空氣動力學(xué)-第3章

1、3 31 1 理想不可壓縮流體平面位流的基本方程理想不可壓縮流體平面位流的基本方程3 32 2 幾種簡單的二維位流幾種簡單的二維位流3 32 21 1 直勻流直勻流3 32 22 2 點源點源3 32 23 3 偶極子偶極子3 32 24 4 點渦點渦3 33 3 一些簡單的流動迭加舉例一些簡單的流動迭加舉例3 33 31 1 直勻流加點源直勻流加點源3 33 32 2 直勻流加偶極子直勻流加偶極子3 33 33 3 直勻流加偶極子加點渦直勻流加偶極子加點渦3 34 4 二維對稱物體繞流的數(shù)值解二維對稱物體繞流的數(shù)值解 本章討論怎樣求解不可壓理想流體無旋運動的規(guī)本章討論怎樣求解不可壓理想流體無

2、旋運動的規(guī)律。律。 在理想不可壓條件下歐拉方程和連續(xù)方程包括四在理想不可壓條件下歐拉方程和連續(xù)方程包括四個方程和四個未知函數(shù)（個方程和四個未知函數(shù)（u,v,w,p），理論上是可），理論上是可解的解的 由于飛行器的外形都比較復(fù)雜，要在滿足如此復(fù)由于飛行器的外形都比較復(fù)雜，要在滿足如此復(fù)雜的邊界條件下求該偏微分方程組的解析解是非雜的邊界條件下求該偏微分方程組的解析解是非常困難的，原因在于方程包含非線性項，而且方常困難的，原因在于方程包含非線性項，而且方程中速度與壓強相互耦合，需要一并求出程中速度與壓強相互耦合，需要一并求出人們發(fā)現(xiàn)在無旋條件下問題可以得到大大簡化人們發(fā)現(xiàn)在無旋條件下問題可以得到大大

3、簡化，尤其是可以將速度和壓強分開求解，這是因，尤其是可以將速度和壓強分開求解，這是因為無旋條件可使關(guān)于速度位的方程化為線性方為無旋條件可使關(guān)于速度位的方程化為線性方程，從而便于單獨求得速度位即求出速度，而程，從而便于單獨求得速度位即求出速度，而壓強可利用伯努利方程求解壓強可利用伯努利方程求解本章的思路是，先針對理想不可壓無旋流求得本章的思路是，先針對理想不可壓無旋流求得一些典型的速度位基本解，將這些基本解進(jìn)行一些典型的速度位基本解，將這些基本解進(jìn)行疊加得到滿足非常簡單邊界條疊加得到滿足非常簡單邊界條 件的流動。對復(fù)件的流動。對復(fù)雜外形的繞流，介紹用基本解進(jìn)行疊加的數(shù)值雜外形的繞流，介紹用基本解

4、進(jìn)行疊加的數(shù)值解法大意解法大意31 平面不可壓位流的基本方程平面不可壓位流的基本方程有無旋條件，就有位函數(shù)有無旋條件，就有位函數(shù) 存在，并且位函數(shù)與速度分量存在，并且位函數(shù)與速度分量之間滿足：之間滿足：平面流動的連續(xù)方程是：平面流動的連續(xù)方程是：結(jié)合兩式，得平面不可壓位流必須滿足的方程：結(jié)合兩式，得平面不可壓位流必須滿足的方程：該方程稱為該方程稱為拉普拉斯方程拉普拉斯方程，是個只與速度有關(guān)的線性方程，是個只與速度有關(guān)的線性方程，給定適當(dāng)邊界條件方程是容易求解的。，給定適當(dāng)邊界條件方程是容易求解的。ux02222yx1. 位函數(shù)位函數(shù) 及及流函數(shù)流函數(shù) 所滿足的方程所滿足的方程vy0yvxu對于

5、二維不可壓縮流動，微分形式的質(zhì)量方程可以寫為：對于二維不可壓縮流動，微分形式的質(zhì)量方程可以寫為： 0yvxuyvxu數(shù)學(xué)上這是使數(shù)學(xué)上這是使 成為某個函數(shù)成為某個函數(shù) 的全微分的的全微分的充要條件充要條件 ，即，即 udyvdxudyvdxdvx其中：uydyydxx或：或：代入無旋條件：代入無旋條件：也滿足拉普拉斯方程：也滿足拉普拉斯方程：這也是只與速度有關(guān)的線性方程，給定邊條容易求解。這也是只與速度有關(guān)的線性方程，給定邊條容易求解。位函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系稱為位函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系稱為柯西黎曼條件柯西黎曼條件：xyyx,02222yxyuyv2. 疊加原理疊加原理 拉普拉斯方程可用算子拉普拉斯方

6、程可用算子 2 2 表為表為 2 20 0。它是。它是個線性方程，可以用疊加原理求復(fù)合的解。個線性方程，可以用疊加原理求復(fù)合的解。 所謂疊加原理是說如果有所謂疊加原理是說如果有 分別滿足分別滿足拉普拉斯方程，則這些函數(shù)的線性組合也必滿足拉普拉斯方程，則這些函數(shù)的線性組合也必滿足拉普拉斯方程：拉普拉斯方程： 此外，由于速度分量與位函數(shù)之間的關(guān)系是線性此外，由于速度分量與位函數(shù)之間的關(guān)系是線性的因此也滿足疊加原理：的因此也滿足疊加原理： 而壓強與速度間關(guān)系為非線性故不滿足疊加原理而壓強與速度間關(guān)系為非線性故不滿足疊加原理nnnnuauaxaxaxu.111112,.,n nnaa.113. 邊界條

