高中數(shù)學(xué)第8章圓錐曲線方程(第12課時)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(三)

1、精品資源歡下載課題：8. 4雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(三)教學(xué)目的:1 .使學(xué)生掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率等幾何性質(zhì)2 .掌握雙曲線的另一種定義及準(zhǔn)線的概念.3 .掌握等軸雙曲線，共輾雙曲線等概念.4 .進(jìn)一步對學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動變化和對立統(tǒng)一的觀點的教育.教學(xué)重點：雙曲線的漸近線、離心率、雙曲線的另一種定義及其得出過程.教學(xué)難點：漸近線幾何意義的證明，離心率與雙曲線形狀的關(guān)系，雙曲線的另 一種定義的得出過程.授課類型：新授課.課時安排：1課時,教 具：多媒體、實物投影儀.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1 .范圍、對稱性2 2由標(biāo)準(zhǔn)方程 4-4=1 ,從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之

2、間沒有圖象,a b從縱的方向來看，隨著 x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向 上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線.雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心.X2 .頂點頂點：A(a,°), A2 La,。特殊點：B1(Qb),B2 0,-b實軸：AA2長為2a, a叫做半實軸長.虛軸：B1B2長為2b, b叫做虛半軸長雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異3 .漸近線22過雙曲線。-4=1的兩頂點 A,A2,作丫軸的平行線x=±a,經(jīng)過 a bB,B2作X軸的平行線y = ±b ,四條直線圍成一個矩形矩形的兩條對角線所在直線方

3、程是y=±bx （X土y=0）,這兩條直線就是雙曲線的漸近線 . a a b4 .等軸雙曲線定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線.等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：y = =x ； （2）漸近線互相垂直；（3）離心率e = . 2 .等軸雙曲線可以設(shè)為：x2 - y2 =八（九# 0）,當(dāng)人> 0時交點在x軸,0 <0時焦點在y軸上.5.共漸近線的雙曲線系如果已知一雙曲線的漸近線方程為222線方程就一定是：一匚-一y二=±i（k>0）或?qū)懗啥?（ka）2（kb）2a2y = ±_bx =±kbx(k

4、 >0),那么此雙曲 a ka2y2 =，b26 .雙曲線的草圖具體做法是：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點及第一象限內(nèi)任 意一點的位置，然后過這兩點并根據(jù)雙曲線在第一象限從漸近線下方逐漸接近 漸近線的特點畫出雙曲線的一部分，最后利用雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲 線.7 .離心率雙曲線的焦距與實軸長的比 e=2c=W ,叫做雙曲線的 離心率.范圍：e>1 2a a222雙曲線形狀與e的關(guān)系：卜='。" 嗎-1 =Je2-1 , e越大， a a a即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊.由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊.

5、8 .共軻雙曲線以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軻雙曲線*區(qū)別：三量a,b,c中a,b不同（互換）c相同*共用一對漸近線雙曲線和它的共軻雙曲線的焦點在同一圓上確定雙曲線的共軻雙曲線的方法：將1變?yōu)?1共用同一對漸近線 y = 土kx的雙曲線的方程具有什么樣的特征：可設(shè)為22x- -。= K(九¥0),當(dāng)九下0時交點在x軸，當(dāng)九<0時焦點在y軸上.1 k2、講解新課：9 . 雙曲線的第二定義：到定點F的距離與到定直線 l的距離之比為常數(shù)Ce= (c >a >0)的點的軌跡是雙曲線其中，定點叫做雙曲線的焦點， a線叫做雙曲線的準(zhǔn)線.

6、常數(shù)e是雙曲線的離心率.10 .準(zhǔn)線方程：2 x 對于ay2A2 F2x=1來說，相對于左焦點相對于右焦點八*/位置關(guān)系:b2F2AAiFiFi (-c,0)對應(yīng)著左準(zhǔn)線li : xF2 (c,0)對應(yīng)著右準(zhǔn)線122 a :x = 一c2a>a > >0*焦點到準(zhǔn)線的距離c=1來說，相對于上焦點=b-(也叫焦參數(shù)) cFi(0-c)對應(yīng)著上準(zhǔn)線li：y =2 a 相對于下焦點F2(0,c)對應(yīng)著下準(zhǔn)線i2 ： y = c11 .雙曲線的焦半徑定義：雙曲線上任意一點M與雙曲線焦點F1,F2的連線段，叫做雙曲線的焦半徑+焦半徑公式的推導(dǎo)：利用雙曲線的第二定義，設(shè)雙曲線22x y-

