拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系

1、4.11 4.11 拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 重點：重點：從函數(shù)拉氏變換求傅氏變換從函數(shù)拉氏變換求傅氏變換 難點：難點：判斷函數(shù)傅氏變換的存在判斷函數(shù)傅氏變換的存在引言引言從函數(shù)拉氏變換求傅氏變換從函數(shù)拉氏變換求傅氏變換 演變?yōu)槔献儞Q演變?yōu)槔献儞Q作傅氏變換作傅氏變換對其乘以一個衰減因子對其乘以一個衰減因子可積條件可積條件不滿足絕對不滿足絕對是針對是針對時時我們在引出拉氏變換我們在引出拉氏變換 , , , tetf )()()(jstsftuetfftfl 由此可以得到傅氏變換與拉氏變換的關系由此可以得到傅氏變換與拉氏變換的關系右右半半平

2、平面面收收斂斂邊邊界界落落于于時時當當 , 00s 左左半半平平面面收收斂斂邊邊界界落落于于時時當當s,00 收收斂斂邊邊界界位位于于虛虛軸軸時時當當,00 一、引言一、引言傅氏變換與拉氏變換的區(qū)別和聯(lián)系傅氏變換與拉氏變換的區(qū)別和聯(lián)系 tjs 雙邊拉氏變換雙邊拉氏變換 tjs 傅氏變換傅氏變換 tjs0 單邊拉氏變換單邊拉氏變換0)(0 tft當當0 )( jsetutfftflt 1.1.o j 平平面面右右半半邊邊收收斂斂邊邊界界落落于于時時當當 , 00s )0()()( tuetft ssf1 : 其拉氏變換其拉氏變換。求求不不存存在在，不不能能由由)()()( fsff : 收收斂斂

3、域域ot tuet 2.2.0 j ot tuet 平平面面左左半半邊邊收收斂斂邊邊界界落落于于時時當當s,00 )0()( tuetft衰減函數(shù)，傅氏變換是衰減函數(shù)，傅氏變換是存在存在: : 1ssf 1)( jjf :收收斂斂域域 jssfjf )( 3.3.收收斂斂邊邊界界位位于于虛虛軸軸時時當當,00 。異函數(shù)項異函數(shù)項因為傅氏變換中包括奇因為傅氏變換中包括奇關系關系之間不再是簡單的置換之間不再是簡單的置換與與是存在的，是存在的，,sffsf tutf ， 1ssf jjf1)()( 例如：例如：nnnnajsksfsf1)()( 若收斂坐標若收斂坐標0 0=0=0，f(s)f(s)的

4、收斂域為的收斂域為reres s0 0，f(s)f(s)的收斂域不包含的收斂域不包含jj軸，故軸，故f(s)f(s)在在jj軸上不收斂。若令軸上不收斂。若令s=js=j，則則f(s)f(s)不等于不等于f(j)f(j)。和虛軸上都有極點，并且虛軸上的極點。和虛軸上都有極點，并且虛軸上的極點為為m m個一階極點個一階極點jji i(i=1, 2, (i=1, 2, , m), m)。將。將f(s)f(s)展開為部分分式，展開為部分分式，表示為表示為 式中，式中，f fa a(s)(s)表示左半平面極點對應的分式。令表示左半平面極點對應的分式。令f fa a(s)(s)的原函數(shù)的原函數(shù)為為f fa

5、 a(t)(t)，則，則f(s)f(s)的原函數(shù)為的原函數(shù)為 )()()()()()(11tftfatuektfsfltfmnntjnannntjnmtuektfn1)()( 的傅里葉變換為的傅里葉變換為)(tf)()()()(tfftfftffjfmajsaasftff)()(由于由于 是是 的原函數(shù)，并且的原函數(shù)，并且 的極點在左半面，故的極點在左半面，故)(tfa)(sfa)(sfa其中其中根據(jù)傅里葉變換的線性性質和頻移性質，并且由于根據(jù)傅里葉變換的線性性質和頻移性質，并且由于(t)的傅里的傅里葉變換為葉變換為， 因此得因此得 j1)()()()(1nnnnjsksfjfnnnnnmjj

6、ktff11)()(nnnnnnnnjsannnnnjsakjjksfjjksfjf111)()(1)()()(例例 : :已知已知f(t)=ef(t)=e-2t-2tcos tcos t(t)(t)的單邊拉氏變換為的單邊拉氏變換為 1)2(2)(2sssf求求 傅里葉變換傅里葉變換)(tf).(jf解解 f f（s s）的收斂坐標）的收斂坐標 ，即，即 。因此。因此00201)2(2)(2jjjf另一方面，根據(jù)傅里葉變換的調(diào)制定理，由于另一方面，根據(jù)傅里葉變換的調(diào)制定理，由于21)(2jteft所以有所以有1)2(22) 1(12) 1(121cos)()(22jjjjttefjft思考題思

