性質質可可 為了說明權為了說明權q對閉環(huán)極點的影響，畫出對閉環(huán)極點的影響，畫出q由由0的極點軌的極點軌跡，可見，上式具有跡，可見，上式具有“根軌跡根軌跡”的形式，閉環(huán)極點是上式在的形式，閉環(huán)極點是上式在單位圓內的根。單位圓內的根。 2208-2-3 0.36800.632(1)( )( )0.63210.368( )01( )1( )( )2kx kx ku ky kx kJqykukqLQ例已知對象特性代價函數(shù)：畫出以 為變量的調節(jié)閉環(huán)極點軌跡。20.368(0.718)( )(1)(0.368)(8237)(0.718)(1.3

17、93)1 0.2640(1) (0.368)(2.718)0:1,0.368,2.718:0,0.718,1.3938-2-4dzGzzzz zzqzzzqzzzqzzz 解：由式求得閉環(huán)特征方程：極點軌跡起點：終點：見圖，閉環(huán)極點軌跡為單位圓內的部分，因對稱于實軸，故只畫了上半平面。8.3 有輸入的系統(tǒng)設計有輸入的系統(tǒng)設計 這里僅討論如圖這里僅討論如圖7-6-1所示具有輸入前饋、狀態(tài)反饋的所示具有輸入前饋、狀態(tài)反饋的LQ控制系統(tǒng)的設計，輸入階躍信號控制系統(tǒng)的設計，輸入階躍信號r(k)=r0，L為反饋矩陣，為反饋矩陣，N為為前饋矩陣，系統(tǒng)描述為前饋矩陣，系統(tǒng)描述為 )338()()()()()

18、()()()1(kNrkLxkukCxkykBukAxkx)438()()(1 BNBLAzICzH閉環(huán)傳函為閉環(huán)傳函為 000000CxyBuAxxr 輸輸入入下下穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)描描述述為為則則在在設設要要求求系系統(tǒng)統(tǒng)跟跟蹤蹤輸輸入入， )()()()()1()1(0000 xkxCkyukuBxkxAxkxkx差差、輸輸出出偏偏差差為為在在過過渡渡過過程程中中，狀狀態(tài)態(tài)偏偏。，使使確確定定性性能能指指標標為為min0)()()()()(21JJkukuRkukxQkxJkTT 。可可求求得得前前饋饋矩矩陣陣由由式式設設比比較較可可知知與與式式為為最最優(yōu)優(yōu)與與調調節(jié)節(jié)系系統(tǒng)統(tǒng)設設計計相相同同，Nr

19、yLxuNrLxukLxkuxkxLukukxLkuku)438(,)338()()()()()()()(000000000 以上討論的是系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測情況下系統(tǒng)的設計問以上討論的是系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測情況下系統(tǒng)的設計問題。如果全部或部分狀態(tài)是不可測的，就需按上章所述，進題。如果全部或部分狀態(tài)是不可測的，就需按上章所述，進行狀態(tài)觀測器設計，以重構狀態(tài)。行狀態(tài)觀測器設計，以重構狀態(tài)。8.4 最優(yōu)隨機控制最優(yōu)隨機控制 本節(jié)討論被控對象受隨機擾動作用下的最優(yōu)控制。由于本節(jié)討論被控對象受隨機擾動作用下的最優(yōu)控制。由于考慮的擾動是具有正態(tài)分布的白噪聲，因此稱為線性二次高考慮的擾動是具有正態(tài)分布的白噪聲

20、，因此稱為線性二次高斯斯(LQG)控制問題。控制問題。 LQG問題的解，由如下兩部分組成：問題的解，由如下兩部分組成：1. 設計最優(yōu)狀態(tài)估計器設計最優(yōu)狀態(tài)估計器卡爾曼濾波器?？柭鼮V波器。2. 用估計狀態(tài)，構成線性反饋控制，與系統(tǒng)中無擾動作用時用估計狀態(tài)，構成線性反饋控制，與系統(tǒng)中無擾動作用時所設計的相同。所設計的相同。 根據(jù)分離定理，上述兩部分可分別進行獨立設計。根據(jù)分離定理，上述兩部分可分別進行獨立設計。8.4.1 對象離散隨機模型對象離散隨機模型 設對象受白噪聲設對象受白噪聲w(k)干擾，且輸出量測過程具有隨機誤干擾，且輸出量測過程具有隨機誤差差v(k)，見圖見圖8-4-1。設。設x(k

21、)、w(k)、v(k)具有如下特性：具有如下特性：（1）三者之間不相關。）三者之間不相關。（2）對象初始狀態(tài)）對象初始狀態(tài)x(0)的均值與協(xié)方差陣為的均值與協(xié)方差陣為 ),()0()0()0()0(0000PmNxPxxEmxETji 可可記記為為 jijiRkvkvEkvEkvQkwkwEkwEkwijijTjiijTji，式中式中的均值和協(xié)方差陣為的均值和協(xié)方差陣為）（的均值和協(xié)方差陣為的均值和協(xié)方差陣為）（01)()(0)()(4)()(0)()(311 ww v + + + u 對象 G B z-1 A C 圖圖 8-4-1 受受白白噪噪聲聲干干擾擾的的對對象象 )()()()()()

