量子信息技術-第二章

1、一、量子態(tài)的不可克隆定理一、量子態(tài)的不可克隆定理(Non-Cloning theorem) 由于量子力學的態(tài)疊加原理，量子系統(tǒng)的任意未知量由于量子力學的態(tài)疊加原理，量子系統(tǒng)的任意未知量子態(tài)，不可能在不遭破壞的前提下，以確定成功的概率被子態(tài)，不可能在不遭破壞的前提下，以確定成功的概率被克隆到另一量子體系上?？寺〉搅硪涣孔芋w系上。證明證明1 假定存在理想克隆機，它的幺正變換為U?？寺C的初態(tài)為ABSUABABABSUS1.量子態(tài)的不可克隆定理量子態(tài)的不可克隆定理假定存在某兩個純態(tài) ，那么,ABABUSABABUS取這兩個方程的內積，得2 由此可得0 或者1 這就是說，要么被拷貝的態(tài) 相同，這對拷貝

2、來說是平庸的；要么被拷貝的態(tài) 相互正交。于是，一架以幺正變換的方式，即概率守恒的、也即以不含測量環(huán)節(jié)的方式運行的克隆機，只能克隆相互正交的量子態(tài)。,肯定成功、絕對準確并概率守恒的任意態(tài)克隆機肯定成功、絕對準確并概率守恒的任意態(tài)克隆機是不存在的是不存在的!對量子態(tài)運算的線性要求和概率守恒要求，導致了不可對量子態(tài)運算的線性要求和概率守恒要求，導致了不可克隆?？寺?。證明證明2 對兩能級兩體AB系統(tǒng)的任意態(tài)，態(tài)的理想克隆應為12sss，總有0ssAs sA特別地，對兩個基矢態(tài) 而言，應當有12,ss10111ssAssA20222ssAssA對克隆過程有兩種理解：對克隆過程有兩種理解：1)按態(tài)疊加原理

3、有0120sAssA111222ssssAssA(1)2)若任意態(tài)可克隆，有0ssAs sA 1212sABssssA221 11 22 12 2ss ss ss ss sA(2)如果 不同，(1)右邊出來的應是混態(tài)；假如相同，將是純態(tài) 。與此對照，(2)右邊出來的總是個純態(tài)。且(2)中 是(1)中所沒有的。此外，(1)和(2)兩種結果對原先態(tài)中系數(shù) 和 的依賴關系分別為線性的和非線性的，也不相同。12,ssAA1122ssss12ss量子態(tài)的不可刪除定理：量子態(tài)的不可刪除定理：由于量子態(tài)的線性性質，不容許人們理想地、真正地刪除任意量子態(tài)的副本。證明證明 想刪掉一個未知量子態(tài)，理想的實現(xiàn)辦法是

4、去定義一個和標準量子態(tài)做交換的交換操作。而理想的量子刪除機應當是這種采用交換操作來實現(xiàn)刪除的線性量子變換：當兩個相同任意態(tài)輸入時，留下一個而讓另一個轉為標準（“置零”）態(tài)。一方面，對任意信息態(tài) 和它的副本，總有sss sAsA2.量子態(tài)量子態(tài)的不可刪除定理的不可刪除定理(no-deleting principle)另一方面，如果兩個輸入態(tài)不相同，刪除機就讓它們通過。于是，刪除機的工作變換為HVHHAHAV VAVAH VAH VAVHAVHA假定任意輸入態(tài)-信息態(tài)為HV22AHHV VHVVHA 刪除過程有兩種理解：1)22HVHAVAHVVHAout2)outAHVA 這兩式完全不同。其一，

5、對 態(tài)的依賴關系不同；其二，系數(shù) 是任意的，但現(xiàn)在關于它們的依賴關系也不同。, 3.普適量子克隆普適量子克隆Buzek 和 Hillery于 1996 年發(fā)表的文章中指出對于任意量子任意量子態(tài)的確定性近似克隆是可以實現(xiàn)的態(tài)的確定性近似克隆是可以實現(xiàn)的，并且建立了普適量子普適量子復制機復制機。普適量子復制機不依賴于輸入態(tài)，并能以一定的保真度實現(xiàn)對任意未知量子態(tài)的復制。Buzek 和 Hillery給出的1 2普適量子克隆機，具體演化形式如下2100 0 1033R M2111 1 0133R M11 00 12其中 是輔助量子位， 是任意選擇的參考態(tài)MR對于任意的輸入態(tài) ，可得012136R M

