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文檔簡介

1、電力系統(tǒng)潮流計算方法電力系統(tǒng)潮流計算方法-牛頓法牛頓法電力系統(tǒng)分析包括潮流、最優(yōu)潮流、預想故障分析、電壓穩(wěn)定、暫態(tài)穩(wěn)定和其他分析,電力系統(tǒng)分析是輸電系統(tǒng)規(guī)劃中的關鍵技術之一。潮流計算是電力系統(tǒng)分析的基礎,所謂潮流計算即在給定電力系統(tǒng)網(wǎng)絡拓撲、元件參數(shù)和發(fā)電、負荷參量條件下,計算有功功率、無功功率及電壓在電力網(wǎng)中的分布。手算如何計算?手算如何計算?一般來說,各個母線所供負荷的功率S是已知的,各個節(jié)點V是未知的(平衡節(jié)點外)可以根據(jù)網(wǎng)絡結構形成節(jié)點導納矩陣B,然后由B列寫功率方程,由于功率方程里功率是已知的,電壓的幅值和相角是未知的,這樣潮流計算的問題就轉化為求解非線性方程組的問題了。數(shù)學描述潮流

2、計算最優(yōu)潮流總結分析為了便于用迭代法解方程組,需要將上述功率方程改寫成功率平衡方程,并對功率平衡方程求偏導,得出對應的雅可比矩陣,給未知節(jié)點賦電壓初值,一般為額定電壓,將初值帶入功率平衡方程,得到功率不平衡量,這樣由功率不平衡量、雅可比矩陣、節(jié)點電壓平衡量(未知的)構成了誤差方程,解誤差方程,得到節(jié)點電壓不平衡量,節(jié)點電壓加上節(jié)點電壓不平衡量構成新的節(jié)點電壓初值,將新的初值帶入原來的功率平衡方程,并重新形成雅可比矩陣,然后計算新的電壓不平衡量,這樣不斷迭代,不斷修正,一般迭代三到五次就能收斂。數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析牛頓法是解非線性方程式的一個有效方法,所以也被廣泛的應用于潮流計算。核

3、心是修正方程式的建立與求解。如圖所示利用泰勒公式展開,取其線性部分代替非線性方程近似求解。0000000000022()()( )()()().2!()( )()()()0,()fxxxf xf xfxxxf xf xf xfxxxxxfx數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析1123121232123(,.)(,.).(,.)nnnnnfxxxxyfxxxxyfxxxxy其近似解與精確解分別相差12,.,nxxx0001112210002112220001122(, .)(, .).(, .)nnnnnnnnfxxxxxxyfxxxxxxyfxxxxxxy 上式全部用泰勒展開即可000111112

4、12112000121212(,.), .(,.), .nnnnnnnnnnnffffxxxxxxyxxxffffxxxxxxyxxx數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析111000111121220001212(,.).(,.)nnnnnnnnnnfffxyfxxxxxxxfffyfxxxxxxxfJ xJ稱函數(shù)的雅克比矩陣;x為列向量, f稱不平衡量的列向量,把初始值X(0)代入,可得f,J中的元素,然后運用解線性方程的方法,求得第一次迭代計算出的值然后把計算值再次代入求得f,J中的元素,直到滿足精確度即可。但是,初值一定要選取的足夠接近精確值,否則迭代過程可能不收斂。(何以見得) 0ix 1

5、00iiixxx數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析潮流方程的描述對于N個節(jié)點的電力網(wǎng)絡若元件參數(shù)已知則網(wǎng)絡方程表示為YUI其中Y為n*n階節(jié)點導納矩陣, U為N*1階,I*為N*1階節(jié)點注入電流列向量但是電力網(wǎng)絡中給定的往往是S而不是電流,所以線性方程就變成*E YUS令 展開得iiiVejf()()(),()()iiiiijijjjj iiiiiiiiijjijjj iiijjijjj iPjQejfGjBejfPjQejfajbaG eB fbG fB e*E IS*iiiijjj iPjQVY Vj=1,2N數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析若 則潮流方程的極坐標形式如下:iiiVV()()

6、 cossin(cossin)1,2,.(sincos)1,2,.iiiiijijjjj iiiijijijijijj iiijijijijijj iiijijijijijj iPjQVGjBVPjQVV GjBjPVV GBiNQVV GBiN上式即為電力系統(tǒng)的潮流方程數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析綜上所述,若一個電力系統(tǒng)含有N個節(jié)點,選取第N個作平衡節(jié)點,剩余n=N-1各節(jié)點中有r個節(jié)點是PV節(jié)點,有n-r個節(jié)點是PQ節(jié)點,因此出平衡節(jié)點外,有n個節(jié)點注入有功P,有n-r個節(jié)點注入無功Q,有r個節(jié)點的電壓是已知的。在直角坐標系下,待求未知數(shù)共有2n個,1221232222.1,2,3,.

