一元二次方程及其解法

1、第2課時 一元二次方程及其解法一·基本概念理解1 一元二次方程的定義： 含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左邊加一個關于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。2、一元二次方程的解法 （1）、直接開平方法:利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當時，當b<0時，方程沒有實數(shù)根。（2）、配方法: 配方法的理論根據(jù)是完全平方公

2、式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有。 配方法的步驟：先把常數(shù)項移到方程的右邊，再把二次項的系數(shù)化為1，再同時加上1次項的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式（3）、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程的求根公式：公式法的步驟：就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項的系數(shù)為，一次項的系數(shù)為，常數(shù)項的系數(shù)為（4）、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。分解因式法的步驟：把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公

3、式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式（5） 、韋達定理若，是一元二次方程的一般形式：的兩個實數(shù)根，則，。以上的就稱為韋達定理（或稱為根與系數(shù)的關系）利用韋達定理去了解，韋達定理就是在一元二次方程中，二根之和=，二根之積=也可以表示為,。利用韋達定理，可以求出一元二次方程中的各系數(shù)，在題目中很常用3、一元二次方程根的判別式 根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即 I 當>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根； II 當=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根； III 當<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根4、一元二次方程根與系數(shù)的關系 如

4、果方程的兩個實數(shù)根是，那么，。也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商。5、一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般形式，同時應使二次項系數(shù)化為正數(shù)。 直接開平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應先計算根的判別式的值，以便判斷方程是否有解。 配方法是推導公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二

5、次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數(shù)學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學方法之一，一定要掌握好。（三種重要的數(shù)學方法：換元法，配方法，待定系數(shù)法）。二例題講解：例1：解一元二次方程（1） （2） （3）【例題解析】：（1）可以利用直接開方法或利用因式分解法或公式法；（2）可以利用配方法或公式法或因式分解法；（3）可以利用配方法或公式法或因式分解法。解：（1）a直接開方法： b因式分解法：（2） a配方法：解： b公式法 ：使用該方法首先要將方程轉化為，再準確找出該一元二次方程中的的值是做對該題的重要前提和保證。由題可知：所以 （3） 方法一：（配

6、方法） 方法二：（公式法）由題可知： 所以：方法三：（因式分解） 注：在求一元二次方程的根之前，首先要將方程轉化成標準形式，再對它的的取值情況進行判定；最后再對求根的方法進行選取，如配方，公式，還是因式分解法，特別是配方法的知識基礎是建立在完全平方公式：之上的。例2：用直接開方法解一元二次方程（1） (2) (3) (4) 解析：（1）由題可知：（2） 由題可知：（3） 由題可知：（4）由題可知：注：求一元二次不等式的根方法中，直接開方法是最基礎的方法?！揪氁痪殹浚河弥苯娱_平方法解下列一元二次方程。（1） （2） （3） （4）例3：用配方法解一元二次方程（1） （2）（3） （4）解析：（1

7、）由題可知：（2） 由題可知： （3） 由題可知：（4） 由題可知：注解：配方法的知識基礎是建立在完全平方公式：之上的?！揪氁痪殹浚河门浞椒ń庀铝幸辉畏匠?。1、. 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、例4：用公式法解一元二次方程（1） （2）（3） （4）解析（1）由題可知： 所以：（2）由題可知： 所以：（3）由題可知： 所以：（4）由題可知： 所以：注解：使用公式法求一元二次方程的根，要將方程轉化為的形式，再準確找出對應的的值?！揪氁痪殹坑霉浇夥ń庀铝蟹匠?。1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、例5：用因式分解法解一元二次方程（1） （2）（3） （4）解析：多項式因式分

8、解的一般步驟：先考慮能否提公因式，再考慮能否運用公式或十字相乘法，最后考慮分組分解法對于一個還能繼續(xù)分解的多項式因式仍然用這一步驟反復進行以上步驟可用口訣概括如下：“首先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合適，四種方法反復試，結果應是乘積式”對于用因式分解法求一元二次方程根的問題，首先將方程轉化為或的形式，第一種形式再考慮用因式分解中十字相乘法，第二種形式就只需提取公因數(shù)（式）即可。（1）由題可知： 所以以后做得非常熟練之后，其解答過程可直接寫成：從而方程的根就為（2）由題可知 所以（3）由題可知：該題符合的形式，則只需提取公因式即可，故 所以方程的根為（4）由題可知：首先將方程轉化為 所以注解：要使用因式分解法求一元二次方程的根，首先將方程轉化為或的形式，第一種形式再考慮用因式分解中十字相乘法，第二種形式就只需提取公因數(shù)（式）即可。【練一練】用因式分解法解下列一元二次方程。1、 2、3、 4、5、 6、7、 8、 9、 10、第1練 一元二次方程及其解法用適當?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠獭?、 2、 3、 4、 5、 6、7、 8、 9、10、 11、 12、13、 14、 15、16、 17、 18