6、 其中10從上式可以看出對于任意的輸入態(tài) 都進行了非完美的復制，最后得到的克隆態(tài)為5166AB其保真度56ABAFF 這樣就實現(xiàn)了對任意未知量子態(tài)的克隆。4.概率量子克隆概率量子克隆量子演化的線性決定了兩個非正交的量子態(tài)不可以克隆。在量子力學中，并不是所有的過程都能用幺正算符來表示，比如測量，測量測量是一個典型的非幺正演化過程。1998 年，段路明和郭光燦提出了概率克隆方案。他們把幺正幺正演化和測量結合起來演化和測量結合起來，使非正交態(tài)可以通過一個幺正塌縮過程來精確克隆。概率克隆定理概率克隆定理：從已知的態(tài)集合 中隨機選擇態(tài) ，如果此態(tài)集合中這些態(tài)之間線性無關。那么 能夠以一定的概率被精確克隆

7、。12,nSii文獻證明了存在幺正演化矩陣U 滿足001njiiiiijABjjUPPcP 演化完成以后對探針位P 進行von Neumann測量，如果探測到 態(tài)則克隆成功，那么就會得到兩個與輸入態(tài)完全相同的拷貝。如果探測到 態(tài)則克隆失敗，得到的態(tài) ，應該丟棄。0PjPjAB 是概率克隆機成功產(chǎn)生初態(tài)拷貝的成功率，將是概率克隆機成功產(chǎn)生初態(tài)拷貝的成功率，將 定義為克隆系數(shù)。定義為克隆系數(shù)。 代表了克隆機的克隆效率。代表了克隆機的克隆效率。 越接近越接近 1 表示效率越高。表示效率越高。希望設計這樣一個克隆機，使得它具有最大的克隆效率，并且該效率與具體的輸入態(tài)無關，這樣的克隆機叫最佳最佳量子概率

8、克隆機量子概率克隆機。如果輸入態(tài)只有兩個態(tài) ，可以證明量子概率克隆機的最佳效率與輸入態(tài)之間有如下的關系：12,1212121 可以看出只有對于輸入態(tài)是正交的情況，其效率才能達到 1，這也保證了傳送兩個非正交態(tài)的量子密碼體系的安全性。特例二、量子隱形傳態(tài)二、量子隱形傳態(tài)(quantum teleportation)1.單量子比特態(tài)量子隱形傳態(tài)單量子比特態(tài)量子隱形傳態(tài)粒子2、3構成Bell基，它是A、B之間的量子通道粒子1處于信息態(tài)111012323101102于是三個粒子所組成的系統(tǒng)的總狀態(tài)為12312312300101010111022 送收信雙方共同擁有量子糾纏態(tài)，通過無噪聲經(jīng)典信道確保能夠

9、無誤地傳送2個經(jīng)典信息，實現(xiàn)正確無誤地傳送1個qubit的量子狀態(tài)的過程，該過程稱之為量子隱形傳態(tài)量子隱形傳態(tài)。用四個Bell基對粒子1、2的狀態(tài)進行測量，得到123331212101012 3312121010 原則性操作：1) A 對粒子1、2做 Bell 基測量；2) A 用經(jīng)典辦法廣播所得的測量結果；3) B 根據(jù) A 廣播，決定對粒子3做相應的幺正變換，實現(xiàn)13考慮粒子1和2的四個Bell基121210110212121011123) A測得 ，B對粒子3施以 變換即得待傳態(tài)12x310 x3014) A測得 ，B對粒子3施以 變換即得待傳態(tài)12yiyi310301具體操作：3301