7、1,2,3,.1,.TTTTnspiiiiispiiiiispiiiixe fe e ee f ffPPe af binQQf ae binrVVefinrn代求變量潮流方程線性化 給節(jié)點i的有功無功給定值 為注入功率和給定電壓的不平衡量上式方程一共2n個方程,2n個代求量,兩者個數(shù)相等。spPiP數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析(cossin)1,2,.(sincos)1,2,.spiiijijijijijj ispiiijijijijijj iPPPVV GBinQQQVV GBinr為了清晰的表達潮流方程中的未知量請看下表。平衡節(jié)點為第N節(jié)點、剩余N-1=n個節(jié)點中,含有r個PQ節(jié)點,n

8、-r個PV節(jié)點。節(jié)點節(jié)點PQPV平衡平衡變量12, .nrPPP12,.nrQQQ12, .nr12, .nrVVV1, .nrnPP1, .nrnQQ1, .nrn1, .nrnVVNPNQNNV數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析電力網(wǎng)絡方程的一般形式可以寫成 ( )( )0spspyy xf xyy x牛頓法求解如下,在給定初始值的條件下,對上式做一階泰勒展開 001000Txff xxxJf xx 用x修正X的初始值得到新值,用k表示迭代次數(shù)寫成表達式即為 11kkkkkkxJ xf xxxx (偏差形式)數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析 22222,*,( ,),spspTspiTTTT

9、TTTTTTPP e fP e ffxQ e fQP e fJxVe fVVe fPPeffQQxe fJxefVVef數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析,()()(),(),(),iiiiijijjjj iiiiiiiiijjijjiijjijjj ij ispspiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiijijiijHNJMLPjQejfGjBejfRSPjQejfajbaG eB fbG fB ePPe af bQQf aebPPHaG eB fHG eee 22,2 ,0,2,0ijiiiiiiiiiiiiijijiijiijiiiiiiiiiiiijijijiiiiiiiiiiiij

10、ijijiiiijiiiijiiB fPPNbB eG fNB eG fffQQMbB eG fMNeeQQLaG eB fLHffVVRe RSf Sef 數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析由于歐拉公式的存在,我們也可以把直角坐標系下的功率方程變形為極坐標系下的功率方程,那么極坐標系的牛頓法是怎樣的? 11,*,.,.,spTspTTTTTnn rTTTPVPPVfxJxQVQQVPPfVxVVVJQQxV 我們注意到:由于r個PV節(jié)點1個平衡節(jié)點n-r個PQ節(jié)點的存在,所以A1應該為n維的,A2為n-r維的,就是說有n個未知的 ,有n-r個未知的V。所以雅克比矩陣為(2n-r)*(2n-r)

11、維。數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析上式右側對電壓幅值的偏導數(shù)中電壓幅值的階次減少了1,為使雅克比矩陣各部分矩陣具有一樣的形式,在實際計算中往往乘以電壓幅值,并【V/V】列向量作為修正量。,TTTTTPPVH NfVJM LQQxVV () cossin(cossin)1,2,.(sincos)1,2,.iiijijijijijj iiijijijijijj iiijijijijijj iPjQVV GjBjPVV GBiNQVV GBiN數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析22(cossin),(sincos)(cossin),(cossin)2spiiiiijijijijijjispiiiii

12、jijijijijjiiiiijijijijijjiiiijijijijijijjiiiiiiPPVGVVGBQQVBVVGBPHVVBGPHV VBGPNVVV (cossin),(cossin)(cossin),(cossin)(siiijjijijijijjiiijjjiijijijijjiiiijijijijijjiiiijijijijijijijjiiiiijijiV GVGBPNVVVGBVQMVVGBQMV VGBNQLVVVGV ncos)2,(cossin)ijijijiijjiiijjijijijijijijjBV BQLVV VBGHV當j=i時,所有的V、均為變量,當j

13、i時,只有特定節(jié)點的V、為變量。數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析迄今為止還沒提到節(jié)點分類時約束條件,不等式約束大致分為三類:注入功率的約束威脅電源機組的安全運行節(jié)點電壓的約束影響用戶供電電壓的質量對相位角的約束危及電力系統(tǒng)運行穩(wěn)定性所以,在迭代時要注意是否滿足約束條件,其中,前者具有優(yōu)先性,那么問題就來了?PV到PQ節(jié)點的轉化問題。在迭代時發(fā)現(xiàn),為保持給定的V,某一個PV節(jié)點的無功功率已經越限,為保證源設備正常運行,不得以將其固定在邊界上,令其Q等于Qmin或者Qmax為一定值。任憑電壓偏移給定值V,實現(xiàn)PV節(jié)點到PQ節(jié)點的轉化。一旦發(fā)生PV到PQ節(jié)點類型的轉化,修正方程的結構將要發(fā)生改變,若

