0108函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)65666

1、1. 增量增量,),()(00內(nèi)有定義內(nèi)有定義的某鄰域的某鄰域在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) xuxxfy ,表示一個(gè)變量表示一個(gè)變量記記 x 一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性第八節(jié)第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)),()( 0可正可負(fù)可正可負(fù)處的自變量的增量處的自變量的增量在在為為則稱則稱xxfyx ).()(0可正可負(fù)可正可負(fù)處的函數(shù)的增量處的函數(shù)的增量在在為為xxfyy ),()(00 xfxxfy 記記xy0)(xfy xy0)(xfy 0 xxx 0 x xx 00 xx 0 yapxx 0ppa0 ybxx 0p2. 連續(xù)的兩個(gè)等價(jià)的定義連續(xù)的兩個(gè)等價(jià)的定義),()(00 xfx

2、xfy 記記定義定義1 1定義定義2 2),()(lim00 xfxfxx 若若. )( 0處連續(xù)處連續(xù)在在則稱則稱xxf, 0lim 0 yx若若,)(0處連續(xù)處連續(xù)在在則稱則稱xxfy .)(0的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)稱為稱為xfx例例1 1解解: )(lim0 xfx )0(f由函數(shù)連續(xù)的定義知由函數(shù)連續(xù)的定義知:.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx .0 )(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論討論 xxf,1sin33xx, 0 x, 0, 0 x3301sinlimxxx , 0 , 0定理定理處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)0)(xxf),()(lim 00 xf

3、xfxx 若若 ),()(lim 00 xfxfxx 若若 axfxx)(lim0 )()(lim00 xfxfxxaxfxfxxxx )(lim)(lim00)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx .)(0處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxf處處在在則稱則稱0)( xxf處處在在則稱則稱0)( xxf左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù)3.3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù)例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(單側(cè)連續(xù)性及連續(xù)性單側(cè)連續(xù)性及連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解: )(lim0 xfx2 ),0(f )(lim0 xfx2 ),0(f .0)(,處不

4、連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)綜上可知綜上可知 xxf, 2)0( f,0)(處不左連續(xù)處不左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)所以函數(shù)所以函數(shù) xxf)2(lim0 xx)2(lim0 xx,0)(處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)所以函數(shù)所以函數(shù) xxf- 2- 22 2xyo.001sin0001 )(2處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxexfx練習(xí)：練習(xí)：解解: )(lim0 xfx, 0)0( fxexx1lim20 xxx20lim , 0 )(lim0 xfxxxx1sinlim0 xxx1sinlim0 , 0 0)(lim0 xfx),0(f .0)(,處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)由定義

5、知由定義知 xxf4.4.其它一些稱法其它一些稱法,),()(內(nèi)處處連續(xù)內(nèi)處處連續(xù)開(kāi)區(qū)間開(kāi)區(qū)間在在baxf :,)( 上連續(xù)是指上連續(xù)是指在閉區(qū)間在閉區(qū)間baxf .),()(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在則稱為則稱為baxf;),( )( )1(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在baxf;)()2(處右連續(xù)處右連續(xù)在在axxf .)()3(處左連續(xù)處左連續(xù)在在bxxf .),(cos,sin內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的在在可以證明可以證明 xyxy：?),()( 上連續(xù)是指上連續(xù)是指在在babaxf 連續(xù)區(qū)間連續(xù)區(qū)間,),()(00內(nèi)有定義內(nèi)有定義的某去心鄰域的某去心鄰域在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) xuxxfo;)(lim)2(0不存在

6、不存在xfxx,)(,)(lim)3(00有定義有定義存在存在xfxfxx二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn),)()(lim00不成立不成立若等式若等式xfxfxx 定義定義間斷點(diǎn)的三種情形：間斷點(diǎn)的三種情形：.)(0點(diǎn)點(diǎn)的一個(gè)不連續(xù)點(diǎn)或間斷的一個(gè)不連續(xù)點(diǎn)或間斷為為則稱則稱xfx).()(lim00 xfxfxx 但但;)()1(0無(wú)定義無(wú)定義xf 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)例例3 3.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解:, 0)0( f, 1)0( f),0()0( ff.0為函數(shù)的間斷點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn) xoxy,)(0但不相等但不相等右極限都存在右