7、2" - 2 =1 (aA0,b0)，a bFl,F2是其左右焦點.則由第二定義:MFidi=e,MFi|XoMF1 = a +ex0同理 MF2 = a-ex0即有焦點在x軸上的雙曲線的焦半徑公式：MF1 = a +ex0二 AMF2 = a 一ex0同理有焦點在y軸上的雙曲線的焦半徑公式：MFi = a +ey0#上二L(其中Fi,F2分別是雙曲線的下上焦點)MF2 = a -ey0點評：雙曲線焦半徑公式與橢圓的焦半徑公式的區(qū)別在于其帶絕對值符號，如 果要去絕對值，需要對點的位置進(jìn)行討論。兩種形式的區(qū)別可以記為：左加右 減，上減下加(帶絕對值號) ，12 .焦點弦：定義：過焦點的

8、直線割雙曲線所成的相交弦.焦點弦公式：可以通過兩次焦半徑公式得到：設(shè)兩交點 A(Xi，y1)B(X2, y2)當(dāng)雙曲線焦點在X軸上時，焦點弦只和兩焦點的橫坐標(biāo)有關(guān)：過左焦點與左支交于兩點時：AB - -2a - e(x1 , x2).過右焦點與右支交于兩點時：AB = -2a+e(x1+x2)*當(dāng)雙曲線焦點在y軸上時，過左焦點與左支交于兩點時：AB = -2a-e(y1 - y2) .過右焦點與右支交于兩點時：AB = -2a - e(y1 y2)-13 .通徑：定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦.2b2直接應(yīng)用焦點弦公式，得到d 三竺a2a的距離之比為常數(shù)c三、講解范例 例 點p(x,y)與

9、定點F2(c,0)的距離與到l : x =C(c > a > 0),求P的軌跡方程* a解：設(shè)d是點P到直線l的距離.根據(jù)題意得(x -C)2 y2 = Ca2 ax -|C2化簡，得x2 a2y2 =1 ( a >0,b>0)b2A F2In2P這是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.四、課堂練習(xí).221 .雙曲線16x 9y =-144的實軸長、虛軸長、離心率分別為(C)(A) 4, 3,- 77(B) 8, 6,42.頂點在x軸上，兩頂點間的距離為71(C) 8, 6,(D) 4, 3,44458,e=5的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(A)422(A) J -16922c x y(B)-16

10、 25二1229162r x(D)一252幺=116223.雙曲線 巳-匕=1的兩條準(zhǔn)線間的距離等于(A)34(A)67i(B)377(C)18(D)16224.若雙曲線 L-二=1上一點P到雙曲線上焦點的距離是 8,那么點P到上準(zhǔn)64 36線的距離是(D)32 J7, x/ z 32(A) 10(B) (C) 2Q7 (D) 755 .經(jīng)過點M3, 1),且對稱軸在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(D)(A) y2 x2=8(B) x2y2=±8(Q x2y2=4( D) x2y2=86 .以y=± 2 x為漸近線的雙曲線的方程是(D)322222222(A) 3y 2x

11、 =6(B) 9y8x=1(C) 3y 2x =1( D) 9y 4x =367 .等軸雙曲線的離心率為 ;等軸雙曲線的兩條漸近線的夾角是 ( J 2,900 )228 .從雙曲線 勺4=1 (a a 0,b > 0)的一個焦點到一條漸近線的距離 a2b2是b)224229 .與 二十匕=1有公共焦點，且離心率e=5的雙曲線方程是(x -y =1)49 24416 910 .以5x2+8y2=40的焦點為頂點，且以 5x2+8y2=40的頂點為焦點的雙曲線的方22程是 .( 二一上=1)352211.已知雙曲線 L-工=1上一點到其右焦點距離為 8,求其到左準(zhǔn)線的距離. 64 3696(

12、答案：96)5五、小結(jié)：六、課后作業(yè)：1 .下列各對雙曲線中，既有相同的離心率，又有相同的漸近線的是(B)22222(A)3y2=1 與 y2二=1 (B)工y2=1 與2-幺=1333932(D)y2=1 與3e1和則必有(D)22(Q y2 =1 與 x2 丫332 .若共輾雙曲線的離心率分別為(A) e1= e2( B) e1 e2=1(O 1 + 1 =1(D)+a二1e aee23 .若雙曲線經(jīng)過點(6,J3),且漸近線方程是y=± 1 x,則這條雙曲線的方程3是(022(A) LL=136922(B工-上=18192(0=122(D 土-1834 .雙曲線的漸近線為y=± 3x,則雙曲線的離心率為(C)4(A) 5(B) 2(C) 5 或 5(D) 1 J5或5544323225 .如果雙曲線 -y- =1右支上一點P到它的右焦點的距離等于 2,則P到左 169準(zhǔn)線的距離為(C)(A)當(dāng)(B)色(C) 8 (D) 105106 .已知雙曲線kx2 2ky2 =4的一條準(zhǔn)線是y=1,則實數(shù)k的值是(B).2 r 2-f(A)-(B)-(C)1(D)-122xy7 .雙曲線 一+<=1的離心率eC(1,2),則k的取值范圍是 (-12,0)