牧羊人的希望

1、-作者xxxx-日期xxxx牧羊人的希望【精品文檔】2011年河南理工大學數(shù)學建模課程論文姓 名論文題目學 號學院、專業(yè)論文分數(shù)一、 摘要 一個牧羊人擁有 x平方米的牧場，他滿懷憧憬地做今后幾年的計劃，希望能獲得滿意的收益。他需要考慮以下問題：(a) 他應該飼養(yǎng)多少羊？(b) 夏季應存儲多少干草用著冬季飼料？(c) 為了繁殖，每年保留多大比例的母羊？你能建立一個數(shù)學模型來幫助他解決以上問題嗎？你可以利用下面的資料。下面是低洼地的某一類草（多年生黑麥草）的近似平均生長率：冬季 春季 夏季 秋季 日生長率（克） 0 3 7 4 一般母羊的生育期是58年，每年產(chǎn)一頭、兩頭或三頭。如果每只母羊僅喂養(yǎng)5

2、年就出售，下面一只母羊在每個年齡段生產(chǎn)的平均羊羔數(shù)：年齡（年） 01 12 23 34 45 生產(chǎn)的羊羔（頭） 0 1.8 2.4 2.0 1.8 在一年里每頭羊所需飼料的平均飼養(yǎng)量為：日需草量（公斤） 羔羊 母羊 冬季 0 2.10 春季 1.00 2.40 夏季 1.65 1.15 秋季 0 1.35 關(guān)鍵詞：最優(yōu)化問題 分類討論 線性規(guī)劃 二、 問題分析1問題的敘述 一個牧羊人擁有 x平方米的牧場，他滿懷憧憬地做今后幾年的計劃，希望能獲得滿意的收益。他需要考慮以下問題：(a) 他應該飼養(yǎng)多少羊？(b) 夏季應存儲多少干草用著冬季飼料？(c) 為了繁殖，每年保留多大比例的母羊？ 2問題的分

3、析 這是個關(guān)于資源分配的優(yōu)化問題即以固定的資源經(jīng)過合理分配獲得最大利潤。在本問題中，我們的目標是合理分配所擁有的牧場及草料養(yǎng)羊，合理分配養(yǎng)羊羔、母羊的數(shù)目和比例及草料存儲使牧羊人在今后n年中獲得的總利潤最大。而獲得的利潤受到養(yǎng)羊的成本、賣羊羔和母羊的數(shù)量、市場供求關(guān)系等因素的影響。初步分析：如果每年都獲得當年的最大利潤，則總利潤必達到最大化?，F(xiàn)在考慮養(yǎng)殖達到的穩(wěn)定狀態(tài)即草料、場地等正好得到充分利用，則每年獲得利潤必達到最大，也是養(yǎng)殖追求最大利潤的最理想狀態(tài)。而合理的配置所擁有的資源，可以提高牧場的產(chǎn)量，增加經(jīng)濟效益；保持年齡結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定，則可以保持整個羊群數(shù)量的穩(wěn)定。于是我們下面就著手建立模型求

4、解穩(wěn)定狀態(tài)的母羊、羊羔數(shù)目及比例和夏季的儲草情況。由于原型中有太多的影響因素，為了建立模型求解，必須要刪繁從簡，留主去次 3 背景的分析 一個牧羊人擁有一個牧場，他滿懷憧憬地做今后幾年的計劃，希望能獲得滿意的收益。他需要考慮以下問題：(a) 他應該飼養(yǎng)多少羊？(b) 夏季應存儲多少干草用著冬季飼料？(c) 為了繁殖，每年保留多大比例的母羊？我們需要建立一個模型以幫助他接觸一個最優(yōu)化的方案使得他的收獲最大三、 模型的假設(shè)1 假設(shè)干草與鮮草的效用相同2設(shè)一年四季春夏秋冬各為90天 1.僅考慮養(yǎng)殖所需的飼草供給條件，圈舍、配合飼料、給水、飼養(yǎng)費用等其他養(yǎng)殖條件忽略不計。 2設(shè)全部用于養(yǎng)殖的土地均為生

5、長著多年生黑麥草的低洼地，牧場規(guī)模保持不變，不考慮天氣等偶然因素對黑麥草生長的影響，且牧場對草的供應是持續(xù)可靠的，而不考慮種植問題。取20cm計算知每平方米可種植36株黑麥草。這里就考慮每平方米種植36株黑麥草。3除去冬季外均進行野外放牧，因天氣不能野外放牧忽略不計，而冬季食用其他季節(jié)存儲的干草作飼料。牧羊人預先儲備了適量干草Qkg，當春天的鮮草不夠時，可以使用上一年剩余的干草。 4.鮮草與干草均具有相同的喂養(yǎng)效果。經(jīng)查資料，得知鮮草向干草的轉(zhuǎn)化率為45%。 5.母羊僅在春天繁殖，且一年僅繁殖一次。 6.羊的售出僅在春季繁殖過后進行（即繁殖后立即決定售出情況，這樣可保證羊的總數(shù)不變，且處理仍在

