高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.3從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量2.3.1數(shù)乘向量課件2北師大版必修

1、2.3.12.3.1數(shù)乘向量數(shù)乘向量復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1:1:向量的加法向量的加法ba如圖如圖, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b,b,作向量作向量a+ba+b. .bao.a+bbaabba+ba1.1.向量加法三角形法則向量加法三角形法則: :2.2.向量加法平行四邊形法則向量加法平行四邊形法則: :特點(diǎn)特點(diǎn):首尾相接，首尾連首尾相接，首尾連特點(diǎn)特點(diǎn):共起點(diǎn)共起點(diǎn)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)2:向量的減法向量的減法o.baa-b如圖如圖, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b,b,作向量作向量a-b.a-b.aba-bo.baab特點(diǎn)：特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減數(shù)共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減數(shù)實(shí)際背景實(shí)

2、際背景表示，試畫出該向量。用秒的位移對應(yīng)的向量那么在同方向上向量，一秒鐘的位移對應(yīng)一物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)aa33,aa3在物理中位移與速度的關(guān)系：在物理中位移與速度的關(guān)系：s s= =v vt t，力與，力與加速度的關(guān)系：加速度的關(guān)系：f f=m=ma.a. 其中位移、速度，力、加速度都是向量，其中位移、速度，力、加速度都是向量，而時(shí)間、質(zhì)量都是數(shù)量而時(shí)間、質(zhì)量都是數(shù)量. .講授新課講授新課思考題思考題1:已知向量已知向量 如何作出如何作出 和和 a, aaa( a)( a)( a)? a oaa ba ca nmqpa a a ocoaabbcaaa 記記:aaa3a即即:oc3a. 同理可得

3、同理可得:pn( a)( a)( a)3a 思考題思考題2: 向量向量 與向量與向量 有什么關(guān)系有什么關(guān)系? 向量向量 與向量與向量 有什么關(guān)系有什么關(guān)系? 3a a a 3a (1)向量向量 的方向與的方向與 的方向相同的方向相同, 向量向量 的長度是的長度是 的的3倍倍,即即3a a a 3a 3a3 a . (2)向量向量 的方向與的方向與 的方向相反的方向相反, 向量向量 的長度是的長度是 的的3倍倍,即即3a a 3a a 3a3 a .特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) =0 =0 或或 a = 0 a = 0 時(shí)時(shí), , aa = 0 = 0(2) (2) 方向方向 當(dāng)當(dāng)00時(shí)時(shí), ,aa的方

4、向與的方向與a a方向相同；方向相同； 當(dāng)當(dāng)00時(shí)時(shí), ,aa的方向與的方向與a a方向相反；方向相反；(1) (1) 長度長度 | |aa|=|=|a|a| | 一般地，實(shí)數(shù)一般地，實(shí)數(shù)與向量與向量 的積是一個(gè)向量，這種的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘運(yùn)算向量的數(shù)乘運(yùn)算，記作，記作 。它的長度和方向規(guī)定如下：它的長度和方向規(guī)定如下：aa結(jié)論:2a+2b2b(2) (2) 已知向量已知向量a,ba,b，求作向量，求作向量2(a+b)2(a+b)和和2a+2b2a+2b，并比較，并比較. .ab結(jié)論: 2a+2b=2(a+b)a+b6a3(2a)a2(a+b)2a3(2a)=6a(

5、2+4)a=2a+4a(1) (1) 根據(jù)定義，求作向量根據(jù)定義，求作向量3(2a)3(2a)和和(6a) (a(6a) (a0) )，并比較，并比較. .(a)=() a 運(yùn)算律運(yùn)算律: 設(shè)設(shè)a a、b b為任意向量，為任意向量，、為任意實(shí)數(shù)，則有：為任意實(shí)數(shù)，則有： (+) a=a+a (a+b)=a+b2(a+b)數(shù)乘向量的運(yùn)算律：數(shù)乘向量的運(yùn)算律： aa 結(jié)合律結(jié)合律 aaa 第一分配律第一分配律 baba 第二分配律第二分配律練習(xí)練習(xí)3:解解: (1) : (1) 原式原式 = = (2) (2) 原式原式 = =(3) (3) 原式原式 = =計(jì)算：計(jì)算：( (口答口答) ) (1

