長(zhǎng)沙航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院軟件技術(shù)重點(diǎn)專業(yè)建設(shè)方案

1、基于基于c/c+的大地電磁數(shù)值模擬的大地電磁數(shù)值模擬長(zhǎng)沙航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息工程系長(zhǎng)沙航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息工程系2報(bào)告提綱一、數(shù)值計(jì)算二、c/c+與數(shù)值計(jì)算三、大地電磁數(shù)值模擬四、幾點(diǎn)體會(huì)3隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，科學(xué)計(jì)算愈來愈顯示出其重要性?？茖W(xué)計(jì)算的應(yīng)用之廣已遍及各行各業(yè)，例如：氣象資料的分析圖像，飛機(jī)、汽車及輪船的外形設(shè)計(jì)，高科技研究等都離不開科學(xué)計(jì)算。一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算4數(shù)值分析或數(shù)值計(jì)算方法主要是研究如何運(yùn)用計(jì)算機(jī)去獲得數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解的理論和方法.對(duì)那些在經(jīng)典數(shù)學(xué)中,用解析方法在理論上已作出解的存在,但要求出他的解析解又十分困難,甚至是不可能的這類數(shù)學(xué)問題,數(shù)

2、值解法就顯得不可缺少,同時(shí)有十分有效.一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算5計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問題時(shí)經(jīng)歷的幾個(gè)過程實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)上機(jī)運(yùn)行求出解實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型：由實(shí)際問題應(yīng)用科學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)理論建立數(shù)學(xué)模型的過程，是應(yīng)用數(shù)學(xué)的任務(wù)。一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算6數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)計(jì)算結(jié)果：根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計(jì)算方法，直到編出程序上機(jī)算出解，是計(jì)算數(shù)學(xué)的任務(wù)。數(shù)值計(jì)算方法重點(diǎn)研究：求解的數(shù)值方法及與此有關(guān)的理論包括：方法的收斂性，穩(wěn)定性，誤差分析，計(jì)算時(shí)間的最?。ㄒ簿褪怯?jì)算費(fèi)用）,占用內(nèi)存空間少.一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算7有的方法在理論上雖不夠嚴(yán)格，但通過實(shí)際計(jì)算，對(duì)比分析等手段，

3、被證明是行之有效的方法，也可以采用。因此，數(shù)值分析既有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，又有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)驗(yàn)的高度技術(shù)性特點(diǎn)，是一門與使用計(jì)算機(jī)密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程。一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算8數(shù)值數(shù)值計(jì)算方法的定義數(shù)值數(shù)值計(jì)算方法是研究常見的基本數(shù)學(xué)問題的數(shù)計(jì)算方法是研究常見的基本數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法及其相關(guān)理論的一門數(shù)學(xué)分支，它包含了數(shù)值解法及其相關(guān)理論的一門數(shù)學(xué)分支，它包含了數(shù)值代數(shù)、數(shù)值微分與積分，常微分方程數(shù)值解等內(nèi)值代數(shù)、數(shù)值微分與積分，常微分方程數(shù)值解等內(nèi)容。容。一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算9誤差來源 1、模型誤差、模型誤差 2、觀測(cè)誤差、觀測(cè)誤差 3、截?cái)嗾`差、截?cái)嗾`差

4、4、舍入誤差、舍入誤差一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算10模型誤差模型誤差用數(shù)學(xué)模型來描述具體的物理現(xiàn)象時(shí)，往往要用數(shù)學(xué)模型來描述具體的物理現(xiàn)象時(shí)，往往要忽略許多次要因素，把模型忽略許多次要因素，把模型“簡(jiǎn)單化簡(jiǎn)單化”、“理想理想化化”，因此模型本身就包含有誤差，這種誤差稱為，因此模型本身就包含有誤差，這種誤差稱為模型誤差。模型誤差。一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算11模型誤差例題模型誤差例題例我們用例我們用 （ 為重力加速度）為重力加速度）來描述物體自由下落時(shí)距離與時(shí)間的關(guān)系設(shè)自由來描述物體自由下落時(shí)距離與時(shí)間的關(guān)系設(shè)自由落體在時(shí)間落體在時(shí)間 時(shí)的實(shí)際下落距離為時(shí)的實(shí)際下落距離為 ，則，則 就是就是 “ “