6、春季），其他季節(jié)不售出。 7.假設(shè)穩(wěn)定態(tài)的羊共N只，則春季考慮N只全為母羊的食草量，相鄰兩代的羊數(shù)量在繁殖售出前后的數(shù)量變化是連續(xù)的，即繁殖售出后i代羊數(shù)量為繁殖前i+1代的羊數(shù)量（因穩(wěn)定狀態(tài)要保持羊數(shù)目及比例不變，而在春季一只羊羔平均食草量小于一只母羊的平均食草量，由假設(shè)6有：母羊繁殖后就處理母羊或小羊，因此這樣假設(shè)就保證了春季草量的充足且由假設(shè)可知這樣的假設(shè)和實際食草量可認為近似吻合）。 8.草的日生長量(g)是指每株草的日生長量。 9.該牧民盡量避免近親繁殖，且只飼養(yǎng)母羊和母羊羔。 10.需要配種時，可以外配，配種成本忽略不計。 11.母羊所產(chǎn)羊羔的性別比，從概率角度一般認定為1：1，根

7、據(jù)假設(shè)9，公羊羔全部被賣出。 12.不考慮死亡等偶然因素。 13.0-1年的羊為羊羔,1-2,2-3,3-4,4-5年的羊分別為第一，二，三，四代母羊。羊羔,第一，第二，第三，第四代母羊，并且當年春季就能繁殖出羊羔（羊羔不能繁殖，買的母羊繁殖出的羊羔還要售出一部分，所以羊羔就可不用考慮購買，這樣不僅省了一部分資金買母羊繁殖，還省了買的羊羔白吃的草料）。 15.第四代母羊在春季繁殖后直接就全部售出（因每只母羊僅喂養(yǎng)5年就出售，繁殖后就售出，這樣就節(jié)省了第四代母羊從繁殖后到第二年春季的草料）。 16.羊市場穩(wěn)定，且只關(guān)心羊的數(shù)量及年代，而不關(guān)心它們的重量，每只羊羔價格p元和每只母羊的價格q元都穩(wěn)定

8、，經(jīng)查資料知p:q近似為1:3，這里認為比例就為1:3，假定羊的價格僅有這兩種。 17.羊的繁殖率按上述表格中的平均繁殖率，食草量及草的生長率亦按表格給出的平均率計算（由假設(shè)4的鮮草向干草的轉(zhuǎn)化折扣以及夏季將有三分之二的鮮草剩余，經(jīng)計算知僅將夏季的剩余鮮草曬制為干草是不夠的，所以秋季的剩余草也要進行干化。這也說明了從春季開始飼養(yǎng)的合理性）。四、模型建立1、變量假設(shè)此問題需要分類考慮，把牧草與養(yǎng)的飼養(yǎng)分別考慮后再聯(lián)系起來討論什問題有條不紊下面是用到的變量假設(shè)：a0，a1,a2,a3,a4分別為起始時刻牧羊人購進的羔羊，第一批羊，第二批羊，第三批羊，第四批羊的數(shù)量B為羊的總數(shù)X為牧場面積N為牧羊人

9、放牧的年數(shù)Q為原始牧草存儲量S1為春季產(chǎn)草量S2為春季耗草量S3為春季剩余量M1為夏季產(chǎn)草量M2為夏季耗草量M3為夏季剩余量A1為秋季產(chǎn)草量A2為秋季耗草量A3為秋季剩余量W1為冬季產(chǎn)草量 W1=0W2為冬季耗草量Y，z分別為大羊和羔羊的售出價格2、數(shù)學模型建立首先，單獨討論羊飼養(yǎng)的問題考慮到羊的飼養(yǎng)得知牧羊人買進第一批羊時不應買進公羊否則可能加大開銷。由假設(shè)第一次繁殖前牧場羔羊，第一批，第二批，第三批，第四批養(yǎng)的數(shù)量分別為a0,a1,a2,a3,a4，第一次售出后，為保證羊群的相對穩(wěn)定，應保留羔羊，第一批，第二批，第三批，第四批的數(shù)量應分別為a1,a2.a3,a4。這年結(jié)束后，羔羊，第一批，

10、第二批，第三批，第四批的數(shù)量又可意達到從前的比例。則：每年售出羔羊養(yǎng)羊數(shù)量: N=a1+a2+a3+a4目標函數(shù)：收益Y=N(0.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4)p+a4q且滿足： S3=Q+S1-S2>=0 M3=M1-M2>=0 A3=A1-A2>=0 Q=A3+M3-W2>=0 暫定p:q=1:3 1+2+a3+4>=a1 a1>=a2>=a3>=a4>=0 均取整數(shù)其中: S1=3*36x*0.001*90 S2=2.4（a1+a2+a3+a4）*90 M1=7*36x*0.001*90=22.68x M2=1+1.15(a

