對坐標曲線積分

1、編輯ppt1一、對坐標的曲線積分的概念一、對坐標的曲線積分的概念 與性質與性質二、二、 對坐標的曲線積分的計算法對坐標的曲線積分的計算法 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對坐標的曲線積分 第十一章第十一章 編輯ppt2復習、對弧長的曲線積分的概念與性質復習、對弧長的曲線積分的概念與性質機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設 是空間中一條有限長的光滑曲線,義在 上的一個有界函數(shù), kkkksf),(都存在,),(zyxf上對弧長的曲線積分,記作szyxfd),(若通過對 的任意分割局部的任意取點, 是定),(zyxf下列“乘積和式極限”則

2、稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.),(zyxf稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段 .nk 10limks1kMkM),(kkk和對編輯ppt3如果 L 是 xoy 面上的曲線弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是閉曲線 , 則記為.d),(Lsyxf則定義對弧長的曲線積分為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt4 性質性質szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 為常數(shù))szyxfd),()3( 由 組成) 21, sd)4( l 為曲線弧 的長度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(

3、szyxfszyxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt5tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路基本思路:計算定積分轉 化定理定理:),(yxf設且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線積分機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt6如果曲線 L 的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標形式:),()(: rrL則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(

4、),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt7xyo練習練習. 設 C 是由極坐標系下曲線, ar 0及4所圍區(qū)域的邊界, 求seICyxd222)24(aeaa4xy 0yar 提示提示: 分段積分xeIaxd0d40aeaxeaxd2202機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt82. L為球面2222Rzyx面的交線 , 求其形心 . 在第一卦限與三個坐標解解: 如圖所示 , 交線長度為RozyxRR1L3L2LslLd31423

5、R23 R由對稱性 , 形心坐標為321d1LLLsxlxyz321ddd1LLLsxsxsxl1d2Lsxl20dcos2RRl34R機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt9一、一、 對坐標的曲線積分的概念與性質對坐標的曲線積分的概念與性質1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功.設一質點受如下變力作用在 xoy 平面內從點 A 沿光滑曲線弧 L 移動到點 B, ABLxy求移cosABFW “大化小” “常代變”“近似和” “取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxF機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt1

6、01kMkMABxy1) “大化大化小小”.2) “常代變常代變”L把L分成 n 個小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk則有kkkkyQxP),(),(kk所做的功為,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1則用有向線段 kkMM1kkMM1上任取一點在kykx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt113) “近似和近似和”4) “取極限取極限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中 為 n 個小弧段的 最大長度)機動 目錄 上頁 下頁

7、 返回 結束 編輯ppt122. 定義定義. 設 L 為xoy 平面內從 A 到B 的一條有向光滑有向光滑弧弧,若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點, 都存在,在有向曲線弧 L 上對坐標的曲線積分坐標的曲線積分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分第二類曲線積分. 其中, ),(yxPL 稱為積分弧段積分弧段 或 積分曲線積分曲線 .稱為被積函數(shù)被積函數(shù) , 在L 上定義了一個向量函數(shù)極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作),(yxF),(yxQ機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt13Lxy

8、xPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若 為空間曲線弧 , 記稱為對 x 的曲線積分;稱為對 y 的曲線積分.若記, 對坐標的曲線積分也可寫作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 類似地, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt143. 性質性質(1) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxy

9、xP1d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(則 定積分是第二類曲線積分的特例.說明說明: : 對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向方向 !機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt15二、對坐標的曲線積分的計算法二、對坐標的曲線積分的計算法定理定理:),(, ),(yxQyxP設在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為)()(tytx,:t則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ連續(xù),證明證明: 下面先證LxyxPd),(tttPd )(),()(

10、t存在, 且有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt16對應參數(shù)設分點根據(jù)定義ix,it),(ii點,i由于1iiixxx)()(1iittiit)(LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(, )(limiit)(niiiP10)(, )(limiit)()(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim對應參數(shù)連續(xù)所以)(t因為L 為光滑弧 ,同理可證LyyxQd),(tttQd )(),()(t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt17特別是, 如果 L 的方程為,:),(baxxy則xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d

11、),(對空間光滑曲線弧 :類似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx定理 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt18例例1. 計算,dLxyx其中L 為沿拋物線xy 2解法解法1 取 x 為參數(shù), 則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 為參數(shù), 則11:,:2yyxL54d2114yy從點xxxd1

12、0的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt19例例2. 計算其中 L 為,:, 0aaxyyBAoaax(1) 半徑為 a 圓心在原點的 上半圓周, 方向為逆時針方向;(2) 從點 A ( a , 0 )沿 x 軸到點 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的參數(shù)方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00則則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt20

13、yxo例例3. 計算,dd22yxxyxL其中L為(1) 拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式y(tǒng)yy222yy d5104(3) 原式y(tǒng)xxyxOAdd22102d)002(xxx1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt21例例4. 設在力場作用下, 質點由沿移動到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解解: (1)zzyxxy

14、dddttkR2022d)(2) 的參數(shù)方程為kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20dBAzyx試求力場對質點所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk 222k其中為),(zxyFsFWdsFWd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt22ozyx例例5. 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx從 z 軸正向看為順時針方向.解解: 取 的參數(shù)方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220

15、)sin)(cos2(tt 2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt23三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設有向光滑弧 L 以弧長為參數(shù) 的參數(shù)方程為)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦為sysxddcos,ddcos則兩類曲線積分有如下聯(lián)系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt24類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是zRyQxPdd

16、dsRQPdcoscoscos令tAsAtd, ),(RQPA)d,d,(ddzyxs )cos,cos,(cost sA d sA dstAd記 A 在 t 上的投影為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt25例例6.6.將積分yyxQxyxPLd),(d),(化為對弧長的積分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到從解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xxsyddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圓周機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯

17、ppt261. 定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性質(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向!內容小結內容小結機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt273. 計算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對有向光滑弧

18、對有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt28zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 兩類曲線積分的聯(lián)系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 對空間有向光滑弧 :機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt29 F原點 O 的距離成正比,思考與練習思考與練習1. 設一個質點在),(yxM

19、處受恒指向原點,)0,(aA沿橢圓此質點由點12222byax沿逆時針移動到, ),0(bB),(yxMxyo)0 ,(aA), 0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t, ),(yxOM F 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF),(xyk思考思考: 若題中F 的方向 改為與OM 垂直且與 y 軸夾銳角,則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt30)0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Coxyz2. 已知為折線 ABCOA(如圖), 計算zyyxIddd提示提示:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt31備用題備用題 1.解解:zxoyABzk222zyxkzjyi xzkLzyxzzzyyxxk222ddd:L22 tx22 ty1 tz) 1