工程力學(xué)(上)電子教案第六章

1、第六章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)第一、二節(jié) 矢量法 直角坐標(biāo)法教學(xué)時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：1、 能用矢量法建立點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，求速度和加速度2、 能熟練的應(yīng)用直角坐標(biāo)法建立點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，求軌跡、速度和加速度教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、點(diǎn)的速度和加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影教學(xué)難點(diǎn)：點(diǎn)的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法教學(xué)方法：板書(shū)PowerPoint教學(xué)步驟：一、運(yùn)動(dòng)學(xué)引言運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)的科學(xué)。也就是從幾何學(xué)方面來(lái)研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)學(xué)的內(nèi)容包括：運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度。學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)學(xué)的意義：首先是為學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)打下必要的基礎(chǔ)。其次運(yùn)動(dòng)學(xué)本身也有獨(dú)立的應(yīng)用。 由于物體運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)

2、的。將觀(guān)察者所在的物體稱(chēng)為參考體，固結(jié)于參考體上的坐標(biāo)系稱(chēng)為參考坐標(biāo)系。只有明確參考系來(lái)分析物體的運(yùn)動(dòng)才有意義。時(shí)間概念要明確：瞬時(shí)和時(shí)間間隔。運(yùn)動(dòng)學(xué)所研究的力學(xué)模型為：點(diǎn)和剛體。二、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)本章將介紹研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的三種方法，即：矢徑法、直角坐標(biāo)法和自然法。 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間所占的位置隨時(shí)間連續(xù)變化而形成的曲線(xiàn)，稱(chēng)為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可按軌跡形狀分為直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)軌跡為圓時(shí)稱(chēng)為圓周運(yùn)動(dòng)。 表示點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律的數(shù)學(xué)方程稱(chēng)為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。 本章研究的內(nèi)容為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度，以及它們之間的關(guān)系。三矢量法1、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程如圖，動(dòng)點(diǎn)M沿其軌跡運(yùn)動(dòng)，在瞬時(shí)t，M點(diǎn)在

3、圖示位置。由參考點(diǎn)O向動(dòng)點(diǎn)M作一矢量 =，則稱(chēng) 為矢徑。于是動(dòng)點(diǎn)矢徑形式的運(yùn)動(dòng)方程為顯然，矢徑的矢端曲線(xiàn)就是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。參考體用矢徑法描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有簡(jiǎn)潔、直觀(guān)的優(yōu)點(diǎn)。2、點(diǎn)的速度如圖，動(dòng)點(diǎn)M在時(shí)間間隔 t內(nèi)的位移為則 表示動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間隔t內(nèi)運(yùn)動(dòng)的平均快慢和方向，稱(chēng)為點(diǎn)的平均速度。當(dāng) t0時(shí)，平均速度的極限矢量稱(chēng)為動(dòng)點(diǎn)在t瞬時(shí)的速度。即即：點(diǎn)的速度等于它的矢徑對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。方向沿軌跡的切線(xiàn)方向。3、點(diǎn)的加速度如圖，動(dòng)點(diǎn)M在時(shí)間間隔t內(nèi)速度矢量的改變量為 則表示動(dòng)點(diǎn)的速度在時(shí)間間隔t內(nèi)的平均變化率，稱(chēng)為平均加速度。當(dāng)t0時(shí)，平均加速度的極限矢量稱(chēng)為動(dòng)點(diǎn)在t瞬時(shí)的加速度。即即：點(diǎn)的加速度等于它

4、的速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。四、直角坐標(biāo)法1、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程如圖，在參考體上建立直角坐標(biāo)系。則 這就是直角坐標(biāo)形式的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間t可得兩個(gè)柱面方程： 這兩個(gè)柱面方程的交線(xiàn)就是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，上式稱(chēng)為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。2、點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影由圖可知，動(dòng)點(diǎn)的矢徑為將上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得將動(dòng)點(diǎn)的速度表示為解析形式，則有比較上述兩式，可得速度在各坐標(biāo)軸上的投影 這就是用直角坐標(biāo)法表示的點(diǎn)的速度。即：點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影，等于點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。3、點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影若已知速度的投影，則速度的大小為 其方向余弦為 4、點(diǎn)

5、的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影由于加速度是速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，則將動(dòng)點(diǎn)的加速度表示為解析形式，則有 比較上述兩式，可得加速度在各坐標(biāo)軸上的投影 這就是用直角坐標(biāo)法表示的點(diǎn)的加速度。即：點(diǎn)的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于該點(diǎn)速度在對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。若已知加速度的投影，則加速度的大小為 其方向余弦為例1、桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)套在半徑為R的固定大圓環(huán)上的小護(hù)環(huán)M運(yùn)動(dòng)，已知（為常數(shù)）。求小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。 解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)。則即 即為小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程。 故M點(diǎn)的速度大小為 其方向余弦為 故M點(diǎn)的加速度大小為 且有 加速

6、度的方向如圖。例2、半徑為的圓輪在地上沿直線(xiàn)勻速滾動(dòng)，已知輪心的速度為試求輪緣上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程軌跡速度和加速度（演示圖輪在地面上純滾動(dòng)）解：建立直角坐標(biāo)如圖，時(shí)點(diǎn)位于點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程： 其中，即 軌跡為擺線(xiàn)（可演示輪子運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡畫(huà)出來(lái)）速度： 可知 （如圖）當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)接觸地時(shí) 加速度： 即點(diǎn)的加速度大小為常量，方向恒指向輪心MMjRoj課堂小結(jié)：本章介紹研究動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的三種方法，即矢徑法、直角坐標(biāo)法和自然法。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間所占的位置隨時(shí)間連續(xù)變化而形成一條曲線(xiàn)，這條曲線(xiàn)成為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可按軌跡形狀分為直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)軌跡為圓時(shí)稱(chēng)為圓周運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)作運(yùn)動(dòng)就是點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化。表