10、01z123331212101012 3312121010 12z2) A測得 ，B需要對粒子3施以 變換即得待傳態(tài)121)A 測得 ，B不必做任何操作即可獲得待傳態(tài)；利用Hadamard操作和Cnot操作重寫teleportation過程。第二題作業(yè)！第二題作業(yè)！說明說明:1) 此過程不違背不可克隆定理。A 處粒子1在測量后已不處于原來狀態(tài)。過程只是待傳態(tài)轉移(從1到3)，不是待傳態(tài)的復制。2) 不存在信息的瞬間傳遞。B必須等候收聽A測量的結果，所以沒有違背狹義相對論原理。3) 也可以通過這樣的方式來完成隱形傳態(tài)：即送信者A 先對自己的兩個qubit進行Cnot操作，隨后對載有待傳態(tài)的qub

11、it進行Hadamard門操作。23中的中的 qubit 2例：設送信者A希望通過隱形傳態(tài)的方式將狀態(tài) 傳送給收信者。01102323100112Cnot1231231000011212312310000112H-gate1231231000112H12312312312310000111001112解：緊接著送信者A 將自己擁有的2個qubit用2 qubit態(tài)矢空間的基底 進行測量。00 , 01 , 10 , 111200120112101211303310 x303310 x123123123123123100001110011124) 量子隱形傳態(tài)與量子高密度編碼的比較一、1997年

12、，奧地利蔡林格小組在室內首次完成了量子態(tài)隱形傳輸?shù)脑硇詫嶒烌炞C原理性實驗驗證。三、2004年，中國科大潘建偉、彭承志等研究人員開始探索在自由空間實現(xiàn)更遠距離的量子通信。在自由空間，環(huán)境對光量子態(tài)的干擾效應極小，而光子一旦穿透大氣層進入外層空間，其損耗更是接近于零，這使得自由空間信道比光纖信道在遠距離傳輸方面更具優(yōu)勢。這個小組2005年在合肥創(chuàng)造了13公里的自由空間雙向量子糾纏分發(fā)世界紀錄公里的自由空間雙向量子糾纏分發(fā)世界紀錄，同時驗證了在外層空間與地球之間分發(fā)糾纏光子的可行性。四、2007年開始，中國科大清華大學聯(lián)合小組在北京八達嶺與河北懷來之間架設長達長達16公里的自由空間量子信道公里的自

13、由空間量子信道，并取得了一系列關鍵技術突破，最終在2009年成功實現(xiàn)了世年成功實現(xiàn)了世界上最遠距離的量子態(tài)隱形傳輸界上最遠距離的量子態(tài)隱形傳輸，證實了量子態(tài)隱形傳輸穿越大氣層的可行性，為未來衛(wèi)星中繼的全球化量子通信網(wǎng)絡奠定了可靠基礎。 二、2004年，這個小組利用多瑙河底的光纖信道，成功地將量子態(tài)隱形傳輸距離提高到600米米。但由于光纖信道中的損耗和環(huán)境的干擾，量子態(tài)隱形傳輸?shù)木嚯x難以大幅度提高。 國內最新進展中科大和清華大學的聯(lián)合研究小組實現(xiàn)16公里的自由空間自由空間量子隱形傳態(tài)北京八達嶺到河北張家口市懷來縣2.量子糾纏的超空間制造量子糾纏的超空間制造(quantum swapping) 設

14、送信者A在具備量子隱形傳態(tài)的基礎上希望把某一狀態(tài)表示的信息傳送給收信者B，但 A 與B 之間并沒有直接共同擁有Bell狀態(tài)。 如果此時在A與備制中心C之間，及B與備制中心C之間已分別共同擁有相同的Bell狀態(tài)。這種情況下使得A與B之間間接地共同擁有Bell狀態(tài)，稱之為糾纏狀態(tài)交換糾纏狀態(tài)交換。理論方案：理論方案： 開始粒子1、2處于糾纏態(tài) ；粒子3、4處于另一糾纏態(tài) 。其中粒子2、3位于C處，1、4分別位于A、B處。整個系統(tǒng)處于量子態(tài)1234123412341011001102C 對粒子2、3做Bell測量，產(chǎn)生相應糾纏分解和塌縮，這相當于用四個Bell基對這四個粒子系統(tǒng)上述態(tài)重新做等價地分解