11、2+a3+a4)*90 A1=4*36x*0.001*90 A2=1.35(a2+a3+a4)*90 W2=2.1(a2+a3+a4)*90 （單位：千克） 化簡整理得:n年總收益：Y=N(1+2+a3+4)p+a4q制約條件為： 21-506.25(a2+a3+a4)>=01-103.5(a2+a3+a4)>=0 w2=12.96x-121.5(a2+a3+a4)>=01-290.25(a2+a3+a4)>=0 12-a34<=0 a1>=a2>=a3>=a4>=0,且均取整數(shù)各個量含義及其性質(zhì)如上所述。由此得到基本模型：MAX Y=N(

12、1+2+a3+4)p+a4q.(1) s.t. 9.72x+Q-216(a1+a2+a3+a4)>=0 .(2)1-103.5(a2+a3+a4)>=0 .(3)12.96x-121.5(a2+a3+a4)>=0 .(4)1-290.25(a2+a3+a4)>=0 .(5)12-a34-a0<=0 .(6) a1>=a2>=a3>=a4>=0,且均取整數(shù) .(7)軟件實現(xiàn)： 不妨取定x=10000平方米，n=10年，p=200元，q=600元用LINDO 6.1版本軟件求解，直接輸入： max 2200a1+4800a2+2000a3+96

13、00a4s.t. 1) 1+2+3+4<=2575800 2) 1+2+3+4<=226800 3) 2+3+4<=129600 4) 1234<=160380 5) 10a1-120a2-100a3-90a4<=0 6)a1-a2>=0 7)a2-a3>=0 8)a3-a4>=0 end gin 4 求解得到輸出： Global optimal solution found. Objective value: 7551600. Objective bound: 7551600. Extended solver steps: 0 Total so

14、lver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost Row Slack or Surplus Dual Price最優(yōu)解為a1=1442,a2=122,a3=a4=0,最優(yōu)值Y=11547494，即問題中牧羊人應該飼養(yǎng)1564只羊，為了繁殖，每年應飼養(yǎng)母羊122/1564=8.5%（根據(jù)我們的模型求解，應為第一代母羊），計算得知，夏季應儲存w1=的干草。結(jié)果分析：根據(jù)模型假設(shè)及參量的設(shè)置，得知牧羊人一開始要存儲的干草量為Q=28607.85kg，設(shè)置預備存儲，是為了使養(yǎng)殖規(guī)模達到相對最大化，避免夏季和秋季存儲的干草，在冬季被大量剩余、而造成牧場每年的草

15、料大量浪費,從而達到更高的經(jīng)濟效益。而從現(xiàn)實意義來說，預備存儲也是合情合理的。由于假設(shè)羊羔的價格和母羊的價格差不多，而母羊一年中的食草量為羊羔的2.64倍，為了達到最大經(jīng)濟效益，應該全養(yǎng)羊羔，但是考慮到繁殖率和取整的條件限制，我們預想應該養(yǎng)一小部分母羊，再者，由于第三、四代羊按假設(shè)知其繁殖率和羊羔差不多，但食草量卻大得多，所以應盡量少養(yǎng)，最好不養(yǎng)，這正好和計算得到的結(jié)果相吻合。至于現(xiàn)實中養(yǎng)殖中存在第三、四代羊現(xiàn)象，是因為第三、四代中也有些繁殖率較高的，考慮到繁殖率，保留下來了。從算法及結(jié)果，我們預測：p與q的比例K影響羊羔和母羊的比例(p與q比例：0-1)，但波動性較小，母羊和羊羔的比例隨K增

16、先減后增，最終收斂于1:1。這也正與實際情況相符合。目標函數(shù)可知：年數(shù)不影響?zhàn)B羊的分配情況；由算法知：牧場的規(guī)模也與養(yǎng)羊的分配無關(guān)(僅使Y增大對應倍數(shù)而不影響a1、a2、a3、a4的取值）。模型檢驗：2） p=200, q=400OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 9360000. VARIABLE VALUE REDUCED COST3)p=200,q=300 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 8460000. VARIABLE VALUE REDUCED COST A1 4）p=200,q=2001) 7560000. VARIABLE VALUE

17、 REDUCED COST5）p=100,q=1000NOBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 9734400. VARIABLE VALUE REDUCED COST6）p=100,q=10000 (現(xiàn)實中不可能達到這么小的比例） OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3132000. VARIABLE VALUE REDUCED COST經(jīng)檢驗：模型在假設(shè)條件下與預想效果相吻合。模型的改進：該模型假設(shè)羊生長無恙、無死亡，現(xiàn)實中是不太可能的；不考慮除草外的飼料花銷、不考慮圈舍成本等，因此這是一個相對理想化的模型，要使模型能更好的反應現(xiàn)實情況、應用于實際，可對模型進行一些必要的改進：考慮羊的生長過程中生病等的花費及除草外（小麥，玉米等）的飼料供給，另外，假設(shè)的模型不考慮羊的重量即價格于羊的重量無關(guān)，羊的市場供求穩(wěn)定不變，價格不變，這與現(xiàn)實之間存在不小差距，屬于理想化的，因此可以在這方面作改進：查資料得羊在不同階段的生長率及相應階段的羊價格，將其考慮到模型中。由于建模過程比較繁瑣，這里就不再做出詳細介紹。模型的推廣：該模型不僅適應與養(yǎng)羊，對