5、模型誤差模型誤差”。ts21( )2s tgtgt( )tss t一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算12觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差在數(shù)學(xué)模型中總要包含一些觀測(cè)數(shù)據(jù)，這些觀在數(shù)學(xué)模型中總要包含一些觀測(cè)數(shù)據(jù)，這些觀測(cè)數(shù)據(jù)受工具、方法、觀測(cè)者的主觀因素、不可預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)受工具、方法、觀測(cè)者的主觀因素、不可預(yù)料的隨機(jī)干擾等影響必然帶入誤差，這種誤差稱為料的隨機(jī)干擾等影響必然帶入誤差，這種誤差稱為觀測(cè)誤差。觀測(cè)誤差。一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算13觀測(cè)誤差例題觀測(cè)誤差例題例例2 設(shè)一根鋁棒在溫度設(shè)一根鋁棒在溫度 時(shí)的實(shí)際長(zhǎng)度時(shí)的實(shí)際長(zhǎng)度為為 ，在，在 時(shí)的實(shí)際長(zhǎng)度為時(shí)的實(shí)際長(zhǎng)度為 ，用，用 來表示鋁棒在溫度為來表示鋁棒在溫度為 時(shí)

6、的長(zhǎng)度計(jì)算值，并建時(shí)的長(zhǎng)度計(jì)算值，并建立數(shù)學(xué)模型：立數(shù)學(xué)模型： ，其中其中 是實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的常數(shù)：是實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的常數(shù)：則稱則稱 為為“模型誤差模型誤差”， 是是 的的“觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差”。tlt0t 0ltlt0(1)tllt5(2.38 0.01) 10cttll50.01 10一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算14截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差在解決實(shí)際問題時(shí)，數(shù)學(xué)模型常常難于直接求在解決實(shí)際問題時(shí)，數(shù)學(xué)模型常常難于直接求解，往往要近似代替，其近似解與精確解之間的誤解，往往要近似代替，其近似解與精確解之間的誤差稱為截?cái)嗾`差。差稱為截?cái)嗾`差。一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算15截?cái)嗾`差例題截?cái)嗾`差例題例例3 求求 時(shí)，可將時(shí)

7、，可將 展開為級(jí)數(shù)形式：展開為級(jí)數(shù)形式：在實(shí)際計(jì)算時(shí)，我們只取前面有限項(xiàng)（例如在實(shí)際計(jì)算時(shí)，我們只取前面有限項(xiàng)（例如 項(xiàng)）項(xiàng)）計(jì)算部分和計(jì)算部分和 作為作為 的值必然產(chǎn)生誤差，其誤差的值必然產(chǎn)生誤差，其誤差為：為：這個(gè)誤差就是這個(gè)誤差就是“截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差”。212!nxxxexnn2()12 !nnxxsxxn1()(1)!nnerxxn0 x在 與 之間21.2nxxxexn xexexe( )nsx一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算16舍入誤差舍入誤差在計(jì)算時(shí)總是只能取有限位有效數(shù)字進(jìn)行計(jì)算在計(jì)算時(shí)總是只能取有限位有效數(shù)字進(jìn)行計(jì)算而引起，初始參數(shù)與中間結(jié)果都必須進(jìn)行四舍五入，而引起，初始參數(shù)與中間

8、結(jié)果都必須進(jìn)行四舍五入，這個(gè)誤差稱為舍入誤差。這個(gè)誤差稱為舍入誤差。一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算17舍入誤差例題舍入誤差例題例例4 4， ， , , 等，在計(jì)算機(jī)上運(yùn)等，在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算時(shí)只能用有限位小數(shù)，如果取小數(shù)點(diǎn)后四位數(shù)字，算時(shí)只能用有限位小數(shù)，如果取小數(shù)點(diǎn)后四位數(shù)字，則則 就是就是“舍入誤差舍入誤差 ” ”3.14159262 1.4142135610.3333313.14160.000074l21.414220.000013l 310.33330.0000333l 一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算18誤差來源分析誤差來源分析總之，誤差一般來自模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差、總之，誤差一般來自模型誤差