7、件邊界條件 邊界條件是在流場邊界上規(guī)定的條件，邊界通邊界條件是在流場邊界上規(guī)定的條件，邊界通常分為內(nèi)邊界和外邊界。對飛行器或物體而言，內(nèi)常分為內(nèi)邊界和外邊界。對飛行器或物體而言，內(nèi)邊界即飛行器或物體表面，外邊界為無窮遠(yuǎn)。邊界即飛行器或物體表面，外邊界為無窮遠(yuǎn)。數(shù)學(xué)上滿足拉氏方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。故要找數(shù)學(xué)上滿足拉氏方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。故要找一代表具體的定常不可壓理想位流運動，就是要找一代表具體的定常不可壓理想位流運動，就是要找一個能符合具體流動邊界條件的調(diào)和函數(shù)，求出位一個能符合具體流動邊界條件的調(diào)和函數(shù)，求出位函數(shù)或流函數(shù)之后，即可求出速度分布，然后用伯函數(shù)或流函數(shù)之后，即可求出速度分

8、布，然后用伯努利方程求解壓強分布。努利方程求解壓強分布。按照在邊界上所給條件是針對位函數(shù)自身還是位函數(shù)的按照在邊界上所給條件是針對位函數(shù)自身還是位函數(shù)的法向?qū)?shù)，邊界條件分為三種類型：法向?qū)?shù)，邊界條件分為三種類型：（1）第一邊值問題（狄利希特問題）：給出邊界上位函）第一邊值問題（狄利希特問題）：給出邊界上位函數(shù)自身值數(shù)自身值（2）第二邊值問題（諾曼問題）：給出邊界上位函數(shù)的）第二邊值問題（諾曼問題）：給出邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)值法向?qū)?shù)值（3）第三邊值問題（龐卡萊問題）：給出部分邊界上位）第三邊值問題（龐卡萊問題）：給出部分邊界上位函數(shù)自身值，部分邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)值函數(shù)自身值，部分邊界

9、上位函數(shù)的法向?qū)?shù)值氣動問題大多數(shù)屬于第二邊值問題氣動問題大多數(shù)屬于第二邊值問題將坐標(biāo)系與飛行器或物體固連，則外邊界在遠(yuǎn)離物體處，將坐標(biāo)系與飛行器或物體固連，則外邊界在遠(yuǎn)離物體處，速度為速度為 V ，內(nèi)邊界是物體表面，不允許流體穿過或表面，內(nèi)邊界是物體表面，不允許流體穿過或表面法向速度為零法向速度為零外邊界外邊界內(nèi)邊界內(nèi)邊界 n為物面法向為物面法向可以證明，拉普拉斯方程的解若在給定邊界上能滿足上可以證明，拉普拉斯方程的解若在給定邊界上能滿足上述條件，則解是唯一的述條件，則解是唯一的求不可壓理想無旋流繞物體的流動問題就轉(zhuǎn)化為求解拉求不可壓理想無旋流繞物體的流動問題就轉(zhuǎn)化為求解拉普拉斯方程的滿足給

10、定邊條的特解這一數(shù)學(xué)問題普拉斯方程的滿足給定邊條的特解這一數(shù)學(xué)問題Vx0zy0nV(1)速度位函數(shù)由速度位函數(shù)由無旋無旋條件定義，位函數(shù)值可以差條件定義，位函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動。任意常數(shù)而不影響流動。(2) 速度位函數(shù)沿著某一方向的偏導(dǎo)數(shù)等于該方向速度位函數(shù)沿著某一方向的偏導(dǎo)數(shù)等于該方向的速度分量，速度位函數(shù)沿著流線方向增加。的速度分量，速度位函數(shù)沿著流線方向增加。(3) 對于理想不可壓縮無旋流動，速度位函數(shù)滿足對于理想不可壓縮無旋流動，速度位函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)，滿足解的線性迭拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)，滿足解的線性迭加原理。加原理。(4) 速度位函數(shù)相等的點連成的線稱

11、為等位線，速速度位函數(shù)相等的點連成的線稱為等位線，速度方向垂直于等位線。度方向垂直于等位線。(5) 連接任意兩點的速度線積分等于該兩點的速度連接任意兩點的速度線積分等于該兩點的速度位函數(shù)之差。速度線積分與路徑無關(guān)，僅決定于位函數(shù)之差。速度線積分與路徑無關(guān)，僅決定于兩點的位置。對封閉曲線，速度環(huán)量為零。兩點的位置。對封閉曲線，速度環(huán)量為零。(1) 流函數(shù)由平面不可壓縮流函數(shù)由平面不可壓縮連續(xù)連續(xù)條件定義，流函數(shù)條件定義，流函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動。值可以差任意常數(shù)而不影響流動。(2) 等流函數(shù)線是流線。即等流函數(shù)線的切線方向等流函數(shù)線是流線。即等流函數(shù)線的切線方向與速度矢量方向重合。與速