15、12341423142312 14231423 1) 這里1和4粒子之間并沒有直接的相互作用，而是當 C 對粒子2和3做Bell測量時，通過2和3兩粒子糾纏，以間接方式糾纏起來的。注意：注意：4) 1998年，量子交換實驗-量子糾纏的超空間轉移實驗首次實現(xiàn)。2) Entanglement swapping也可以通過這樣的方式實現(xiàn)：C對粒子2和3進行Cnot操作，再做Hadamard門操作。3) 利用糾纏狀態(tài)交換原理能夠構成關于利用糾纏狀態(tài)交換原理能夠構成關于qubit的交換機。的交換機。3.多目標共享量子隱形傳態(tài)多目標共享量子隱形傳態(tài)設粒子1處于未知的信息態(tài)11101而粒子2、3、4和5事先制

16、備在GHZ態(tài)上234523451000011112Alice對粒子1和2做Bell基測量12345345121000111234512000111 34512111000 34512111000 根據(jù)測量結果，對粒子3、4和5進行幺正操作，可以將粒子3、4和5轉換成345345345000111從而完成開目標的隱形傳態(tài)11101345345345000111注意：注意：這是量子理論空間非定域性明顯體現(xiàn)。這是量子理論空間非定域性明顯體現(xiàn)。 信息 含在三個粒子3、4和5的態(tài)上。就是說， 以非定域的方式聯(lián)合儲存在三個不同的空間位置上。、4.可控的量子隱形傳態(tài)可控的量子隱形傳態(tài) 可控量子隱形傳態(tài)過程就

17、是允許可控量子隱形傳態(tài)過程就是允許Alice和和Bob之間進行一之間進行一個未知量子態(tài)的傳送，在這個方案中除了個未知量子態(tài)的傳送，在這個方案中除了Alice和和Bob，還有，還有第三個控制方第三個控制方Charlie。 為了實現(xiàn)可控隱形傳態(tài)，Alice、Bob和Charlie之間必須事先共同分享一個糾纏的量子通道，即GHZ態(tài)，如果沒有三者都同意，是無法進行量子隱形傳態(tài)的。假設要傳送的量子態(tài)為Alice、Bob和Charlie共享的三粒子GHZ態(tài)作為量子通道：01DDD2211GHZ0001112ABCABC系統(tǒng)所處的量子態(tài)為：1GHZ010001112DABCDABC 1001100112BC

18、BCADAD 11001100BCBCADAD 具體步驟：具體步驟：a)Alice首先采用能識別Bell態(tài)的裝置對粒子A和D進行Bell態(tài)測量；假設測量的結果為ADb)測量之后，Alice通過經(jīng)典通道告訴Bob測量結果；粒子B 和C 將塌縮到量子態(tài)0011BCBCBob和Charlie共享一個糾纏態(tài)，如果沒得到Charlie的同意，不管Bob對自己的粒子做什么幺正變換都不可能完全獲得Alice希望傳送的量子態(tài)。因此合作方因此合作方Charlie起到控制的作用！起到控制的作用！c) 假設Charlie同意Bob獲得信息，她可對自己的粒子C作一個幺正變換，即對自己的粒子作一個Hadamard門變換

19、。010011BCCCBBd) 接著Charlie對粒子C作正交測量，并把結果告訴Bob。01BBB當結果為 時，Bob手中的量子態(tài)為0C至此，完成了可控的量子隱形傳態(tài)！5.概率量子隱形傳態(tài)概率量子隱形傳態(tài) 在Bennett 等人提出的標準量子隱形傳態(tài)方案中，采用最大糾纏態(tài)作為量子通道來傳送未知量子態(tài)，隱形傳態(tài)的成功率必定會達到100%。 但是在實際中由于量子態(tài)和周圍環(huán)境的耦合是不可避免的。所以，作為量子通道的這些最大糾纏態(tài)在制備過程中會受到上述及其它因素的影響而很難得到，最終粒子對處于部分糾纏或非最大糾纏態(tài)。因此，運用部分糾纏態(tài)作為量子通道就具有很大的實際意義。假設Alice和Bob擁有的兩

20、個粒子被制備為部分糾纏態(tài)：23230011ab粒子2屬于Alice，粒子3屬于Bob。設要被傳送的粒子1處于未知量子態(tài)，她要將這個量子態(tài)傳送個Bob101這三個粒子體系的復合波函數(shù)，即量子態(tài)可表示為 123123123010011ab123123123123000011100111abab具體過程：具體過程：a) Alice對粒子1和2實施Bell態(tài)測量，那么Bob所擁有的粒子3就會塌縮到如下之一的量子態(tài)1212331012ab1212331012ab1212331012ab1212331012abb)Alice將她所測量的結果通知Bob，Bob就會得到相應的粒子3的塌縮態(tài)。比如，Alice測

