矩陣的初等變換與線性方程PPT課件

1、第1頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課（1）交換行次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個行；（3）一個行加上另一個行的k倍 同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)說明:1.由單位矩陣由單位矩陣 E 經(jīng)一次經(jīng)一次初等變換初等變換，得到的矩陣稱為，得到的矩陣稱為初等初等矩陣矩陣。2.初等變換的逆變換仍為初等變換初等變換的逆變換仍為初等變換, , 且變換類型相同且變換類型相同3.3.4.行階梯形矩陣行階梯形矩陣( (行最簡形矩陣行最簡形矩陣) )A初等變換B. BA標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形總總可可經(jīng)經(jīng)過過初初等等變變換換化化為為矩矩陣陣 Anm nmrOOOEF 5.5.第2頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課矩陣秩的概

2、念矩陣秩的求法(1)(1)利用定義利用定義 (即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));(2)(2)初等變換法初等變換法(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).( )( )A BR AR B 不等于零的子式的最高階數(shù)第3頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課有解的判定條件有無窮多解. .非齊次線性方程組bAx 齊次線性方程組0 Ax nAR ;0只只有有零零解解 Ax nAR .0有有非非零零解解 Ax;有有唯唯一一解解bAx ( )( )R AR Bn ( )( )R AR Bn Axb 解法系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是

3、否有解若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xa xa xb 線性方程組第4頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課 AE 1EA 初等行變換AE 初等列變換1EA 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù))注意注意用初等行變換求逆矩陣時，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換同樣地，用初等列變換求逆矩陣時，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換注意注意在求矩陣的秩時，初等行、列變換可以同時兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形第

4、5頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課一、求矩陣的秩一、求矩陣的秩二、求解線性方程組二、求解線性方程組三、求逆矩陣的初等變換法三、求逆矩陣的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法第6頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課一、求矩陣的秩一、求矩陣的秩求矩陣的秩有下列基本方法求矩陣的秩有下列基本方法（）計算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的子式開始，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一個子式，則這個子式的階數(shù)就是矩陣的秩（）用初等變換即用矩陣的初等行（或列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個數(shù)，而初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩陣中非零行（或列）的個數(shù)就是原矩

5、陣的秩第一種方法當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時，計算量很大，第第一種方法當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時，計算量很大，第二種方法則較為簡單實(shí)用二種方法則較為簡單實(shí)用第7頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課例例求下列矩陣的秩.34147191166311110426010021 A解解對 施行初等行變換化為階梯形矩陣A 34147191166311110426010021A 3514721015639010426010021,00000000005213010021B . 2)()(, BRAR因此因此注意注意在求矩陣的秩時，初等行、列變換可以同時兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形第8頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課二、

6、求解線性方程組二、求解線性方程組當(dāng)方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)不相同時，一般用初等行變換求方程的解當(dāng)方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相同時，求線性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換法和克萊姆法則第9頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課例例求非齊次線性方程組的通解)1(.2255,1222,132,123,1323214321432143214321 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解對方程組的增廣矩陣 進(jìn)行初等行變換，使其成為行最簡單形B 2025511222111321112311321B1323433540255202231114530200000r rrrr r124252202005520223

7、1111010000000r rr rr r12341221010011020231110000000000rrrr r 00000000001560002110001011221332rrrrr 00000000006165100616701061650016)1(6)1(631323rrrrr第10頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課解解對方程組的增廣矩陣 進(jìn)行初等行變換，使其成為行最簡單形B 2025511222111321112311321B 000002035411132202552045331323425rrrrrrrr 00000001011113220255002022124rrrr 00

8、000000001113202011001012213214rrrrr 00000000001560002110001011221332rrrrr 00000000006165100616701061650016)1(6)1(631323rrrrr.,16567650616161 )1(,43214取任意常數(shù)取任意常數(shù)的通解是的通解是可得方程組可得方程組令自由未知量令自由未知量kkxxxxxkx 由此可知，而方程組(1)中未知量的個數(shù)是，故有一個自由未知量.3)()( BRAR4 n第11頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課 . 0323, 0, 022, 04321432143214321xaxxxxx

9、axxxxxxxxxx例例 當(dāng)取何值時，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解a解法一解法一系數(shù)矩陣的行列式為AaaA32311121211111 3050212010101111 aa2000010010101111 aa)2)(1( aa., 0,21方程組有非零解方程組有非零解時時或者或者當(dāng)當(dāng) Aaa:,1化成最簡形化成最簡形把系數(shù)矩陣把系數(shù)矩陣時時當(dāng)當(dāng)Aa 10000000001001011323111121211111.,01014321為任意常數(shù)為任意常數(shù)kkxxxxx 從而得到方程組的通解 00000300101011112323121121211111,2化為化為之變換可