7、考題 根據(jù)函數(shù)拉氏變換，如何判斷它的傅氏變根據(jù)函數(shù)拉氏變換，如何判斷它的傅氏變 換是否存在？換是否存在？ 本章小結本章小結例例1 1 即單位階躍信號的初始值為即單位階躍信號的初始值為1?)0(,1)(:fssf求已知1)(lim)(lim)0(0 ssftffst例例2 2?)0(,12)( fsssf求求 21212 ssssf sssksssffss2122lim)(lim)0(2112lim12lim sssss2)0( f 項項中中有有ttf 2初值定理證明初值定理證明 ttflfssfd)(d0)(tettfstdd)(d0 tettftettfststdd)(ddd)(d000 t

8、ettffssfstdd)(d0)(0 0dlimd)(ddd)(dlim00 tettftettfstssts由原函數(shù)微分定理可知由原函數(shù)微分定理可知 tettfffstdd)(d000 時移特性例題時移特性例題 22211111ssssssf 。求求已已知知)(,4cos2)(sftuttf 1111 tututlttulsfsess 112【例【例1】 sfttutf求求,1 已知已知【例【例2 2】 tttttfsincos4sinsin24coscos2 已知系統(tǒng)的框圖如下，請寫出此系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和已知系統(tǒng)的框圖如下，請寫出此系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和描述此系統(tǒng)的微分方程。描述此系統(tǒng)的微分方程

9、。 313111 ssssh 31 ssesrsh sesrssr 3)()(3d)(dtetrttr se sr s13(1)在零起始狀態(tài)下，對原方程兩端取拉氏變換在零起始狀態(tài)下，對原方程兩端取拉氏變換 )(6)(2)(6)(5)(22ssesessrssrsrs 24222)( ssssesrsh則則)(4)(2)(2tuettht )()()(tethtrzs (2)()()( seshsrzs 或或)1(1222)( ssssssrzs1226)1)(2()12(2 sssss)(6)(2)(2tuetuetrttzs 。和零狀態(tài)響應和零狀態(tài)響應，求系統(tǒng)的沖激響應，求系統(tǒng)的沖激響應，激

10、勵為，激勵為已知系統(tǒng)已知系統(tǒng))( )()()1()(d)(d6d)(d2)(6d)(d5d)(d2222trthtuetettettetrttrttrzst 例例 題題 211 sssg sg sf sy sx k當常數(shù)當常數(shù)k滿足什么條件時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？滿足什么條件時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？ skysfsx 加法器輸出端的信號加法器輸出端的信號 sxsgsy 輸出信號輸出信號如圖所示反饋系統(tǒng)，子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如圖所示反饋系統(tǒng)，子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) syskgsfsg sfsysh 的的極極點點shkp 49212, 1則反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為則反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 04921049or 049kkk時時

11、系系統(tǒng)統(tǒng)是是穩(wěn)穩(wěn)定定的的。即即可可得得2, 2 kk為使極點均在為使極點均在s左半平面，必須左半平面，必須 skgsg 1kss 212本章小結本章小結 1. 1.拉普拉斯變換是本課程介紹的第二個對信號的拉普拉斯變換是本課程介紹的第二個對信號的變換方法，目的是為了解決傅里葉變換在實際應用變換方法，目的是為了解決傅里葉變換在實際應用中面臨的一些實際問題，它的引入是從一些增長型中面臨的一些實際問題，它的引入是從一些增長型的信號固不滿足傅里葉變換存在的條件而不能進行的信號固不滿足傅里葉變換存在的條件而不能進行傅里葉的分析開始的。傅里葉的分析開始的。2.2.拉普拉斯變換中值得我們著重注意的是變換收拉普拉斯變換中值得我們著重注意的是變換收斂域的概念，以及拉氏變換與傅氏變換相互之間的斂域的概念，以及拉氏變換與傅氏變換相互之間的關系。另一方面要了解的是拉氏變換在系統(tǒng)分析中關系。另一方面要了解的是拉氏變換在系統(tǒng)分析中的應用。就變換的性質而言，大部分與傅氏變換是的應用。就變換的性質而言，大部分與傅氏變換是相似的（或本質上是相一致的）但也有不同的新特相似的（或本質上是相一致的）但也有不同的新特點，如初、終值定理。點，如初、終值定