高考數(shù)學(xué)數(shù)列題型之?dāng)?shù)列與不等式交匯的綜合題

1、數(shù)列與不等式交匯的綜合題例 1:已知數(shù)列 a 滿足.an an 11 an21(n N *)nn2(1) 若數(shù)列 an 是以常數(shù) a1 首項(xiàng) , 公差也為 a1 的等差數(shù)列 , 求 a1 的值 ;(2)若 a01111對(duì)任意 nN, 求證：anann2都成立；21(3)若 a01n1ann 對(duì)任意 nN都成立 ., 求證：n2211解 (1)由 anana2n1 (nN) 得： a1a1(n212) a12n2n即 a1( n21) 2 a12 ，求得 a10n（2）由 anan 10 知 anan 112 an an 1 ，n兩邊同除以 anan 1 ，得111n2an1an（3） 11(

2、11) (11 )( 11 )a0ana0a1a1 a2an 1an111111112232n212 23(n 1)n1111111(11)()()()(n1)n23344521，將 a01n ；n代入，得 an21n1an 1n 1anan 12an 1n2 a n 1n2 an 1an 1n2n21ananan 112 an 1n2n2annnn111111an 1ann2n 1 n n 111( 11) (11 )( 11 )a1ana1a2a2a3an 1an11111111而 a13()()()2 n 1，2 33 4n n 14151n2n1an6n1 n1an2n由知，命題成立

3、.例 2: 設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ， a1 1, anSn2(n1) 。n（ 1）求證：數(shù)列 an 為等差數(shù)列，并分別求出an 、 Sn 的表達(dá)式；（ 2）設(shè)數(shù)列 1 的前 n 項(xiàng)和為 Tn ，求證：1Tn1；54an an 1（ 3）是否存在自然數(shù)S2S3Sn( n1)22009 ？若存在，求出n,使得 S13n2n 的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。又易知 Tn 單調(diào)遞增，故 Tn1，得11T1Tn455(3) 由 Snnan2n(n 1) 得 Sn2n1nS1S2S3Sn( n 1)21 3 5( 2n 1) ( n 1)223n= 2n 1 13 分由 2n12009，得 n

4、=1005,即存在滿足條件的自然數(shù)n=1005.例 3 已知數(shù)列an 中， a112 時(shí)，其前 n 項(xiàng)和 S 滿足 an2Sn2，當(dāng) n，3n2Sn 1(1) 求 Sn 的表達(dá)式及 liman2的值；nSn(2) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(3) 設(shè) bn11nN 且 n2 時(shí)， an bn 。(2n1)3(2n，求證：當(dāng)1)3解：（ 1） anSnSn 12Sn2Sn 1Sn2Sn Sn 1112SnSn2(n 2)1Sn 1所以1是等差數(shù)列。則 Sn1。Sn2n 1limanlim222 。22Sn12lim Sn1nSnnn（2）當(dāng) n2 時(shí)， aSS112，nnn 12n12n14n2

5、11 n13綜上， an。214n2 n 2（3）令 a1, b1，當(dāng) n2 時(shí)，有 0 ba12n2n311等價(jià)于求證1111。32n12n132n12n1當(dāng) n2時(shí)， 0111, 令 f xx2x3 ,0 x1,2n33fx2x3x22x(13 x)2x(131 )2x(13 )0 ，2232則 fx在 (0,1 遞增。3又 011111 ，2n2n3所以 g(1)g(1), 即 anbn3 2n3 2n11例 4 已知數(shù)列an 各項(xiàng)均不為0，其前 n 項(xiàng)和為 Sn ，且對(duì)任意 nN* 都有 (1p) Snppan（ p 為大于 1 的常數(shù)），記f (n)1 C1na1Cn2 a2Cnn

6、an2n Sn(1)求 an ；(2)試比較 f (n1) 與 p1f (n) 的大?。?n N *）；2 p2n1(3)求證： (2 n1) f (n) 剟 f (1)f (2)f (2n1)p1 1p 1，（ nN* ）p12 p解： (1) (1p)Snp pan ， (1 p)Sn 1p pan 1 ，得(1p)an1pan1pan ，即 an 1pan 在中令 n1 ，可得 a1p an是首項(xiàng)為 a1p ，公比為 p 的等比數(shù)列， anp n (2) 由(1) 可得p(1p n )p ( p n1)Snpp1112n12 2nnnn1 Cn a1Cn a2Cn an1 pCnp Cn

