微積分上D18連續(xù)性間斷點(diǎn)

1、二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn) 一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 第八節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 第一章 可見(jiàn) , 函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義定義定義:)(xfy 在0 x的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點(diǎn)0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 continue)()(lim, ),(000 x

2、pxpxxx若)(xf在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù) , 則稱它在該區(qū)間上連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) . ,bac例如例如,nnxaxaaxp10)(在),(上連續(xù) .( 有理整函數(shù) )又如又如, 有理分式函數(shù))()()(xqxpxr在其定義域內(nèi)連續(xù).在閉區(qū)間,ba上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要,0)(0 xq都有)()(lim00 xrxrxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)自變量的增量,0 xxx有函數(shù)的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(00

3、0 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù),0,0當(dāng)xxx0時(shí), 有yxfxf)()(0函數(shù)0 x)(xf在點(diǎn)連續(xù)有下列等價(jià)命題:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例. 證明函數(shù)xysin在),(內(nèi)連續(xù) .證證: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx這說(shuō)明xysin在),(內(nèi)連續(xù) .同樣可證: 函數(shù)xycos在),(內(nèi)連續(xù) .0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在在二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)(1) 函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數(shù))(xf0 x)(lim

4、0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不連續(xù) :0 x設(shè)0 x在點(diǎn))(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義 , 則下列情形這樣的點(diǎn)0 x之一函數(shù) f (x) 在點(diǎn)雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) . 在無(wú)定義 ;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)分類: :第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若稱0 x, )()(00 xfxf若稱0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf中至少一個(gè)不存在 ,稱0 x若其中有一個(gè)為振蕩 ,稱0 x若其中有一個(gè)為,為可去間斷點(diǎn) .為跳躍間斷點(diǎn) .為無(wú)窮間斷點(diǎn)

5、無(wú)窮間斷點(diǎn) .為振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xytan) 1 (2x為其無(wú)窮間斷點(diǎn) .0 x為其振蕩間斷點(diǎn) .xy1sin) 2(1x為可去間斷點(diǎn) .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點(diǎn) .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點(diǎn) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx0)()(lim

6、000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型)(. 1xf0 x在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 討論函數(shù)231)(22xxxxfx = 2 是第二類無(wú)窮間斷點(diǎn) .間斷點(diǎn)的類型.2. 設(shè)0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a時(shí)提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa03. p64 題 2 , p65 題 5)(xf為連續(xù)函數(shù).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 答案答案: x = 1 是第一類可去間斷點(diǎn) ,p65 題題5 提示提示:xxxfsin1sin1)() 1 ()()2(xf有理點(diǎn)x,1無(wú)理點(diǎn)x,1)()3(xf有理點(diǎn)x,x無(wú)理點(diǎn)x,x 作業(yè)作業(yè) p64 3 ; 4 xyo11xyo第九節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.xxexf111)(解解: 間斷