7、示點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)方程稱(chēng)為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，本章研究的內(nèi)容為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度，以及它們之間的關(guān)系。作業(yè)布置：1、 課本思考題6-22、 課本習(xí)題6-2、6-3。教學(xué)后記：第三節(jié) 自然法教學(xué)時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：1、 能熟練地應(yīng)用自然法求點(diǎn)在平面上作曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度，2、 正確理解切向加速度和法向加速度的物理意義。教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的自然法，點(diǎn)沿已知軌跡的運(yùn)動(dòng)方程，點(diǎn)的切向加速度和法向加速度。教學(xué)難點(diǎn)：矢量求導(dǎo)及自然軸系的概念。教學(xué)方法：板書(shū)PowerPoint教學(xué)步驟：自然坐標(biāo)法1、運(yùn)動(dòng)方程前提：點(diǎn)的軌跡已知顯示火車(chē)沿軌跡行駛的一段動(dòng)畫(huà)弧坐標(biāo)的建立

8、：在軌跡上確定O點(diǎn)，規(guī)定“+”，“-”點(diǎn)位置確定：弧坐標(biāo)S設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖。 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弧坐標(biāo)隨時(shí)間t連續(xù)變化，且為時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，即這就是自然坐標(biāo)形式的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。2、曲率和曲率半徑圖示空間曲線(xiàn)，表明曲線(xiàn)在弧長(zhǎng)內(nèi)彎曲的程度。 稱(chēng)為的平均曲率。當(dāng)M點(diǎn)趨近于M點(diǎn)時(shí)，平均曲率的極限值就是曲線(xiàn)在M點(diǎn)的曲率，即M點(diǎn)曲率的倒數(shù)稱(chēng)為曲線(xiàn)在M點(diǎn)的曲率半徑，即3、自然軸系如圖。由三個(gè)方向的單位矢量構(gòu)成的坐標(biāo)系稱(chēng)為自然軸系。且三個(gè)單位矢量滿(mǎn)足右手法則，即 自然軸系不是固定的坐標(biāo)系。4、用自然法表示點(diǎn)的速度由點(diǎn)的速度的矢徑法 由于 ，所以 即：動(dòng)點(diǎn)沿已知軌跡的速度的代數(shù)值等于弧坐標(biāo)s對(duì)時(shí)間的一階

9、導(dǎo)數(shù)，速度的方向沿著軌跡的切線(xiàn)方向，當(dāng)為正時(shí)指向與相同，反之，與 相反。5、用自然法表示點(diǎn)的加速度由點(diǎn)的加速度的矢徑法 由于 ， 所以 上式表明加速度矢量是由兩個(gè)分矢量組成：分矢量 的方向永遠(yuǎn)沿軌跡的切線(xiàn)方向，稱(chēng)為切向加速度，它表明速度代數(shù)值隨時(shí)間的變化率；分矢量 的方向永遠(yuǎn)沿主法線(xiàn)的方向，稱(chēng)為法向加速度，它表明速度方向隨時(shí)間的變化率。加速度在三個(gè)自然軸上的投影為 全加速度位于密切面內(nèi)，其大小為方向余弦為 例1、在曲柄搖桿機(jī)構(gòu)中，曲柄與水平線(xiàn)夾角的變化規(guī)律為，設(shè)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程和時(shí)點(diǎn)的速度和加速度（演示圖中機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可將點(diǎn)的軌跡畫(huà)出來(lái)）解法1 自然坐標(biāo)法 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程 速度 加速度 解法2 直

10、角坐標(biāo)法（坐標(biāo)建立如圖）B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：速度：加速度：時(shí) 例2、桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)套在半徑為R的固定大圓環(huán)上的小護(hù)環(huán)M運(yùn)動(dòng)，已知（ 為常數(shù)）。求小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。 解：建立如圖所示的自然坐標(biāo)。則點(diǎn)的自然坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程為速度為 加速度為 例3、一點(diǎn)作平面曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其速度在x軸上的投影始終為一常數(shù)C。試證明在此情形下，點(diǎn)的加速度的大小為。其中v為點(diǎn)的速度的大小，為軌跡的曲率半徑。證明：設(shè)點(diǎn)沿圖示曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度和加速度如圖。由已知條件得 （1）由于速度在x軸上的投影始終為一常數(shù)，所以 由于 所以 于是可得 由于 ，所以 將（1）式代入上式得 證畢。課堂小結(jié)：本章介紹了描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢量法、直角坐標(biāo)法和自然法。矢量法在理論上概括性強(qiáng)，分析方法直接明了，但在求解具體的力學(xué)問(wèn)題時(shí)，需把矢量運(yùn)算變換為標(biāo)量運(yùn)算的形式，因而將速度和加速度表示為投影的形式。在運(yùn)動(dòng)軌跡不知的情況下，采用直角坐標(biāo)法比較方便。但其缺點(diǎn)是對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的分析不太直觀(guān)。當(dāng)軌跡已知時(shí)，可采用自然坐標(biāo)法。自然法比較直觀(guān)，而