21、得的結果為 ，則對應的粒子3的量子態(tài)為1212312331012ab c)為了得到Alice希望傳送的量子態(tài)，Bob必須引進一個輔助粒子，其初始態(tài)為 。0aux在 下，粒子3和輔助粒子構成的量子態(tài)為333300, 10, 01, 11auxauxauxaux33110100220auxabab對粒子3和輔助粒子共同進行幺正變換222201001000001100bbaaUbbaa 2211002201Ubabbbaa粒子3和輔助粒子的量子態(tài)演化為223,3331101011122auxauxauxbbaad)對輔助粒子進行von-Neumann測量。如果輔助粒子處于 ，則量子隱形傳態(tài)過程成功；

22、反之，則失敗，沒有獲得粒子1的任何量子信息。0aux三、量子密集編碼三、量子密集編碼 利用量子糾纏態(tài)實現(xiàn)量子密集編碼，能夠實現(xiàn)利用量子糾纏態(tài)實現(xiàn)量子密集編碼，能夠實現(xiàn)1個個qubit傳送傳送 2 bit經(jīng)典信息。經(jīng)典信息。 假設送信者A希望送2 bit 的經(jīng)典信息給遠處的收信者B。此時送信者A僅僅只能利用惟一的一個qubit向收信者B傳送信息，那么如何才能把2 bit的信息代換成1 qubit編碼進行傳送呢?首先：送信者和收信者分享Bell態(tài)100112ABAB1.量子密集編碼量子密集編碼其次：送信者A 對應于自己想要發(fā)送的信息，在自己擁有的qubit上實施如下的操作。希望發(fā)送的信息對送信者擁

23、有的qubit實施的操作00011011什么操作也不施加施加X-gate操作施加Z-gate操作施加X-gate操作和Z-gate操作送信者A通過上述操作，這個糾纏狀態(tài)由Bell態(tài)變化成下列狀態(tài)希望發(fā)送的信息00施加操作后的糾纏態(tài)01X 1001Z ZX 最后：送信者A在對自己擁有的qubit實施操作以后將自己擁有的qubit傳送給收信者B，此時收信者B擁有的qubit對的狀態(tài)依賴于送信信息，取不同的Bell態(tài)。Bell態(tài) 構成正規(guī)直交基底，因此通過基于Bell態(tài)的測定，收信者能夠正確地(即概率為1)知道qubit對的狀態(tài)是4個狀態(tài)中的哪一個，并能獲取送信者發(fā)來的信息。,注意：注意： 量子密集

24、編碼的特征是：即使送信者送出的qubit被收信者以外的第三者截獲，截獲者也無法得到正確的信息。此時即使單獨測定送信者此時即使單獨測定送信者A的的qubit，也只能概率為，也只能概率為0.5地地獲得獲得0或概率為或概率為0.5地獲得地獲得1，即收信者只能夠等概率地獲即收信者只能夠等概率地獲得得0或或1，從這樣的測定結果，從這樣的測定結果無法判斷所截取的信息，所無法判斷所截取的信息，所以信息能夠被完全的保密。以信息能夠被完全的保密。101102ABAB1011001 10122A 例如，在傳送2個bit為11信息的場合，施加X-gate演算和Z-gate演算Z X 后，送、收信者的qubit對狀態(tài)將變成2.采用量子比特的通信界限采用量子比特的通信界限 如果送收信者之間存在一個能夠傳送qubit且不產(chǎn)生誤碼的信道，為了使送信者能夠送出 n 個bit的信息，送收者之間需要采用幾個qubit來實現(xiàn)送收較為妥當?定理：定理：假設假設A有有 n 個個bit的信息要傳送給的信息要傳送給B。如果。如果A和和B不共有糾不共有糾纏狀態(tài)，且無論是從纏狀態(tài)，且無論是從A到到B或是從或是從B到到A，雙向都可以無誤地傳，雙向