12、度矢量方向重合。(3) 對于理想不可壓縮對于理想不可壓縮無旋無旋流動，流函數(shù)滿足拉普流動，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)，解也滿足疊加原理。拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)，解也滿足疊加原理。(5) 平面內(nèi)任兩點流函數(shù)的差等于通過此兩點連線的平面內(nèi)任兩點流函數(shù)的差等于通過此兩點連線的流量。流量。(4) 等流函數(shù)線與等位線正交。等流函數(shù)線與等位線正交。1KKK0:,K0:,212211故：斜率，可得由斜率，可得由vuvdyudxCuvudyvdxCABBABABAddxxdyydsnVQjdsdxidsdyn , jxiyj viuV)(xyABdsnVo 位函數(shù)位函數(shù) 和流函數(shù)和流函數(shù) 之間滿足柯西之

13、間滿足柯西-黎曼條件：黎曼條件： 速度分量與位函數(shù)和流函數(shù)之間的關(guān)系是：速度分量與位函數(shù)和流函數(shù)之間的關(guān)系是：rrrrxyyx 標(biāo)：坐極笛卡兒坐標(biāo)：rrVrrVxyvyxur , , 標(biāo)：坐極笛卡兒坐標(biāo)：32 幾種簡單的二維位流幾種簡單的二維位流321 直勻流直勻流直勻流是一種速度不變的最簡單的平行流動。其流速為直勻流是一種速度不變的最簡單的平行流動。其流速為流動是無旋的，由速度位全微分流動是無旋的，由速度位全微分積分可得位函數(shù)：積分可得位函數(shù)：又可求出流函數(shù)：又可求出流函數(shù)： 流線與等位線是正交的如圖流線與等位線是正交的如圖 bxaybyax bdyadxdcbxay cbyaxau bv

14、常用的是這樣的直勻流，它與常用的是這樣的直勻流，它與 x 軸平行，從左面遠(yuǎn)方軸平行，從左面遠(yuǎn)方流來，流速為流來，流速為 。此時此時VyVxV322 點源點源 點源是從流場上某一點有一定的流量向四面八方流開點源是從流場上某一點有一定的流量向四面八方流開去的一種流動。源可以有正負(fù)。負(fù)源（又名匯）是一去的一種流動。源可以有正負(fù)。負(fù)源（又名匯）是一種與正源流向相反的向心流動。如果把源放在坐標(biāo)原種與正源流向相反的向心流動。如果把源放在坐標(biāo)原點上，那末這流動便只有點上，那末這流動便只有 Vr，而沒有，而沒有 V 。xy位于原點的點源設(shè)半徑為設(shè)半徑為 r 處的流速是處的流速是 Vr ，那末這個源的總流量是，

15、那末這個源的總流量是流量是常數(shù)，故流速流量是常數(shù)，故流速 Vr 與半徑成反比與半徑成反比 rQVr2rrvQ2rVx、y 向的速度可分別寫為向的速度可分別寫為代入速度與位函數(shù)關(guān)系代入速度與位函數(shù)關(guān)系 可積分求位函數(shù)?？煞e分求位函數(shù)。cosrVu 2222sinyxxQryrQVvryvxu,rxrQ2222yxxQ比較簡便的是利用極座標(biāo)下位函數(shù)與速度的關(guān)系：比較簡便的是利用極座標(biāo)下位函數(shù)與速度的關(guān)系：rVrVr,由由 位函數(shù)由上式積分得：位函數(shù)由上式積分得：rQVrr2)ln(4ln222yxQrQ（注：等位線（注：等位線C 是一系列同心圓）是一系列同心圓）流函數(shù)由流函數(shù)由積分得：積分得：rr

16、xyarctgQQ22（注：流線（注：流線c1 即即c2 是一系列射線）是一系列射線）此外注意上式中此外注意上式中的值域為的值域為-2-2,2,2,但反但反正切函數(shù)的值域為正切函數(shù)的值域為-/2,/2,/2/2，故兩種表達(dá)，故兩種表達(dá)有一定區(qū)別。有一定區(qū)別。rQVr2xy如果源的位置不在坐標(biāo)原點，而在如果源的位置不在坐標(biāo)原點，而在 A（,）處，則）處，則22)()(ln2yxQxyarctgQ2相應(yīng)的速度分量為：相應(yīng)的速度分量為：2222()2()()()2()()xyQxvxxyQyvyxyuv除奇點處速度無定義之外，流除奇點處速度無定義之外，流場其他區(qū)域都是是無旋的。場其他區(qū)域都是是無旋的

17、。. p323 偶極子偶極子 等強度的一個源和一個匯，放在等強度的一個源和一個匯，放在x軸線上，源放在（軸線上，源放在（-h，0）處，匯放在（處，匯放在（0，0）處。從源出來的流量都進(jìn)入?yún)R，流動情）處。從源出來的流量都進(jìn)入?yún)R，流動情況如圖況如圖:ln)(ln22222yxyhxQ)(221Qhxyarctg1xyarctg2 其中其中1 1 、2 2 分別是點分別是點 P P 與源和匯的連線與正與源和匯的連線與正 x x 的夾角的夾角 應(yīng)用疊加原理，位函數(shù)和流函數(shù)如下應(yīng)用疊加原理，位函數(shù)和流函數(shù)如下現(xiàn)在我們考慮一種極限情況，當(dāng)現(xiàn)在我們考慮一種極限情況，當(dāng) h0 但同時但同時 Q 增大，使增大，