7、極限都存在處左、處左、在點(diǎn)在點(diǎn)若若xxf.)(0的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)為為則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)xfx解解:, 1)1( f, 2)1( f, 2)1( f2)(lim1 xfx),1(f .1為函數(shù)的間斷點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn) x例例4 4.11,1110, 1,2)( 處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxf, 2)1( f若令若令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxfoxy112oxy112xy 1xy2 可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)的分類: :定義定義.,稱稱為為第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)左左右右極極限限都都存存在在的的間間斷斷例例5 5.,

8、0, 0, 0, 0,1)(指出間斷點(diǎn)類型指出間斷點(diǎn)類型若間斷若間斷處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論討論 xxxxxf解解: )(lim0 xfx,右極限均不存在右極限均不存在左左、0)( xxf在在,斷點(diǎn)斷點(diǎn)不是第一類間斷點(diǎn)的間不是第一類間斷點(diǎn)的間.稱為第二類間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)xx1lim0, .是是第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)例例6 6.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解:xy1sin ,1sinlim0不存在不存在xx .0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)判斷下列圖形中的間斷點(diǎn)的類型判斷下列圖形中的間斷點(diǎn)的類型:o1x

9、2x3xyx xfy 4x第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)（跳躍間斷點(diǎn)）（跳躍間斷點(diǎn)）第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)（半無(wú)窮間斷點(diǎn)）（半無(wú)窮間斷點(diǎn)）第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)）（可去間斷點(diǎn)）.00,0,10,cos)(,: 處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng)問(wèn)問(wèn) xxbaxxxbxaxfba練習(xí)練習(xí)解解:)cos(lim)(lim00bxaxfxx , ba )(lim)(lim00baxxfxx , b , 1)0( f),0()0()0(fff 要使要使,1, 2時(shí)時(shí) ba.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 2, 1 ab當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)思考題思考題?)(| )(|,)(.

10、1020處必連續(xù)嗎處必連續(xù)嗎在在、則則處連續(xù)處連續(xù)在在若若xxfxfxxf?)(,)(| )(|. 2002處必連續(xù)嗎處必連續(xù)嗎在在則則處連續(xù)處連續(xù)在在、若若xxfxxfxf.1, 0)2)(1(3sin)(. 3的類型的類型的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)判定判定 xxxxxxxf解答：解答：)()(lim00 xfxfxx , )()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx );(02xf .)(02處都連續(xù)處都連續(xù)在在xxf, 0, 0 :,|0恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng) xx,| )()(|0 xfxf|,)()(| |)(| )(|00 xfxfxfx

11、f 總有總有又又,)(0處連續(xù)處連續(xù)在在xxf?)(| )(|,)(. 1020處必連續(xù)嗎處必連續(xù)嗎在在、則則處連續(xù)處連續(xù)在在若若xxfxfxxf;| )(|0處連續(xù)處連續(xù)在在xxf解：解：反例反例,0, 10, 1)( xxxf設(shè)設(shè), 1)(, 1| )(| 2 xfxf則則,0)(|,)(|02處連續(xù)處連續(xù)在在顯然顯然 xxfxf.0)(0處不連續(xù)處不連續(xù)在在但但 xxf.不是必連續(xù)的不是必連續(xù)的?)(,)(| )(|. 2002處必連續(xù)嗎處必連續(xù)嗎在在則則處連續(xù)處連續(xù)在在、若若xxfxxfxf解：解：解：解：, 0)1( x對(duì)于間斷點(diǎn)對(duì)于間斷點(diǎn) )(lim0 xfx)2)(1(3sinl

12、im0 xxxxx,23 的第一類間斷點(diǎn)的第一類間斷點(diǎn)是是)(0 xfx );(可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn), 1)2( x對(duì)于間斷點(diǎn)對(duì)于間斷點(diǎn) )(1lim1xfxxxxxx3sin)2)(1(lim1 , 0 )(lim1xfx, 的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn)是是)(1xfx ).(無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn).1, 0)2)(1(3sin)(. 3的類型的類型的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)判定判定 xxxxxxxf1. 函數(shù)在一點(diǎn)處、區(qū)間內(nèi)函數(shù)在一點(diǎn)處、區(qū)間內(nèi)(上上)連續(xù)的概念；連續(xù)的概念；3. 間斷點(diǎn)的定義，分類和判別間斷點(diǎn)的定義，分類和判別:第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn): 可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn), 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn): 無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn), 振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)間斷