高中數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

1、名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)一、等差數(shù)列1、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列， 這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公 差 通 常 用 字 母 d 表 示 。 用 遞 推 公 式 表 示 為 anan 1d ( n 2) 或an 1 an d (n 1) 。2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： an a1 (n1)d ；說明：等差數(shù)列（通常可稱為A P 數(shù)列）的單調(diào)性： d0為遞增數(shù)列，d 0 為常數(shù)列， d 0 為遞減數(shù)列。3、等差中項(xiàng)的概念：定義：如果 a ， A ， b 成等差數(shù)列，那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項(xiàng)。其中 Aa ba

2、 ， A ， b 成等差數(shù)列Aa b 。224、等差數(shù)列的前 n 和的求和公式： Snn(a1 an )na1n( n 1) d 。225、等差數(shù)列的性質(zhì)：（ 1）在等差數(shù)列 an 中，從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；（ 2）在等差數(shù)列 an 中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是 AP ，如： a1 ， a3 ， a5 ， a7 ，； a3 ， a8 ， a13 ， a18，；（ 3 ）在等差數(shù)列an 中，對(duì)任意 m ， nN， anam( nm)d ，danam (m n) ；nm（ 4）在等差數(shù)列an 中，若m nnpq ，則amanapaq；， ，p ，q N 且 m說明：設(shè)數(shù)列

3、 an 是等差數(shù)列，且公差為 d ，（）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有 2n 項(xiàng)，則 S 奇 S 偶nd ； S奇an；S偶an 1（）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)， 設(shè)共有 2n 1項(xiàng)，則 S 偶S 奇an中； S奇n。aS偶n16、數(shù)列最值（1） a10 ， d0 時(shí)， Sn 有最大值； a10 ， d0 時(shí)， Sn 有最小值；（ 2） Sn 最值的求法：若已知 Sn ，可用二次函數(shù)最值的求法（nN）；若已知 an ，則 Sn 最值時(shí) n 的值（ n N ）可如下確定an0an0。an 1或an 100二、等比數(shù)列1等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起 ，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫

4、做等比數(shù)列， 這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比； 公比通常用字母 q 表示 (q0) ，即：an 1：an(0) 數(shù)列對(duì)于數(shù)列（1）（）（ ）都是等q q23比數(shù)列，它們的公比依次是 2，5，1 。（注意：“從第二項(xiàng)起”、“常數(shù)” q 、等比2數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零）名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)2等比數(shù)列通項(xiàng)公式為： an a1 q n 1 ( a1 q 0) 。說明：（ 1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比d 1 時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知： 若 an 為等比數(shù)列，則 amqm n 。an3等比中項(xiàng)如果在 a與 b 中間插入一個(gè)數(shù)G ，使 a, G ,b 成等比數(shù)列，那

5、么 G 叫做 a與 b 的等比中項(xiàng)（兩個(gè)符號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)）。4等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列 a1, a2 ,a3 , an ,的前 n 項(xiàng)和是 Sn a1a2 a3an ，當(dāng)a1 (1 q n )或 Sna1an q；當(dāng) q=1 時(shí)， Snna1 （錯(cuò)位相減法）。q 1 時(shí)， Sn1q1 q說明：（ 1） a1 , q, n, Sn 和 a1, an ,q, Sn 各已知三個(gè)可求第四個(gè)；（2）注意求和公式中是 q n ，通項(xiàng)公式中是 q n1 不要混淆；（ 3）應(yīng)用求和公式時(shí) q1 ，必要時(shí)應(yīng)討論 q 1 的情況。5等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果

6、an 是等比數(shù)列的第 n 項(xiàng)， am 是等差數(shù)列的第 m 項(xiàng)，且 m n，公比為 q ，則有 an amq n m ； 對(duì) 于 等 比 數(shù) 列 an， 若 n m uv ， 則 an amau av ， 也 就 是 ：a1 ana1 an a2 an1a3 an 2，如圖所示： a1 ,a2 ,a3 ,an 2 ,an 1 ,an 。a2 an 1若數(shù)列 an是等比數(shù)列， Sn 是其前 n 項(xiàng)的和， kN*，那么 Sk ，S2kSk ，S3kS2k成等比數(shù)列。如下圖所示：S3 ka1 a2 a3akak 1a2ka2k 1a3kS kS2 k SkS3 kS2 k三 、數(shù)列前 n 項(xiàng)和1數(shù)列求