18、使 保持不變的極限情況。保持不變的極限情況。這時位函數(shù)變成這時位函數(shù)變成顯然等位線顯然等位線=C=C是一系列圓心在是一系列圓心在 x 軸上的圓，且都過原點。軸上的圓，且都過原點。2222202ln4),(limyxhxhyxQyxhMQh2)1ln(0(,24220limxxxyxhxQh時當(dāng)22yxxM除奇點處速度無定義之外，流除奇點處速度無定義之外，流場其他區(qū)域都是是無旋的。場其他區(qū)域都是是無旋的。求流函數(shù)：求流函數(shù)：上述位函數(shù)可寫為上述位函數(shù)可寫為:rMcos22yMxy 利用極座標(biāo)下流函數(shù)與位函數(shù)的關(guān)系：利用極座標(biāo)下流函數(shù)與位函數(shù)的關(guān)系：rr對對積分得：積分得：rMsin即：即：顯然流

19、線顯然流線=C=C是一些圓心在是一些圓心在 y 軸上軸上的圓，且均過原點。的圓，且均過原點。2cosrM兩個分速的表達(dá)式是兩個分速的表達(dá)式是合速合速要注意偶極子有軸線方向，上述布于要注意偶極子有軸線方向，上述布于 x 軸上的軸上的正負(fù)源形成的偶極子其軸線在正負(fù)源形成的偶極子其軸線在x方向，對于方向，對于指向正指向正 x 方向的偶極子，上述位函數(shù)、流函數(shù)方向的偶極子，上述位函數(shù)、流函數(shù)和速度分布都要改變符號。和速度分布都要改變符號。2222222cos)()(rMyxxyMxvxu22222sin)()2(rMyxxyMyvyv222rMvuV如果偶極子軸線和如果偶極子軸線和 x 軸成軸成角，正

20、向指向第三象限如圖所示角，正向指向第三象限如圖所示，在，在 xy 坐標(biāo)系中的位函數(shù)及流函數(shù)可寫為：坐標(biāo)系中的位函數(shù)及流函數(shù)可寫為：yxxysincossincos,xyyyxx根據(jù)二坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系：根據(jù)二坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系：2,2,2,2,yxyMyxxM代入上述位函數(shù)和流函數(shù)表達(dá)，并注意到坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時向徑不代入上述位函數(shù)和流函數(shù)表達(dá)，并注意到坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時向徑不變：變：x2+y2 = x2+y2 ，得到在，得到在 (x,y) 坐標(biāo)系中的偶極子：坐標(biāo)系中的偶極子：如果偶極子位于（如果偶極子位于（，），軸線和），軸線和 x軸軸成成角，正向指向第三象限，則角，正向指向第三象限，則 22()cos

21、()sin()()xyMxy22()cos()sin()()yxMxy 2222sincossincosyxxyMyxyxMyxxy實際旋渦包含有旋的渦核和渦核實際旋渦包含有旋的渦核和渦核外的被誘導(dǎo)的無旋流場。外的被誘導(dǎo)的無旋流場。rV rVk / rr0p渦核誘導(dǎo)流場324 點渦點渦324 點渦點渦 點渦可以看成實際旋渦的渦核直徑趨于零時的一種極點渦可以看成實際旋渦的渦核直徑趨于零時的一種極限情況，除渦所在一點外，整個平面流場是無旋的，流體限情況，除渦所在一點外，整個平面流場是無旋的，流體被點渦誘導(dǎo)繞點渦作圓周運動，流線是一些同心圓，流速被點渦誘導(dǎo)繞點渦作圓周運動，流線是一些同心圓，流速只有

22、周向速度只有周向速度 ，而沒有徑向速度，而沒有徑向速度 。繞點渦的環(huán)量繞點渦的環(huán)量是個確定的常數(shù)，例是個確定的常數(shù)，例如繞半徑為如繞半徑為 r r 的圓環(huán)作環(huán)量計算，有：的圓環(huán)作環(huán)量計算，有：式中的式中的 是個常數(shù)稱為點渦的強度，反時針方向為正。是個常數(shù)稱為點渦的強度，反時針方向為正。從而周向速度與離開中心點的距離從而周向速度與離開中心點的距離 r 成反比：成反比：VrV這與無限長渦線產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度一致。這與無限長渦線產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度一致。rV)2(rVrV2由幾何條件可立刻寫出由幾何條件可立刻寫出 u 、 v 分量：分量：sinVu2222cosyxxrxrVvxyuvV位函數(shù)可由上式代入位函

23、數(shù)可由上式代入 等后積分求出，但方便等后積分求出，但方便的還是利用極座標(biāo)關(guān)系：的還是利用極座標(biāo)關(guān)系：uxrVr2積分后得：積分后得：xyarctg22顯然等位線顯然等位線=C=C是是一系列射線一系列射線ryr2222yxy求流函數(shù)可由極座標(biāo)下流函數(shù)與位函數(shù)的柯西黎曼關(guān)系：求流函數(shù)可由極座標(biāo)下流函數(shù)與位函數(shù)的柯西黎曼關(guān)系：rr積分得：積分得：)ln(4ln222yxr顯然流線顯然流線 = C = C 是一系列同心圓，可見點渦與點源的位函是一系列同心圓，可見點渦與點源的位函數(shù)與流函數(shù)只是對調(diào)了一下（上述負(fù)號只是代表渦轉(zhuǎn)向）。數(shù)與流函數(shù)只是對調(diào)了一下（上述負(fù)號只是代表渦轉(zhuǎn)向）。如果點渦的位置不在原點