9、、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差、舍入誤差。在計(jì)算方法課程中，不分析模型誤差；觀測(cè)誤差舍入誤差。在計(jì)算方法課程中，不分析模型誤差；觀測(cè)誤差作為初始舍入誤差；截?cái)嗾`差是主要討論對(duì)象，是計(jì)算中誤作為初始舍入誤差；截?cái)嗾`差是主要討論對(duì)象，是計(jì)算中誤差的主要部分。在各種算法中，通過數(shù)學(xué)方法可推導(dǎo)出截?cái)嗖畹闹饕糠?。在各種算法中，通過數(shù)學(xué)方法可推導(dǎo)出截?cái)嗾`差限的公式；舍入誤差產(chǎn)生往往有很大的隨機(jī)性，討論比誤差限的公式；舍入誤差產(chǎn)生往往有很大的隨機(jī)性，討論比較困難，在問題本身呈現(xiàn)病態(tài)或不穩(wěn)定時(shí)，它可能成為計(jì)算較困難，在問題本身呈現(xiàn)病態(tài)或不穩(wěn)定時(shí)，它可能成為計(jì)算中誤差的主要部分。中誤差的主要部分。誤差分析是一門專門的學(xué)

10、科，經(jīng)過訓(xùn)練的計(jì)算工作者，誤差分析是一門專門的學(xué)科，經(jīng)過訓(xùn)練的計(jì)算工作者，當(dāng)發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果與實(shí)際不符時(shí)，應(yīng)當(dāng)能找出誤差的來源，并當(dāng)發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果與實(shí)際不符時(shí)，應(yīng)當(dāng)能找出誤差的來源，并采取相應(yīng)的措施加以改進(jìn)，甚至對(duì)模型進(jìn)行修改。采取相應(yīng)的措施加以改進(jìn)，甚至對(duì)模型進(jìn)行修改。一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算19誤差理論誤差理論誤差、誤差限、有效數(shù)字誤差、誤差限、有效數(shù)字相對(duì)誤差及與有效數(shù)字的聯(lián)系相對(duì)誤差及與有效數(shù)字的聯(lián)系算術(shù)運(yùn)算的誤差和相對(duì)誤差算術(shù)運(yùn)算的誤差和相對(duì)誤差一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算20誤差的概念誤差的概念定義定義1.1 設(shè)設(shè) 為準(zhǔn)確值，為準(zhǔn)確值， 為為 的的一個(gè)近似值，稱一個(gè)近似值，稱 為為 近似值的

11、絕近似值的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。誤差是有量綱的量，量綱同誤差是有量綱的量，量綱同 ，它可正可，它可正可負(fù)，當(dāng)絕對(duì)誤差為正時(shí)，近似值偏大，叫強(qiáng)近似值；負(fù)，當(dāng)絕對(duì)誤差為正時(shí)，近似值偏大，叫強(qiáng)近似值；當(dāng)絕對(duì)誤差為負(fù)時(shí)，近似值偏小，則稱弱近似值。當(dāng)絕對(duì)誤差為負(fù)時(shí)，近似值偏小，則稱弱近似值。*exx*x*xxxx一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算21絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限通常我們并不知道準(zhǔn)確值通常我們并不知道準(zhǔn)確值 ，也不能算出，也不能算出誤差的準(zhǔn)確值，但能根據(jù)測(cè)量工具或計(jì)算情況估計(jì)誤差的準(zhǔn)確值，但能根據(jù)測(cè)量工具或計(jì)算情況估計(jì)出誤差的絕對(duì)值的上限，這個(gè)上限稱為近似值出誤差的絕對(duì)值的上限，這個(gè)上限稱為

12、近似值 的誤差限。記為的誤差限。記為 。 即即 在工程中常記為：在工程中常記為： *xxe*xxx*x一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算22絕對(duì)誤差限例題例例5 我們用一把毫米刻度的米尺來測(cè)量桌子的我們用一把毫米刻度的米尺來測(cè)量桌子的長(zhǎng)度長(zhǎng)度 ，讀出的長(zhǎng)度為，讀出的長(zhǎng)度為 ， 是是 的近似值，由于米尺的精度知道，的近似值，由于米尺的精度知道，它的誤差限為它的誤差限為0.5mm，則有，則有*12350.51234.51235.51234.5,1235.512350.5xxxmmxxxmm即這表明 在區(qū)間內(nèi)，寫成*1235xmm*xxx一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算23相對(duì)誤差相對(duì)誤差定義定義1.2 誤差與精確值