10、把之變換可把由計算由計算時時當(dāng)當(dāng)AAa 0000010010100001.,1010 4321為為任任意意常常數(shù)數(shù)為為從從而而得得到到方方程程組組的的通通解解kkxxxxx 第12頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課 . 0323, 0, 022, 04321432143214321xaxxxxxaxxxxxxxxxx例例 當(dāng)取何值時，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解a aaA32311121211111 3050212010101111aa解法二解法二用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形A., 4)(,21解解可可仿仿照照解解法法一一求求出出它它的的非非零零解解此此時時方方程程組組有有時時或或者

11、者當(dāng)當(dāng) ARaa 2000010010101111aa第13頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課三、求逆矩陣的初等變換法三、求逆矩陣的初等變換法.,)(,1AEEAEAA 變變成成了了就就原原來來的的時時變變成成當(dāng)當(dāng)把把施施行行初初等等行行變變換換只只需需對對分分塊塊矩矩陣陣的的逆逆矩矩陣陣要要求求可可逆逆矩矩陣陣.,1AEEAEA 就就變變成成了了原原來來的的時時變變成成當(dāng)當(dāng)把把施施行行初初等等列列變變換換或或者者對對分分塊塊矩矩陣陣第14頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課例例求下述矩陣的逆矩陣 111211120A解解.),(施行初等行變換施行初等行變換作分塊矩陣作分塊矩陣EA 1001110102110011

12、20 10011100112001021121rr 11010000112001021113rr 11010011102001021132rr 11010011102021001131)2(rr 110100212121010210011212r 11010021212101025232100121) 1(rr.1102121212523211 A注意注意用初等行變換求逆矩陣時，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換同樣地，用初等列變換求逆矩陣時，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換第15頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課四、解矩陣方程的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法BAX )1()(BA)(1

13、BAE 初初等等行行變變換換BAX1 BABXA )2( ABE1初初等等列列變變換換BAX1 )(BATT)(1BAETT 初初等等行行變變換換ABX1 BAXTTT)(1 或者第16頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課例例.,2,410011103 XXAAXA求矩陣求矩陣且且設(shè)設(shè) 解解,2XAAX ,2100111012 EA又又,)2(AXEA 1002100100110011012AEA由于由于,322100234010225001 初等行變換初等行變換.322234225 X第17頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課一、填空題一、填空題1 1若元線性方程組有解，且其系數(shù)矩陣的秩為，則當(dāng)時，若元線性方程組有

14、解，且其系數(shù)矩陣的秩為，則當(dāng)時，方程組有唯一解；當(dāng)時，方程組有無窮多解方程組有唯一解；當(dāng)時，方程組有無窮多解2 2齊次線性方程組齊次線性方程組 0302032321321xkxxxxxkxx只有零解，則應(yīng)滿足的條件是只有零解，則應(yīng)滿足的條件是nrk的通解為的通解為則則設(shè)設(shè)0,111111111 . 3 AXA4 4線性方程組線性方程組 515454343232121axxaxxaxxaxxaxx有解的充要條件是有解的充要條件是第18頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課000111015.22011100A矩陣的秩是二、計算題二、計算題.,. 1確定矩陣的秩確定矩陣的秩值的范圍值的范圍討論討論 068650

15、35322024631543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx2 2求解下列線性方程組求解下列線性方程組 342231771110441132161015122111 第19頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課 4423321321321bxxxxaxxxaxx有唯一解、無解或有無窮多解？在有無窮多解時，求其通解有唯一解、無解或有無窮多解？在有無窮多解時，求其通解線線性性方方程程組組取取何何值值時時,. 3ba 554931232362323325432154321432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx三、利用矩陣的初等變換，求下列方陣的逆矩陣三、利用矩陣的初等變換，求下列方陣的逆矩陣,011012111. 1 1111111111111111. 2第20頁/共23頁習(xí)習(xí)題題課課123453 1.,; 2.; 3.;5 4.0; 5.2.rn rnkaaaaa一、零解; 2,3; 3,3)1( . 1 秩為秩為時時當(dāng)當(dāng)秩為秩為時時當(dāng)當(dāng)二、二、 . 2,0; 4,0)2( 秩為秩為時時當(dāng)當(dāng)秩為秩為時時當(dāng)當(dāng) ;1004541010474300