22、()1(kvkCxkykGwkBukAxkx為為對對象象之之狀狀態(tài)態(tài)空空間間表表達達式式同同樣樣方方式式傳傳播播的的。之之均均值值是是以以無無干干擾擾系系統(tǒng)統(tǒng)說說明明之之均均值值也也成成為為噪噪聲聲過過程程。動動，因因此此狀狀態(tài)態(tài)由由于于對對象象受受噪噪聲聲過過程程驅驅)()()()1()()(. 1)(kxkBukxAkxkxkxkx 。為狀態(tài)偏差：為狀態(tài)偏差：式中式中之協(xié)方差矩陣之協(xié)方差矩陣)()()()()()()()()()()()(. 2kxkxkxkxkxkxEkxkxkxkxEkPkxTT 。任任意意采采樣樣時時刻刻之之的的情情況況下下，可可遞遞推推求求得得在在已已知知為為之之協(xié)

23、協(xié)方方差差矩矩陣陣傳傳播播公公式式可可推推出出狀狀態(tài)態(tài))()0()()1()(1kPPGGQAkAPkPkxTT 001228-4-1 (1)( )( )01200( )(0,4)(0)(0,)00( )( )1,2,3x kx kw kw kNxNPPx kP kk 例已知對象特性，求，。0)()1(1 kxAkx）求均值：）求均值：解：（解：（ 3993516)3(,122532)2(,111116)1()0(224221201)(1021)1()()1()2(1PPPPkPkPGGQAkAPkPTTT，可求得，可求得已知已知求協(xié)方差矩陣求協(xié)方差矩陣8.4.2 最優(yōu)狀態(tài)估計最優(yōu)狀態(tài)估計卡爾

24、曼濾波器設計卡爾曼濾波器設計1. 設計準則設計準則 在系統(tǒng)狀態(tài)不能直接觀測時，可設計在系統(tǒng)狀態(tài)不能直接觀測時，可設計最優(yōu)狀態(tài)估計器最優(yōu)狀態(tài)估計器，也稱也稱卡爾曼濾波器卡爾曼濾波器，它是一種全階狀態(tài)觀測器，是以，它是一種全階狀態(tài)觀測器，是以狀態(tài)估狀態(tài)估計誤差的方差最小計誤差的方差最小為準則設計的。為準則設計的。 卡爾曼濾波器之結構與式（卡爾曼濾波器之結構與式（7-4-11）相同，是向前一步預）相同，是向前一步預報器，但報器，但區(qū)別是：確定增益矩陣區(qū)別是：確定增益矩陣K的方法不同，它是時變的，的方法不同，它是時變的，記為記為K(k)，是作為參數(shù)最優(yōu)化問題來解決的。是作為參數(shù)最優(yōu)化問題來解決的。 對

25、于高斯擾動情況，最優(yōu)狀態(tài)估計器設計準則為：確定對于高斯擾動情況，最優(yōu)狀態(tài)估計器設計準則為：確定式（式（7-4-11）中增益矩陣）中增益矩陣K(k)，使狀態(tài)估計誤差的方差最小。使狀態(tài)估計誤差的方差最小。之之協(xié)協(xié)方方差差矩矩陣陣。為為式式中中或或。設設計計準準則則要要求求：誤誤差差為為，估估計計狀狀態(tài)態(tài)的的重重構構狀狀態(tài)態(tài)為為設設卡卡爾爾曼曼濾濾波波器器估估計計的的xkPJktrPJJkxkxEJkxkxkxkxT)(,)()()()( )()()( minmin 2. 卡爾曼濾波器設計卡爾曼濾波器設計 1111)()()()()()()()()1()( )()()()( )1( RCkCPCkA

26、PkKkKRkKGGQCkKAkPCkKAkPkxCkykKkBukxAkxTTTTT法法為為離離散散時時間間卡卡爾爾曼曼濾濾波波算算201(1)( )8-4-2 ( )( )( )(0)(2,)(2,0.5)( )(0,)(0,)0.01 0.05x kx ky kx kv kxNPNv kNRN例已知系統(tǒng)，。設計卡爾曼濾波器，并與增益為、的向前一步預報器比較。)( )()()( )1( 101kxkykKkxkxCBA 向向前前一一步步預預報報器器為為，解解： 22221)()()1()()()(0)1( kPkPkPkPkPkKQR，可可推推出出，卡卡爾爾曼曼濾濾波波器器設設計計。一一次

27、次實實現(xiàn)現(xiàn)，見見圖圖的的，可可求求得得系系統(tǒng)統(tǒng)估估計計誤誤差差，設設的的均均值值為為狀狀態(tài)態(tài)估估計計誤誤差差)(24812)0()0()()(1)1()(20axEPPkxEkKkxEkx ，則則，）（設設常常值值向向前前一一步步預預報報器器12)0(0)()1()1()(1 )1()2(20222 xEPPKkPKkPkxEKkxEK估估計計誤誤差差的的一一次次實實現(xiàn)現(xiàn)。時時系系統(tǒng)統(tǒng)、，分分別別為為圖圖時時，時時，05. 001. 01)(24805. 0)(95. 0)1(295. 0)(05. 001. 0)(99. 001. 0)()01. 01()1(299. 0)0()01. 01()(01. 012221222221 KcbkPkPkxEKkPkPkPxEkxEKkkk 三種濾波器比較可知：三種濾波器比較可知： 小的常值增益小的常值增益K，使估計誤差減小緩慢，但穩(wěn)定性能好；使估計誤差減小緩慢，但穩(wěn)定性能好；大的常值增益在開始段使估計誤差減小較快，但穩(wěn)態(tài)特性較大的常值增益在開始段使估計誤差減小較快，但穩(wěn)態(tài)特性較差；用卡爾曼濾波器，使誤