24、，而在（如果點渦的位置不在原點，而在（，），則點渦的位函），則點渦的位函數(shù)和流函數(shù)的式子分別是：數(shù)和流函數(shù)的式子分別是： 2yarctgx22ln2xy rV2 事實上沿任意形狀的圍線計算環(huán)量，值都是事實上沿任意形狀的圍線計算環(huán)量，值都是 ，只要這，只要這個圍線把點渦包圍在內(nèi)。但不包含點渦在內(nèi)的圍線，其個圍線把點渦包圍在內(nèi)。但不包含點渦在內(nèi)的圍線，其環(huán)量卻是等于零的。環(huán)量卻是等于零的。點渦是實際旋渦的一種數(shù)學(xué)近似。點渦的速度在半徑點渦是實際旋渦的一種數(shù)學(xué)近似。點渦的速度在半徑 r0 時將使時將使 V 勢必使壓強勢必使壓強 p ，這是不現(xiàn)實的，這時粘性必然要起作，這是不現(xiàn)實的，這時粘性必然要起作

25、用，因此實際的旋渦存在一個渦核，核內(nèi)流體用，因此實際的旋渦存在一個渦核，核內(nèi)流體 V與半徑成正比為有與半徑成正比為有旋流，核外為無旋流。實際渦核尺寸與粘性和渦強弱有關(guān)，一般不大旋流，核外為無旋流。實際渦核尺寸與粘性和渦強弱有關(guān)，一般不大，故數(shù)學(xué)上抽象為一個點，形成點渦模型。，故數(shù)學(xué)上抽象為一個點，形成點渦模型。)(2222222233112211IJGICDEFCDABIJGNEFCDABrrrrrrrrrrbxaybyax rQln2點源：2Q22yxxM偶極子：22yMxy 直勻流：直勻流：2點渦：rln2xy基本解位函數(shù)、流函數(shù)小結(jié)：基本解位函數(shù)、流函數(shù)小結(jié)：ab 在一個平行于在一個平行

26、于 x 軸由左向右流去的直勻流里，加一個強軸由左向右流去的直勻流里，加一個強度為度為Q的源會產(chǎn)生如圖的流動的源會產(chǎn)生如圖的流動 把坐標(biāo)原點放在源所在的地方，迭加得到的位函數(shù)是：把坐標(biāo)原點放在源所在的地方，迭加得到的位函數(shù)是：22ln4ln2),(yxQxvrQxvyxVV在在 x 軸上有一個合速度為零的點稱為駐點軸上有一個合速度為零的點稱為駐點A，令，令 即得駐點即得駐點 xA 坐標(biāo)為：坐標(biāo)為：0AAvu0Ay 兩個分速是兩個分速是此處速度為零是因為點源速度恰好與直勻流速度相互抵消。此處速度為零是因為點源速度恰好與直勻流速度相互抵消。222yxyQyvyv222yxxQvxvxuVVQxA2該

27、速度分布的特點之一是該速度分布的特點之一是 x時時，uV，v0。 我們可以把外部流動看作是在直勻流中放了一個我們可以把外部流動看作是在直勻流中放了一個BAB那樣那樣形狀的物體所造成的流動，反過來也可認(rèn)為繞該物體的流動形狀的物體所造成的流動，反過來也可認(rèn)為繞該物體的流動可以用直勻流加點源來構(gòu)造?？梢杂弥眲蛄骷狱c源來構(gòu)造。 該半無限體在該半無限體在+x無限遠(yuǎn)處，其寬度（無限遠(yuǎn)處，其寬度（y向尺寸）趨向一個漸向尺寸）趨向一個漸近值近值D。過駐點過駐點A的流線的流線BAB是一條特殊是一條特殊的流線，把流場劃分成為兩部分的流線，把流場劃分成為兩部分。外面的是直勻流繞此圍墻的流。外面的是直勻流繞此圍墻的流

28、動，里面的是源流在此圍墻限制動，里面的是源流在此圍墻限制之內(nèi)的流動。之內(nèi)的流動。 流線流線BAB的形狀可以根據(jù)流函的形狀可以根據(jù)流函數(shù)數(shù)=c 畫出來，也可以從流量關(guān)系畫出來，也可以從流量關(guān)系推算出來。由流函數(shù)表達(dá)：推算出來。由流函數(shù)表達(dá)： CQyV2由駐點坐標(biāo)（由駐點坐標(biāo)（y=0,= =) 定常數(shù)定常數(shù)c，得，得 cQ / 2 ，從而得流線，從而得流線BAB的方程為：的方程為：)(2VQy用直角坐標(biāo)表達(dá)，注意到反正切的值域為用直角坐標(biāo)表達(dá)，注意到反正切的值域為-/2,/2,/2/2：)32()41 (像限、像限、xyarctgxyarctg )41 ()(2象限、xyarctgVQy該流線與該

