數(shù)列求通項(xiàng)公式的常見題型與解題方法(1)

1、.數(shù)列求通項(xiàng)公式的常見題型與解題方法（1）題型1 已知數(shù)列前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式此題主要通過學(xué)生觀察、試驗(yàn)、合情推理等活動(dòng)，且在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步通過比較、分析、概括、證明去揭示事物的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力相對(duì)于填空題或是選擇題只需利用不完全歸納法進(jìn)行猜想即可；對(duì)于解答題，往往還需要我們進(jìn)一步加以證明1. 在某報(bào)自測(cè)健康狀況的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表 觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（ ）內(nèi)年齡（歲）30 35 40 45 50 55 60 65收縮壓（水銀柱 毫米）110 115 120 125 130 135 （140）145舒張壓（水銀柱 毫米）70 73

2、75 78 80 83 （ 85）88。2. 根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，猜測(cè)第個(gè)圖中有_n2-n+1_個(gè)點(diǎn)（1） （2） （3） （4） （5）3. （2006年廣東卷）在德國(guó)不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個(gè)球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個(gè)乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則；（答案用表示）. 題型2 由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式4. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則 n 5. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則 這類題目主要注意與之間關(guān)系的

3、轉(zhuǎn)化即：= 一般已知條件中含an與Sn的關(guān)系的數(shù)列題均可考慮用上述公式點(diǎn)評(píng)：利用公式求解時(shí)，要注意對(duì)n分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并6. （04年浙江）設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)的和Sn=（an-1） (n)()求a1；a2； ()求證數(shù)列an為等比數(shù)列解: ()由,得 又,即,得. ()當(dāng)n>1時(shí), 得所以是首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列題型3定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目 已知數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式7. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則 3n-2 8. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則 9. 等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：

4、設(shè)數(shù)列公差為成等比數(shù)列，即，得，由得：，點(diǎn)評(píng)：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng)。題型4、由等差，等比演化而來的“差型”，“商型”遞推關(guān)系數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式 變式1：數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式 變式2：數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式 類型1 遞推公式為解法：分析：等差數(shù)列：生成：，累加： =由此推廣成差型遞推關(guān)系：累加：= ，于是只要可以求和就行解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式.把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。10. 數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式 11. 數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式 12. 數(shù)列中，求

5、的通項(xiàng)公式 13. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。14. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。15. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，16. 設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，（nN*），求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：由題設(shè)得.，. 類型2 （1）遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。題組二、已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則 變式1：已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則 分析

6、：等比數(shù)列：生成：，累乘：=由此推廣成商型遞推關(guān)系：累乘：累乘法構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡(jiǎn)單方法.17. 數(shù)列中，前n項(xiàng)的和，求.解： ，對(duì)形如的數(shù)列的通項(xiàng)，可用累乘法，即令n=2，3，n1得到n1個(gè)式子累乘求得通項(xiàng)。例5已知數(shù)列中，前項(xiàng)和與的關(guān)系是，求通項(xiàng)公式解：由得兩式相減得：，將上面n1個(gè)等式相乘得：點(diǎn)評(píng)：累乘法是反復(fù)利用遞推關(guān)系得到n1個(gè)式子累乘求出通項(xiàng)，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求f(n)的前n1項(xiàng)的積，要注意求積的技巧18. （2004年全國(guó)I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)樗杂檬绞降脛t故為商型的，用累乘法可得所以由，則，又知，

7、則，代入得。所以，的通項(xiàng)公式為（2004年全國(guó)卷）已知數(shù)列an，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，則an的通項(xiàng) 分析：由已知，由 生成兩式相減得，即即評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。19. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘即又，（2）由和確定的遞推數(shù)列的通項(xiàng)可如下求得：由已知遞推式有， ，依次向前代入，得，簡(jiǎn)記為 ，這就是疊（迭）代法的基本模式。20. 數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求的通項(xiàng)公式數(shù)列求通項(xiàng)公式的常見題型與解題方法（1）題型1 已知數(shù)列前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式此題

8、主要通過學(xué)生觀察、試驗(yàn)、合情推理等活動(dòng)，且在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步通過比較、分析、概括、證明去揭示事物的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力相對(duì)于填空題或是選擇題只需利用不完全歸納法進(jìn)行猜想即可；對(duì)于解答題，往往還需要我們進(jìn)一步加以證明1. 在某報(bào)自測(cè)健康狀況的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表 觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（ ）內(nèi)年齡（歲）30 35 40 45 50 55 60 65收縮壓（水銀柱 毫米）110 115 120 125 130 135 （ ）145舒張壓（水銀柱 毫米）70 73 75 78 80 83 （ ）88。2. 根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律

9、，猜測(cè)第個(gè)圖中有_個(gè)點(diǎn)（1） （2） （3） （4） （5）3. （2006年廣東卷）在德國(guó)不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個(gè)球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個(gè)乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則f(3)=_；f(n)=_ （答案用表示）. 題型2 由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式4. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則 5. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則 這類題目主要注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化即：= 一般已知條件中含an與Sn的關(guān)系的數(shù)列題均可考慮用上述公式點(diǎn)評(píng)：利

10、用公式求解時(shí)，要注意對(duì)n分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并6. （04年浙江）設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)的和Sn=（an-1） (n)()求a1；a2； ()求證數(shù)列an為等比數(shù)列題型3定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目 已知數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式7. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則 8. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則 9. 等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式題型4、由等差，等比演化而來的“差型”，“商型”遞推關(guān)系數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式 變式1：數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式 變式2：數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式 類型1 遞推公式為分析：等差數(shù)列：生成：

11、，累加： =由此推廣成差型遞推關(guān)系：累加：于是只要可以求和就行累加法解題的基本思路就是把原遞推公式轉(zhuǎn)化構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式.10. 數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式 11. 數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式 12. 數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式 13. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。14. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。15. 已知數(shù)列滿足，求。16. 設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，（nN*），求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.數(shù)列求通項(xiàng)公式的常見題型與解題方法（2）題組二、已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則 變式1：已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則 類型2 （1）遞推公式為分析：等比數(shù)列：生成：，累乘：=由此推廣成商型遞推關(guān)系：累乘：累乘法構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然