14、采用直角坐標時,該節(jié)點關于Q的關系式將取代V的關系式。若采用極坐標則要增加一組Q的關系式即 maxmin,kkkkiiiiiiQQQQQQ數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析最優(yōu)潮流數(shù)學模型最先是法國電力公司提出來的,其本身是數(shù)學上的優(yōu)化,數(shù)學模型描述為確定一組解使得目標函數(shù)的值極小。min( ). . ( )0( )0uf xst g xh x控制變量狀態(tài)變量,統(tǒng)一寫成x來表示。最優(yōu)潮流的重點在于如何確定修正量x和不等式約束。其中解決不等式約束尤為重要,方法也多種分類方法,不在一一陳述??偟膩碚f牛頓法最優(yōu)潮流是一種具有二階收斂的算法,在最優(yōu)潮流領域有較為成功的應用。最優(yōu)潮流的目標函數(shù)一般為系統(tǒng)的

15、總發(fā)電成本,有功損耗,等式約束就是潮流方程,不等式約束為控制變量約束如發(fā)電機有功出力極端電壓以及狀態(tài)變量約束如負荷節(jié)點上的電壓幅值以及各種函數(shù)不等式約束如線上傳輸功率以及發(fā)電機的無功出力。數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析min( )( , )( )( )( , )=. . ( )0( )( , )=( )( ) =0TuTTTTTf xLLL xf xg xL xxst g xLfgLfgg xL xg xxxxxxg x則我們注意到在最優(yōu)點牛頓法一般不區(qū)分控制變量和狀態(tài)變量優(yōu)化計算在全變量上進行,在最優(yōu)解處,全部等式約束應當滿足,當有越界發(fā)生時將其固定在限值上,將不等式約束化為等式約束,這些

16、約束是原問題的起作用的不等式約束。F中既有等式約束又有不等式約束中因越界而轉化為等式約束的方程。如果預先已知在最優(yōu)解點處全部起作用的不等式約束,并把他們用等式約束引入,則全部化為只包含等式約束的優(yōu)化問題。數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析2000*000( )()()().*=( , )( , )0()( )( )*( )*.kkkTTTTTTf xf xfxxxLzLL xxL xfgfgg xg xxxxxxxfgg xxx 泰勒公式:則在極小值(,)處展開得必要條件2200000000.()*.=-=H *J*TTTTTgfgfgxxxxxxxfgxxx 數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析0

17、00000000000( )0( )()*.0,*(),0()KTL=00Tgg xxg xg xxJxg xxLfgxHJxxxxxLJg xx 在初始值 泰勒展開得,用迭代的方法計算,然后修正 ,直到滿足條件,或者說,變化為 。加入不等式約束,而不等式約束條件h(x) 0,用二次罰函數(shù)來處理,擴展后的Lagrange 函數(shù)表示為minmax2i( , )( )( )( )( )01( )()PS12PS2 CiTiiiiiiiiiiL xf xg xh xh xxxxh xC xxx,當 越限時為罰因子 為越限的個數(shù)數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析0000000202( , )( )( )

18、( )( )( )( )( , )( )( ),0()()TiiiiTTTL xf xg xh xfxf xh xL xfxg xLfgxHJxxxLJg xgfxHxx 令眼熟不?可見,不Hessian等式約束只影響矩陣系數(shù)和等式的右側。數(shù)學描述潮流計算最優(yōu)潮流總結分析H為拉格朗日函數(shù)中的海森矩陣,J是起約束作用的雅克比矩陣,計算可得到修正量。與常規(guī)潮流不同的是,在最優(yōu)潮流迭代過程中潮流方程并不滿足,只有在最優(yōu)點解出潮流方程才滿足。如果已知最優(yōu)點處的起作用的不等式約束集,使用前面迭代格式算法將具有二階收斂,但對于復雜的大電力網(wǎng)絡,在獲得最優(yōu)解之前,起作用的不等式約束集一般是未知的,估計正確的起作用的不等式約束是重點,最優(yōu)潮流的難點在于如何確定起作用的不等式的約束集。一般都是在迭代過程中不斷的調整起作用的不等式約束。牛頓法的缺點是:約束集的確定比較困難,目前普遍用試驗迭代法來確定約束集;編程實現(xiàn)困難;對應控制變量的 Hessian陣對角元容易出現(xiàn)小值或零值,造成矩 陣奇異;引入的Lagrange乘子的初值對迭代計 算的穩(wěn)定性影響大。數(shù)學描述潮流計算最

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