7、通項(xiàng)與和（ 1）數(shù)列前 n 項(xiàng)和 Sn 與通項(xiàng) an 的關(guān)系式： ansnsn 1n2。=s1n1（ 2）求通項(xiàng)常用方法作新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列；累差疊加法。最基本的形式是： an =(anan1)+(an 1+an 2)+ +(a2a1)+a1；歸納、猜想法。（ 3）數(shù)列前 n 項(xiàng)和1重要公式： 1+2+n=n(n+1)；12+22+ +n2= 1 n(n+1)(2n+1)；6名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)33321221 +2 + +n =(1+2+ +n) =n (n+1) ；等差數(shù)列中， Sm+n=Sm+Sn+mnd；nm等比數(shù)列中， Sm+n=Sn+q Sm=Sm+q Sn；將數(shù)列的通項(xiàng)

8、分成兩個(gè)式子的代數(shù)和，即 an=f(n+1) f(n) ，然后累加抵消掉中間的許多項(xiàng)，這種先裂后消的求和法叫裂項(xiàng)求和法。 用裂項(xiàng)法求和， 需要掌握一些常見的裂項(xiàng)，如： an1111) 、11B)( AnC )C(AnCn(n 1)=(AnBAn Bn1r 1rr、n=11等。n 1、n·n！ =(n+1)! n!、 Cn 1=CnCn 1( n 1)! n!( n 1)!錯(cuò)項(xiàng)相消法對(duì)一個(gè)由等差數(shù)列及等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n 項(xiàng)和，常用錯(cuò)項(xiàng)相 消 法 。 anbn cn , 其 中 bn是等差數(shù)列，cn是等比數(shù)列，記Snb1c1 b2 c2bn 1cn 1bn cn ，則 q

9、Snb1c2bn 1cnbn cn 1 ，并項(xiàng)求和把數(shù)列的某些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn。數(shù)列求通項(xiàng)及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。通項(xiàng)分解法： anbncn2遞歸數(shù)列數(shù)列的連續(xù)若干項(xiàng)滿足的等量關(guān)系an+k=f(an+k 1,an+k 2, ,an) 稱為數(shù)列的遞歸關(guān)系。由遞歸關(guān)系及k 個(gè)初始值可以確定的一個(gè)數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。如由an+1=2an+1，及 a1=1，確定的數(shù)列 2 n1 即為遞歸數(shù)列。遞歸數(shù)列的通項(xiàng)的求法一般說來有以下幾種：（1）歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明。（2）迭代法。（3）代換法。包括代數(shù)代換，對(duì)數(shù)代數(shù)，三角代數(shù)。（4）作新數(shù)列法。最常見的是作成等差數(shù)列或

10、等比數(shù)列來解決問題。名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)一、高中數(shù)列基本公式：1、一般數(shù)列的通項(xiàng)an 與前 n 項(xiàng)和 Sn 的關(guān)系：an=2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1 +(n-1)da n=ak+(n-k)d( 其中 a1 為首項(xiàng)、ak 為已知的第k 項(xiàng) )當(dāng) d0時(shí)， an 是關(guān)于 n 的一次式；當(dāng)d=0 時(shí)， an 是一個(gè)常數(shù)。3、等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式：Sn=S n=S n=當(dāng) d0時(shí)， Sn 是關(guān)于 n 的二次式且常數(shù)項(xiàng)為 0；當(dāng) d=0 時(shí)（ a10）， Sn =na1 是關(guān)于 n 的正比例式。4、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：n= a1qn-1nkqn-kaa = a( 其中 a為首項(xiàng)、 a 為已知的

11、第 k項(xiàng)， a 0)1kn5、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式： 當(dāng) q=1 時(shí)， Sn=n a1( 是關(guān)于 n 的正比例式 ) ；當(dāng) q1時(shí)，Sn=三、高中數(shù)學(xué)中有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論1、等差數(shù)列 a n 的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、 S2m-Sm、 S3m-S 2m、 S4m- S 3m、仍為等差數(shù)列。2、等差數(shù)列 a n 中，若 m+n=p+q，則3、等比數(shù)列 a n 中，若 m+n=p+q，則4、等比數(shù)列 a n 的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、 S2m-Sm、 S3m-S 2m、 S4m- S 3m、仍為等比數(shù)列。5、兩個(gè)等差數(shù)列a n 與b n 的和差的數(shù)列a n+bn 、 a n-b n 仍為等差數(shù)列。6、兩個(gè)等比數(shù)列a n 與b n 的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列a nbn 、仍為等比數(shù)列。7、等差數(shù)列 a n 的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。8、等比數(shù)列 a n 的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。9、三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,a+d,a+3d10、三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法：a/q,a,