13、的比值誤差與精確值的比值 稱作近似值稱作近似值 的相對(duì)誤差，記作。相對(duì)的相對(duì)誤差，記作。相對(duì)誤差是無量綱的量，常用百分比表示，它可正可負(fù)。誤差是無量綱的量，常用百分比表示，它可正可負(fù)。*exxxx*xre一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算24相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限相對(duì)誤差也不能準(zhǔn)確計(jì)算，而是用相對(duì)誤差限相對(duì)誤差也不能準(zhǔn)確計(jì)算，而是用相對(duì)誤差限來估計(jì)的：來估計(jì)的： 就是相對(duì)誤差限當(dāng)就是相對(duì)誤差限當(dāng) 較小時(shí)，較小時(shí)，可以忽略不計(jì)，所以以后我們就用可以忽略不計(jì)，所以以后我們就用 表示相表示相對(duì)誤差限。對(duì)誤差限。*rrxxexxrr*x一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算25相對(duì)誤差限例題相對(duì)誤差限例題稱兩堆蘋果，第一堆稱兩

14、堆蘋果，第一堆 ，誤差為，誤差為 ；第二堆為第二堆為 ，誤差為，誤差為 ，雖然后者的誤差限，雖然后者的誤差限比前者大，但不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為前者精確，還必須注比前者大，但不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為前者精確，還必須注意到該數(shù)本身的大小。意到該數(shù)本身的大小。 相對(duì)誤差分別為：相對(duì)誤差分別為：顯然，稱第一堆蘋果的相對(duì)誤差大。顯然，稱第一堆蘋果的相對(duì)誤差大。100kg10kg2kg1kg110%10re 22%100re 一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算26有效數(shù)字位數(shù)有效數(shù)字位數(shù)定義定義1.3 如果近似值如果近似值 的絕對(duì)誤差限的絕對(duì)誤差限 是某一是某一位數(shù)字的半個(gè)單位，我們就說位數(shù)字的半個(gè)單位，我們就說 準(zhǔn)確到該位，從這準(zhǔn)

15、確到該位，從這一位起直到前面的第一位非零數(shù)字為止的所有數(shù)字一位起直到前面的第一位非零數(shù)字為止的所有數(shù)字稱為稱為 的有效數(shù)字。的有效數(shù)字。*x*x*x一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算27有效數(shù)字位數(shù)(續(xù))413.1416102513.14159102則說則說x* 近似表示近似表示 x 準(zhǔn)確到小數(shù)后第準(zhǔn)確到小數(shù)后第n位，并從這第位，并從這第n位起位起直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為，并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為。定義：定義：如果如果*1102nxx（1.7）由上述定義由上述定義3.140.0015926有效數(shù)位為有效數(shù)位為3位位3.14160

16、.0000074 有效數(shù)位為有效數(shù)位為5位位3.14150.0000926有效數(shù)位為有效數(shù)位為4位位一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算28有效數(shù)字位數(shù)例題0.034039*0.0342*0.03403*0.034044xxxx例：設(shè)，那么取2位，有效數(shù)字位數(shù)為 位；取3位，有效數(shù)字位數(shù)為 位；取4位，有效數(shù)字位數(shù)為 位；一、數(shù)值計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算29重要定理、結(jié)論重要定理、結(jié)論定理定理1.1 設(shè)近似值設(shè)近似值 ， 有有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為 定理定理1.2 設(shè)近似值設(shè)近似值 的相對(duì)的相對(duì)誤差限為：誤差限為： ， ， 則它有則它有n位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。12*0.10m

17、nxa aa 10a 111102nra12*0.10mnxa aa111102(1)na 10a 30 計(jì)算物理的物質(zhì)基礎(chǔ)是計(jì)算機(jī)；計(jì)算物理的關(guān)鍵技術(shù)是“計(jì)算方法”和“程序設(shè)計(jì)”; 計(jì)算物理發(fā)展的原始動(dòng)力是美國(guó)核武器研制的刺激。二、二、c/c+與數(shù)值計(jì)算與數(shù)值計(jì)算31例1 編寫下面連分式的計(jì)算程序： )()( )()(1121100nnnnxfxxxfxxxfxxxfxxxfxs 75.0 , 10, 1 ,01.0 ,112xiixxxfi數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算32算法分析：我們知道程序運(yùn)行時(shí)用賦值語句作每一步計(jì)算都要求表達(dá)式右端中每個(gè)變量都有確定的值，且能寫出其表達(dá)式，從式可以看出只能從最下層