6、) (-3) (1) (-3)4 a4 a (2) 3( (2) 3( a+ba+b) ) 2( a-b)-a2( a-b)-a (3) (2a+3b-c) (3) (2a+3b-c) (3a-2b+c )(3a-2b+c ) (3-2-1)a+(3+2)b (3-2-1)a+(3+2)b= 5b= 5b (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c= -a+5b-2c= -a+5b-2c -12a -12a 向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線形運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線形運(yùn)算. .對于任意的向量對于任意的向量 a,ba,b 以及任意實(shí)

7、數(shù)以及任意實(shí)數(shù) , , ,恒有恒有 (1 1a a2 2b)=b)=1 1a a2 2b b思考思考:當(dāng)當(dāng)a a與與b b同方向時(shí)，有同方向時(shí)，有b=b=aa; ;當(dāng)當(dāng)a a與與b b反方向時(shí)，有反方向時(shí)，有b=-b=-aa，所以始終有一個(gè)實(shí)數(shù)所以始終有一個(gè)實(shí)數(shù)，使，使b=b=aa. .1 1、如果、如果 b=b=aa , , 那么，向量那么，向量a a與與b b是否共線？是否共線？2 2、如果非零向量、如果非零向量a a與與b b共線，那么是否有共線，那么是否有，使，使b=b=aa ？ 對于向量對于向量a(a0)a(a0)、b b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，使得b=b=aa ,

8、, 那么，由數(shù)乘向量的定義知：向量那么，由數(shù)乘向量的定義知：向量a a與與b b共線共線. . 若向量若向量a a與與b b共線，共線，a0a0，且向量，且向量b b的長度是的長度是a a的長的長度的度的倍，即有倍，即有|b|=|b|=|a|a|,|,且且2) b 可以是零向量嗎?思考思考:1) a為什么要是非零向量?向量向量b b與與非零向量非零向量a a共線共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯一當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)，使得，使得 b=b=aa. .a a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得使得 b=b=aa ，則向量，則向量b b與非零向量與非零向量a a共線共線. .例

9、題例題1:aedcb解：解： =3 ac=3 ac =3( ab+ bc )=3( ab+ bc ) ab+bc=ac ab+bc=ac =3 ab+3 bc =3 ab+3 bc又又 ae=ad+deae=ad+de acac與與ae ae 共線共線如圖，已知如圖，已知ad=3ab,de=3bcad=3ab,de=3bc，試判斷，試判斷acac與與aeae是否共線是否共線? ?變變：若若b,cb,c分別是分別是ad,aead,ae的三等分點(diǎn)，證明：的三等分點(diǎn)，證明：bcbcde.de.例題例題2:解：作圖如右解：作圖如右oabc依圖猜想依圖猜想:a:a、b b、c c三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線 a,b

10、,ca,b,c三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線. .abbb已知任意兩非零向量已知任意兩非零向量a, ba, b，試作試作 oa=oa=a+ba+b, ob=a+2b, oc=a+3b., ob=a+2b, oc=a+3b.你能判斷你能判斷a,b,ca,b,c三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？ba ab=ob-oaab=ob-oa ac=2abac=2ab又又 ac=oc-oaac=oc-oa =a+3b-(a+b)=2b =a+3b-(a+b)=2b =a+2b-(a+b)=b =a+2b-(a+b)=b又又 abab與與acac有公共點(diǎn)有公共點(diǎn)a a，apbca例例3 a，b，c是平面內(nèi)的三點(diǎn)，且點(diǎn)是平面內(nèi)的三點(diǎn)，且點(diǎn)a與與b不不重合，重合，p是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)c在在ab上，上，則存在實(shí)數(shù)則存在實(shí)數(shù)，使得，使得 pc= pa+(1- )pb小結(jié)回顧小結(jié)回顧: 二、知識(shí)應(yīng)用：二、知識(shí)應(yīng)用： 1.1.證明證明 向量共線；向量共線； 2.2.證明證明 三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線: ab=: ab=bcbc a,b,c a,b,c三