29、流線與 y 軸交于軸交于 處，當(dāng)處，當(dāng)VQ4VQyx2時，即流線在無窮遠(yuǎn)處趨于寬度為即流線在無窮遠(yuǎn)處趨于寬度為 的直線。的直線。 VQyD2)32()(2象限、xyarctgVQy從物理上這個結(jié)果很好理解，從源流出的流量只能限制在從物理上這個結(jié)果很好理解，從源流出的流量只能限制在圍線中，由速度分布知：圍線中，由速度分布知：0,vVux時，而源的流量為而源的流量為Q，以速度，以速度 V 流過時將占據(jù)寬度流過時將占據(jù)寬度 D=Q / V 另一方面，流線另一方面，流線BAB的方程：的方程：)(2VQy可寫為：可寫為：)(2sinQrV左邊是直勻流左邊是直勻流 V 流過高流過高 y =rsin的寬度的

30、流量，右邊則的寬度的流量，右邊則是從中心角為是從中心角為 （）中流出的流量，二者相抵消，從）中流出的流量，二者相抵消，從而得流線方程的極座標(biāo)表達(dá)為而得流線方程的極座標(biāo)表達(dá)為：)(sin2Dr 通常將壓強表為無量綱的壓強系數(shù)，其定義是當(dāng)?shù)仂o壓通常將壓強表為無量綱的壓強系數(shù)，其定義是當(dāng)?shù)仂o壓減去來流靜壓再除以來流的動壓頭（這樣得到的結(jié)果與減去來流靜壓再除以來流的動壓頭（這樣得到的結(jié)果與來流參數(shù)具體值來流參數(shù)具體值 p 、V 無關(guān)，具有通用性）：無關(guān)，具有通用性）：221VppCp 流場上的壓強可以用伯努利公式表達(dá)出來：流場上的壓強可以用伯努利公式表達(dá)出來： 得到表面壓強系數(shù)的表達(dá)為得到表面壓強系數(shù)

31、的表達(dá)為：)(2)2(222vuVpp面面2222211VVVvuCp將速度分布和表面流線幾何關(guān)系代入上式得到表面將速度分布和表面流線幾何關(guān)系代入上式得到表面壓強系數(shù)的結(jié)果為：壓強系數(shù)的結(jié)果為：Cp 沿沿 x 軸分布的曲線特點如圖：軸分布的曲線特點如圖：面2221VvuCp2sin2sinpC332 直勻流加偶極子直勻流加偶極子 設(shè)直勻流設(shè)直勻流 平行于平行于 x 軸，由左向右流。再把一個軸線軸，由左向右流。再把一個軸線指向負(fù)指向負(fù) x 的偶極子放在坐標(biāo)原點處。這時，將產(chǎn)生如圖的偶極子放在坐標(biāo)原點處。這時，將產(chǎn)生如圖繞圓的流動：繞圓的流動： 流函數(shù)是：流函數(shù)是：22yxyMyV 流動的位函數(shù)是

32、：流動的位函數(shù)是：22yxxMxVV圓的半徑可從駐點圓的半徑可從駐點A的坐標(biāo)定出，令：的坐標(biāo)定出，令：02422rMxrMVx解得：解得：從而位函數(shù)和流函數(shù)分別寫為：從而位函數(shù)和流函數(shù)分別寫為：sin)(2rarVcos)()(222rarVxraxV22/aVMr =0 是一條特殊的流線，這時是一條特殊的流線，這時 sin=0 ，即，即 或或 ，這就是這就是 x 軸線，還有圓表面：軸線，還有圓表面：r =a。00兩個分速的式子是：兩個分速的式子是：2sin)2cos1 (2222raVyvraVxu用在用在 的圓上時，有：的圓上時，有：ar 2sin)2cos1 (VvVu將上述速度分布代入

33、壓強系數(shù)可得：將上述速度分布代入壓強系數(shù)可得：222221sin411VVVppCp該壓強系數(shù)的分布特點如圖：該壓強系數(shù)的分布特點如圖：繞圓流動在表面上只有周向速度，沒有徑向速度：繞圓流動在表面上只有周向速度，沒有徑向速度：sin2022VvuVvvr可見在可見在/2 /2 處處速度達(dá)到最大為速度達(dá)到最大為 2V 。 達(dá)朗培爾疑題達(dá)朗培爾疑題達(dá)朗培爾（達(dá)朗培爾（DAlembert，18世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家）提出，在理想不可壓流世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家）提出，在理想不可壓流中，任何一個封閉物體的繞流，其阻力都是零。這個結(jié)論不符合事實。這中，任何一個封閉物體的繞流，其阻力都是零。這個結(jié)論不符合事實。這個矛

34、盾多少耽誤了一點流體力學(xué)的發(fā)展，那時人們以為用無粘的位流去處個矛盾多少耽誤了一點流體力學(xué)的發(fā)展，那時人們以為用無粘的位流去處理實際流動是沒有什么價值的。理實際流動是沒有什么價值的。后來才知道，這樣撇開粘性來處理問題，是一種很有價值的合乎邏輯的抽后來才知道，這樣撇開粘性來處理問題，是一種很有價值的合乎邏輯的抽象，它能使我們把影響流動的各種因素分開來看清楚。譬如，早期由經(jīng)驗象，它能使我們把影響流動的各種因素分開來看清楚。譬如，早期由經(jīng)驗得出來的良好翼型，最大的升阻比不過是幾十比一，后來在位流理論指導(dǎo)得出來的良好翼型，最大的升阻比不過是幾十比一，后來在位流理論指導(dǎo)下，設(shè)計出來的翼型的最大升阻比竟達(dá)三