18、逐一計(jì)算。令1nnnnxfxxxfs則 ,02,-n1,-ni ,s 1i111iiinnnnsxxxfsxxxfs數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算33數(shù)值計(jì)算程序如下：程序如下：#define n 10#define n 10float f(float x)float f(float x) float y; float y; y=1/(1+x y=1/(1+x* *x);x); return y; return y; main( )main( ) int i; int i; float h=0.1, s, x0, float h=0.1, s, x0, x1,x2;x1,x2; float xn+1; fl

19、oat xn+1; for(i=0;i=n;i+) for(i=0;i=0;i-) for(i=n-2;i=0;i-) s = f ( x i ) + ( x 0 - s = f ( x i ) + ( x 0 -xi)/s;xi)/s; printf( the result is: printf( the result is: %fn,s);%fn,s); 程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為： please input x: please input x: 0.750.75the result is: 1.514020the result is: 1.51402034數(shù)值計(jì)算例2 用復(fù)合梯形積分

20、公式計(jì)算的值。 算法及分析：梯形積分公式為： 1 2 1 0 2/ *2/*111111niihaxnabhxfbfafhxfhhbfafdxxfsiniiniiba，35數(shù)值計(jì)算 #define pi 3.1415926float f(float x) float y; y=1/(1+x*x); return y;main( ) int i, j, n; float x,h,a,b,s; b=pi; a=-pi; p r i n t f ( p l e a s e input n:); scanf( %d ,&n); h=(b-a)/n; s=(f(a)+f(b)/2; for( i

21、=1;in;i+) x=a+i*h; s=s+f(x); s=s*h; printf(the value is :%f,s);程序運(yùn)行結(jié)果為： please input n: 100 the value is : 2.525219 36數(shù)值計(jì)算例3 若矩陣a是m行n列的實(shí)矩陣，矩陣b是n行p列的實(shí)矩陣，求c=a*b。 算法及分析：矩陣乘積的計(jì)算公式為： p21jm21i 1，；，nkkjikijbac37數(shù)值計(jì)算#define m 4#define m 4 #define n 3 #define n 3 #define p 2 #define p 2 main ( ) main ( ) int

22、 i,j,k; int i,j,k; int int am+1n+1,bn+1p+1,cm+1p+am+1n+1,bn+1p+1,cm+1p+1;1; printf(please input printf(please input matrix a:n);matrix a:n); for(i=1;i=m;i+) for(i=1;i=m;i+) for(j=1;j=n;j+) for(j=1;j=n;j+) scanf scanf (%d,&aij);(%d,&aij); printf(please input printf(please input matrix b:n);ma

23、trix b:n); for(i=1;i=n;i+) for(i=1;i=n;i+) for(j=1;j=p;j+) for(j=1;j=p;j+) scanf scanf (%d,&bij);(%d,&bij); for(i=1;i=m;i+)for(i=1;i=m;i+) for(j=1;j=p;j+) for(j=1;j=p;j+) cij=0; cij=0; for(k=1;k=n;k+) for(k=1;k=n;k+) cij=cij+aikcij=cij+aik* *bkj;bkj; printf(the value of printf(the value of m

24、atrix c:n);matrix c:n); for(i=1;i=m;i+) for(i=1;i=m;i+) for(j=1;j=p;j+)for(j=1;j=p;j+) p r i n t f ( % d p r i n t f ( % d ,cij);,cij); printf( n); printf( n); 38數(shù)值計(jì)算運(yùn)行結(jié)果為： please input matrix a: 3 4 3 2 6 1 1 2 3 4 5 6 please input matrix b: 3 2 1 2 4 1the value of matrix c:25 1716 1717 941 2439數(shù)值計(jì)

25、算例4 用二分法求 f(x)=x5+x4+x3-1=0的根，x0，1。算法及分析：) 1()0(00bbaa2/000bac1 . 36 ) ,)( 2/)0( )0( *)0( )0( *21111111111111iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiabcfbaccfbfbcfbfcbcfafacfafca令 使用二分法求解f(x)=0的前提是f(a)f(b)0,xa,b內(nèi)只有一個(gè)根。則二分法的計(jì)算公式為：40數(shù)值計(jì)算# include float f(float x) float y; y=pow(x,5)+pow(x,4)+pow(x,3)-1; return(y); main(

26、) float c,a,b,ep1,ep2; printf(please input a,b,ep1,ep2:); scanf(%f%f%f%f,&a,&b,&ep1,&ep2); c=(a+b)/2;w h i l e ( ( b -aep2)&fabs(f(c)ep1) if (f(a)*f(c)0) a=c; else b=c; c=(b+a)/2; printf (the solve is: %f,c);運(yùn)行結(jié)果為： p l e a s e i n p u t a,b,ep1,ep2: 0 1 0.0001 0.0001the solve is:

27、 0.00003141數(shù)值計(jì)算例5 用二分法求任意函數(shù)的用二分法求任意函數(shù)的 f(x)f(x)的根的根#include #include #define jmax 40 #define jmax 40 允許迭代的最大次數(shù)允許迭代的最大次數(shù)float rtbis(float (float rtbis(float (* *func)(float), float x1, float func)(float), float x1, float x2, float xacc)x2, float xacc) 已知位于已知位于x1x1和和x2x2之間的函數(shù)之間的函數(shù)funcfunc，用二分法求其根。，用二分

28、法求其根。在精度達(dá)到在精度達(dá)到xaccxacc之前，這個(gè)根將被不斷修正，并最終以之前，這個(gè)根將被不斷修正，并最終以rtbrtb返回返回int j;int j;float dx, f, fmid, xmid, rtb;float dx, f, fmid, xmid, rtb;f=(f=(* *func)(x1);func)(x1);fmid=(fmid=(* *func)(x2);func)(x2);42數(shù)值計(jì)算if (fif (f* *fmid = 0.0) printf(root must be fmid = 0.0) printf(root must be bracketed for bi

29、section in rtbis);bracketed for bisection in rtbis);rtb = f 0.0 ? (dx=x2-x1,x1) : (dx=x1-x2,x2);rtb = f 0.0 ? (dx=x2-x1,x1) : (dx=x1-x2,x2);for (j=1;j=jmax;j+) for (j=1;j=jmax;j+) fmid=(fmid=(* *func)(xmid=rtb+(dx func)(xmid=rtb+(dx * *= 0.5);= 0.5);if (fmid = 0.0) rtb=xmid;if (fmid = 0.0) rtb=xmid;

30、if (fabs(dx) xacc | fmid = 0.0) if (fabs(dx) =0;i-) si=si+1*x+ai;45數(shù)值計(jì)算#define n 5main( ) int i; float an+1, sn+1, x; printf(請(qǐng)輸入多項(xiàng)式的各個(gè)系數(shù)：n); for(i=0;i=0;i-) si=si+1*x+ai;p r i n t f ( f ( % f ) = %fn,x,s0);46數(shù)值計(jì)算假設(shè)計(jì)算多項(xiàng)式：假設(shè)計(jì)算多項(xiàng)式： 5 . 3222 . 1245xxxxxf當(dāng)x=2的值。程序運(yùn)行結(jié)果為： 請(qǐng)輸入多項(xiàng)式的系數(shù)： a0=3.5 a1=2 a2=1 a3=0 a

31、4=2 a5=1.2 請(qǐng)輸入x的值：2 f（2.00000）=81.90000247數(shù)值計(jì)算 21i 2101110iiiiixxxxxxx；，0 x例例7 用迭代法求一個(gè)數(shù)用迭代法求一個(gè)數(shù)x（0）的平方根。）的平方根。求平方根的迭代公式可以為：求平方根的迭代公式可以為： 其中，是為x指定的初始平方根，是為所求平方根指定的精度。48數(shù)值計(jì)算#include float def_sqrt( float x)float x0,x1;x0=x/2;x1=(x0+x/x0)/2;while(fabs(x1-x0)1e-6) /*迭代過程，精度為*/x0=x1;x1=(x0+x/x0)/2;return

32、 x1;main( )float x;printf( please input x: );scanf(%f,&x);if(x0) p r i n t f ( d e f _ s q r t : %fn,def_sqrt(x); p r i n t f ( s q r t : % f n ,sqrt(x);else printf(the input is error!n);程序運(yùn)行結(jié)果：please input x: 2 def_sqrt: 1.414214sqrt: 1.41421449 在數(shù)值計(jì)算時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)問題在數(shù)值計(jì)算時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)問題順序：基本運(yùn)算順序順序：基本運(yùn)算順序一、減