35、百比一。這就是無粘抽象的指導(dǎo)下，設(shè)計出來的翼型的最大升阻比竟達(dá)三百比一。這就是無粘抽象的指導(dǎo)意義意義 。xy333 直勻流加偶極子加點渦直勻流加偶極子加點渦 在直勻流加偶極子的流動之上再在圓心處加一個強度為在直勻流加偶極子的流動之上再在圓心處加一個強度為（ ）的點渦（順時針轉(zhuǎn)為負(fù)），將形成如下圖的流動）的點渦（順時針轉(zhuǎn)為負(fù)），將形成如下圖的流動 這時位函數(shù)和流函數(shù)分別是：這時位函數(shù)和流函數(shù)分別是：21),(2xravyxVryravyxln21),(2V在極坐標(biāo)下，兩個分速是：在極坐標(biāo)下，兩個分速是： 仍是一條流線。在這個圓上：仍是一條流線。在這個圓上：ar 可見由于引入環(huán)量可見由于引入環(huán)量，

36、在，在/ /2 2 處的最大處的最大速度將大于速度將大于 2V 。cos122ravrvrrravrv2sin1122VV0rv 2sin2vva V224sssyaxVy或?qū)懗鲴v點的直角坐標(biāo)表達(dá)：或?qū)懗鲴v點的直角坐標(biāo)表達(dá)： ayss1sin0V 駐點的位置現(xiàn)在不在駐點的位置現(xiàn)在不在= =和和=0=0處了，其位置處了，其位置可從可從 定出來：定出來：aVs4sinxy s在第三和第四象限內(nèi)，前后駐點對在第三和第四象限內(nèi)，前后駐點對 y 軸是對稱的。這軸是對稱的。這個角度離開個角度離開和和0 的多少決定于環(huán)量的多少決定于環(huán)量 對對 4aV 之比值；之比值； 越大，駐點越往下移。越大，駐點越往下移

37、。 當(dāng)點渦強度變大到當(dāng)點渦強度變大到 = 4= 4aV V 時，時，s = /2 /2 ，二，二個個駐點在駐點在/2/2處重合。處重合。 當(dāng)點渦強度進(jìn)一步增大使當(dāng)點渦強度進(jìn)一步增大使 4 4aV V 時，駐點將離時，駐點將離開圓柱表面，且位于圓柱之下。開圓柱表面，且位于圓柱之下。aVs4sinxy下圖給出幾種不同點渦強度下駐點位置圖畫：下圖給出幾種不同點渦強度下駐點位置圖畫：顯然，有環(huán)量的繞圓流動其左右仍是對稱的，但上下已不顯然，有環(huán)量的繞圓流動其左右仍是對稱的，但上下已不對稱了，因此在垂直于來流的對稱了，因此在垂直于來流的 y 方向合力就不會為零。方向合力就不會為零。垂直于來流方向的空氣動力

38、分力稱為升力，可以通過沿圓垂直于來流方向的空氣動力分力稱為升力，可以通過沿圓柱表面壓強積分（利用伯努利方程將壓強表為速度分布后柱表面壓強積分（利用伯努利方程將壓強表為速度分布后積分求得），或者利用動量方程求出合力。積分求得），或者利用動量方程求出合力。 334 庫塔庫塔-儒可夫斯基定理儒可夫斯基定理下面從動量定理出發(fā)計算繞圓柱的有環(huán)量流動的升力。下面從動量定理出發(fā)計算繞圓柱的有環(huán)量流動的升力。以原點為中心，畫一個半徑為以原點為中心，畫一個半徑為 r1 很大的控制面很大的控制面 S，整個控制，整個控制面還包括圓的表面面還包括圓的表面 S1 以及連接以及連接 S 和和 S1 的兩條割線的兩條割線(

39、第二類控第二類控制體制體) 。注意這兩條割線上的壓力和動量注意這兩條割線上的壓力和動量進(jìn)出都對消了。進(jìn)出都對消了。S1 上的壓力積分是物體所受的合上的壓力積分是物體所受的合力。受力情況左右對稱，不會有力。受力情況左右對稱，不會有X 方方向合力。僅計算向合力。僅計算 Y 方向合力方向合力 L 即可。即可。設(shè)徹體力略去不計、流動定常，根據(jù)動量方程圓柱所受到設(shè)徹體力略去不計、流動定常，根據(jù)動量方程圓柱所受到的升力的升力 L 可表為：可表為：dSVvdSynpLSsn)()(),cos(第一個積分中的第一個積分中的 p 按伯努利公式用速度來表達(dá)，結(jié)果得：按伯努利公式用速度來表達(dá)，結(jié)果得： 在在 r1

40、大圓上，大圓上， ，sin),cos(yndrdS12222112sin2dVvrdprLr第二個積分得：第二個積分得： 2122/2/2212121sin1ravdravVV212212122121121cos2cos2sin1222ravdrravravrVVV結(jié)果與結(jié)果與 r1大小無關(guān)，總之合力大小無關(guān)，總之合力 L 等于來流的密度等于來流的密度乘速度乘速度 V 再乘以環(huán)量再乘以環(huán)量 。方向。方向等于把直勻流的指向逆著環(huán)流轉(zhuǎn)等于把直勻流的指向逆著環(huán)流轉(zhuǎn)/2，稱，稱為升力，該結(jié)果稱為為升力，該結(jié)果稱為庫塔庫塔-儒可夫斯基升力定理儒可夫斯基升力定理。VraraVL2122121121所以所以