33、少運(yùn)算次數(shù)一、減少運(yùn)算次數(shù) 不僅能提高計(jì)算精度，而且能減少誤差的積累不僅能提高計(jì)算精度，而且能減少誤差的積累1、對(duì)同一種算法（計(jì)算方式），要選用計(jì)算量少的運(yùn)算次序、對(duì)同一種算法（計(jì)算方式），要選用計(jì)算量少的運(yùn)算次序例如例如),(dcbaadacab dcxbxax 23精度（數(shù)值穩(wěn)定性）精度（數(shù)值穩(wěn)定性）. .運(yùn)算方案能否控制誤差的傳播和積累以保證計(jì)算結(jié)果有足夠的運(yùn)算方案能否控制誤差的傳播和積累以保證計(jì)算結(jié)果有足夠的一般標(biāo)準(zhǔn)一般標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)算次數(shù)的多少（計(jì)算效率）；運(yùn)算次數(shù)的多少（計(jì)算效率）；運(yùn)算過程是否規(guī)律（易編程）；運(yùn)算過程是否規(guī)律（易編程）；需要記錄的中間結(jié)果的多少（儲(chǔ)存量）；需要記錄的中間結(jié)

34、果的多少（儲(chǔ)存量）； ,)(dxcxbax 精度（數(shù)值穩(wěn)定性）精度（數(shù)值穩(wěn)定性）. .運(yùn)算方案能否控制誤差的傳播和積累以保證計(jì)算結(jié)果有足夠的運(yùn)算方案能否控制誤差的傳播和積累以保證計(jì)算結(jié)果有足夠的運(yùn)算次數(shù)的多少（計(jì)算效率）；運(yùn)算次數(shù)的多少（計(jì)算效率）；50 例例1的的值值。計(jì)計(jì)算算多多項(xiàng)項(xiàng)式式0111)(axaxaxaxpnnnnn 次次乘乘法法，需需作作計(jì)計(jì)算算nxann;2)1(12)1()( nnnnxpn的的值值需需作作乘乘法法次次數(shù)數(shù)：計(jì)計(jì)算算.n加加法法次次數(shù)數(shù)：(b) 利用秦九韶算法：利用秦九韶算法：(a) 直接計(jì)算每一項(xiàng)再求和：直接計(jì)算每一項(xiàng)再求和： ).(,;)(1 , 2 ,

35、 1,11nnkkkknnnaxssasxp的的遞遞推推公公式式：計(jì)計(jì)算算 解：解：),(0 xpsn 則則次次加加法法。次次乘乘法法的的值值只只需需作作計(jì)計(jì)算算nnxpn)(011)()(aaaxaxxxxpnnn 例例2階階單單位位方方陣陣。試試求求是是維維向向量量均均為為和和已已知知ninxuu,21 解：解：,)(2)2(22221uxuxxuuiytt .)(2)2(1111111uyuyyuuiytt (a) 作矩陣和向量的乘法：作矩陣和向量的乘法：略略.(b) 作向量的內(nèi)積和加法：作向量的內(nèi)積和加法：計(jì)算次數(shù)少計(jì)算次數(shù)少過程規(guī)律過程規(guī)律xuuiuuiytt)2)(2(2211 乘

36、除法乘除法: kn乘除法乘除法: kn2512、對(duì)于不同的算法，要注意收斂速度，講效率、對(duì)于不同的算法，要注意收斂速度，講效率 例例3 計(jì)算計(jì)算 ln2 的近似值，要求誤差小于的近似值，要求誤差小于10 . 解：解：,1)1(211sln211nnxn ，則得，則得取取,10112ln7 nsn誤差誤差. 1107 n 計(jì)算量太大；計(jì)算量太大； 各項(xiàng)的舍入誤差會(huì)損失和的有效數(shù)字各項(xiàng)的舍入誤差會(huì)損失和的有效數(shù)字 (b) 用級(jí)數(shù)用級(jí)數(shù) 來計(jì)算來計(jì)算)1()1231(211ln22 xmxxxxxm,)31(121)31(51)31(31132ln231242 mmx，則則取取,)31(171)31

37、(51)31(31132ln216428 s用前用前 9 項(xiàng)（即取項(xiàng)（即取 m = 8）計(jì)算就能達(dá)到精度要求）計(jì)算就能達(dá)到精度要求:.102ln78 s即即舍入誤差舍入誤差(a) 用級(jí)數(shù)用級(jí)數(shù) 來計(jì)算來計(jì)算)1 , 1() 1(321)ln(1132 xnxxxxnn52結(jié)果不可靠，計(jì)算失敗結(jié)果不可靠，計(jì)算失敗否則，則稱這個(gè)算法是否則，則稱這個(gè)算法是數(shù)值不穩(wěn)定的數(shù)值不穩(wěn)定的。二、二、 數(shù)值計(jì)算中要構(gòu)造和使用數(shù)值計(jì)算中要構(gòu)造和使用數(shù)值穩(wěn)定數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算方法的計(jì)算方法算法是數(shù)值穩(wěn)定的算法是數(shù)值穩(wěn)定的 計(jì)算結(jié)果受計(jì)算過程中舍入誤差影響較小時(shí)。計(jì)算結(jié)果受計(jì)算過程中舍入誤差影響較小時(shí)。1、注意、注意計(jì)算

38、機(jī)數(shù)系計(jì)算機(jī)數(shù)系運(yùn)算特點(diǎn)運(yùn)算特點(diǎn)有理數(shù)的有限數(shù)集，即浮點(diǎn)集有理數(shù)的有限數(shù)集，即浮點(diǎn)集例例4 討論在計(jì)算機(jī)數(shù)系中分別用公式討論在計(jì)算機(jī)數(shù)系中分別用公式同同。中中點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)所所得得結(jié)結(jié)果果是是否否相相求求和和,2221baabambam 解：解：無誤差時(shí)，必相等；無誤差時(shí)，必相等；有舍入誤差時(shí)，可能不相等，有舍入誤差時(shí)，可能不相等，算算時(shí)時(shí)，結(jié)結(jié)果果如如下下：用用四四位位有有效效數(shù)數(shù)字字進(jìn)進(jìn)行行計(jì)計(jì)若若,355. 8,243. 5 ba a a b b m m m m 準(zhǔn)確值準(zhǔn)確值 5.243 5.243 8.3558.355 6.8001.556 6.7991.557 6.7991.5566.79

39、9-1.55653,2,1 ,010),(21 nnnxaxxa，由由公公式式為為已已知知數(shù)數(shù)，對(duì)對(duì)任任意意數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) 解解:)(211axaxnn 由由遞遞推推公公式式得得).()21(011axaxnn 在實(shí)數(shù)集上，在實(shí)數(shù)集上，;0axaxn嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)趨趨于于只只要要 取取4位有效數(shù)字近似計(jì)算位有效數(shù)字近似計(jì)算：,680. 5,680. 5,686. 5:nx非嚴(yán)格單調(diào)序列非嚴(yán)格單調(diào)序列且極限也不等于且極限也不等于a4位有效數(shù)字舍入運(yùn)算：位有效數(shù)字舍入運(yùn)算：1234+0.4+0.3+0.2+0.1=12340.4+0.3+0.2+0.1+1234=1235若出現(xiàn)若出現(xiàn)“溢出溢出”應(yīng)立即

40、中應(yīng)立即中斷斷應(yīng)避免出現(xiàn)應(yīng)避免出現(xiàn)“大數(shù)吃小數(shù)大數(shù)吃小數(shù)” 事先預(yù)防事先預(yù)防 事后解決事后解決 例例7.)(2122ba 求求解解:，則則設(shè)設(shè),maxbac .)()()(21222122 cbcacba可防溢出可防溢出精確運(yùn)算精確運(yùn)算：例例6686. 5,678. 50 xa如如取取試試研研究究此此序序列列的的極極限限。所所得得的的序序列列為為.nx 例例5542、防止兩接近的數(shù)相減、防止兩接近的數(shù)相減.01182 xx例例8 求下列方程的根求下列方程的根解解:.809,80921 xx用用 8 位浮點(diǎn)數(shù)位浮點(diǎn)數(shù) (有效數(shù)字有效數(shù)字)計(jì)算計(jì)算1089442719. 080 .1055728091. 0,1017944272. 01221 xx用用 4 位浮數(shù)點(diǎn)位浮數(shù)點(diǎn)(有效數(shù)字有效數(shù)字)計(jì)算計(jì)算108944.