41、: VL考慮到速度、環(huán)量和升力之間的向量關(guān)考慮到速度、環(huán)量和升力之間的向量關(guān)系，升力定理可寫為：系，升力定理可寫為：VL 只要是封閉物體，代表其作用的正負(fù)源強度總和必須等只要是封閉物體，代表其作用的正負(fù)源強度總和必須等于零，在遠(yuǎn)離物體的地方其作用和一個偶極子沒有什么區(qū)別于零，在遠(yuǎn)離物體的地方其作用和一個偶極子沒有什么區(qū)別,說明物形對升力沒有直接的關(guān)系，關(guān)鍵在于必須有繞物體的說明物形對升力沒有直接的關(guān)系，關(guān)鍵在于必須有繞物體的環(huán)量存在。有了環(huán)量又有一個直勻流，便有了升力。環(huán)量存在。有了環(huán)量又有一個直勻流，便有了升力。 環(huán)量之所以能產(chǎn)生一個環(huán)量之所以能產(chǎn)生一個 Y 向的合力，也可以從圓柱體向的合力

42、，也可以從圓柱體上的壓力分布直接看到。其中有環(huán)量和無環(huán)量繞流情況作上的壓力分布直接看到。其中有環(huán)量和無環(huán)量繞流情況作了對比。了對比。 無環(huán)量時，上半圓（無環(huán)量時，上半圓（由由至至0）上的壓力分布和下半圓（）上的壓力分布和下半圓（由由至至2）上的壓力分布對稱，結(jié)果是合力為零。）上的壓力分布對稱，結(jié)果是合力為零。有環(huán)量時，上半圓上的負(fù)壓遠(yuǎn)有環(huán)量時，上半圓上的負(fù)壓遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過下半圓上的負(fù)壓，所以遠(yuǎn)超過下半圓上的負(fù)壓，所以有一個向上的合力，即升力。有一個向上的合力，即升力。這個力的來源主要靠上半圓上這個力的來源主要靠上半圓上的吸力。的吸力。34 二維對稱物體繞流的數(shù)值解二維對稱物體繞流的數(shù)值解 下面用解二

43、維對稱物體繞流的例子來說明奇點疊加數(shù)值下面用解二維對稱物體繞流的例子來說明奇點疊加數(shù)值解法的應(yīng)用。無迎角的對稱物體沒有升力，根據(jù)上述分解法的應(yīng)用。無迎角的對稱物體沒有升力，根據(jù)上述分析和演示，提示我們把直勻流和分布的偶極子（或總強析和演示，提示我們把直勻流和分布的偶極子（或總強度為零的分布的點源和點匯，無環(huán)量）疊加起來，得到度為零的分布的點源和點匯，無環(huán)量）疊加起來，得到組合流動組合流動對稱封閉物體繞流。對稱封閉物體繞流。 設(shè)直勻流速度為設(shè)直勻流速度為 V ，在，在 x 軸上軸上(a,b) 范圍內(nèi)，連續(xù)分布范圍內(nèi)，連續(xù)分布單位長度內(nèi)強度設(shè)為單位長度內(nèi)強度設(shè)為 m（x）的偶極子。稱為偶極子密）的

44、偶極子。稱為偶極子密度。度。 該組合流動對任一空間點該組合流動對任一空間點 p(x,y) 處的流函數(shù)為：處的流函數(shù)為： dyxymyvba22V 對這種無升力物體的外形可以用零流線來表示，改變不對這種無升力物體的外形可以用零流線來表示，改變不同的偶極子密度分布，可以獲得不同形狀的封閉物體。同的偶極子密度分布，可以獲得不同形狀的封閉物體。 由流函數(shù)與速度的關(guān)系確定速度分布，由速度與壓強的由流函數(shù)與速度的關(guān)系確定速度分布，由速度與壓強的關(guān)系即伯努利方程確定壓強分布關(guān)系即伯努利方程確定壓強分布 。 對于實際問題，往往是給定物體的外形來確定其流動的對于實際問題，往往是給定物體的外形來確定其流動的特性。特性。 待求方程是一個積分方程，求它的解是比較困難的，但待求方程是一個積分方程，求它的解是比較困難的，但是隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，可以用數(shù)值方法比較迅速地是隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，可以用數(shù)值方法比較迅速地獲得這種方程的有一定準(zhǔn)確度的數(shù)值解。獲得這種方程的有一定準(zhǔn)確度的數(shù)值解。二維對稱物體繞流數(shù)值解法步驟二維對稱物體繞流數(shù)值解法步驟1. 首先，我們把偶極子分布區(qū)域分成等寬度的首先，我們把偶極子分布區(qū)域分成等寬度的 n 段，設(shè)每段，設(shè)每段的寬度為段的寬度為，段數(shù)，段數(shù) n 可根據(jù)計算機容量及結(jié)果的準(zhǔn)可根據(jù)計算機容量及結(jié)果的準(zhǔn)確度要