7、Cn p (1 p) ( p 1) f (n)1 C1n a1Cn2 a2Cnn anp 1 ( p 1)n，2n Sp2n ( p n1)nf (n1)p1( p 1)n1p2n 1 ( pn11)而 p 1f (n)p1( p1)n1，且 p1 ，2 pp2n 1 ( pn 1p) p n 11 p n 1p 0 ， p 1 0 f (n1)p1f (n) ，（ nN*）2 p例5數(shù)列：滿足( ) 設(shè)，求證是等比數(shù)列；( ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 ;（）設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證 :解： ()由得，即，是以為公比的等比數(shù)列() 又即，故（）又例 6 給定正整數(shù)和正數(shù)，對(duì)于滿足條件的所有無(wú)窮等差數(shù)

8、列，試求的最大值，并求出取最大值時(shí)的首項(xiàng)和公差解：設(shè)公差為，則又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)數(shù)列首項(xiàng)，公差時(shí)，的最大值為例 7 已知數(shù)列 an滿足 a1=5，a2=5，an+1=an+6an 1（ n 2，n N* ），若數(shù)列是等比數(shù)列 .（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）求證：當(dāng)k 為奇數(shù)時(shí)，；（）求證：得=2 或=3當(dāng)=2 時(shí)，可得為首項(xiàng)是，公比為3 的等比數(shù)列，則當(dāng)= 3 時(shí)，為首項(xiàng)是，公比為 2 的等比數(shù)列，得，（注：也可由利用待定系數(shù)或同除2n+1 得通項(xiàng)公式）（）當(dāng)k 為奇數(shù)時(shí)，（）由（）知k 為奇數(shù)時(shí)，當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，=例 8 如圖，把正分成有限個(gè)全等的小正三角形，且

9、在每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)上都放置一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使得任意兩個(gè)相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對(duì)頂點(diǎn)上實(shí)數(shù)的乘積相等設(shè)點(diǎn)A 為第一行，BC 為第 n 行，記點(diǎn) A 上的數(shù)為，第 i 行中第 j 個(gè)數(shù)為若（1）求；（ 2）試求第n 行中第 m 個(gè)數(shù)的表達(dá)式（用 n、 m 表示）；（ 3）記，求證：.解： （ 1）（ 2）（ 3）當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，則又所以例9 已知，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，它滿足條件.數(shù)列中，·.（ 1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（ 2）若對(duì)一切都有，求的取值范圍 .解：（ 1），當(dāng)時(shí)，.當(dāng)2時(shí)，=，此時(shí)··=·，=+設(shè)+，·6分（ 2）由可得當(dāng)時(shí)，由，

10、可得對(duì)一切都成立，此時(shí)的解為.當(dāng)時(shí)，由可得對(duì)一切都成立，此時(shí)的解為.由，可知對(duì)一切，都有的的取值范圍是或.例10 已知正項(xiàng)數(shù)列中，點(diǎn)在拋物線上；數(shù)列中，點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)，以方向向量為的直線上。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，問(wèn)是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，說(shuō)明理由；（）對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立，求正數(shù)的取值范圍。解：（）將點(diǎn)代入中得（）（）由例 11 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論解： （）由得:時(shí)，是等比數(shù)列，得（）由和得 10 分當(dāng)或時(shí)有，所以當(dāng)時(shí)有那么同理可得：當(dāng)時(shí)有，所以當(dāng)時(shí)有綜上：當(dāng)時(shí)有；當(dāng)時(shí)有例12已

11、知數(shù)列中，其前項(xiàng)和滿足.令.（ ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，求證：（）；（ ）令（），求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有的值：對(duì)于任意正整數(shù)，都有；對(duì)于任意的，均存在，使得時(shí)，.解：（）由題意知即檢驗(yàn)知、時(shí)，結(jié)論也成立，故.（）由于故.（）（）當(dāng)時(shí)，由（）知：，即條件滿足；又，.取等于不超過(guò)的最大整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，. 9（）當(dāng)時(shí)，.由（）知存在，當(dāng)時(shí)，故存在，當(dāng)時(shí)，不滿足條件.（）當(dāng)時(shí)，.取，若存在，當(dāng)時(shí)，則.矛盾.故不存在，當(dāng)時(shí)，. 不滿足條件 .綜上所述：只有時(shí)滿足條件，故.例 13 已知數(shù)列滿足（1）求；（ 2）已知存在實(shí)數(shù)，使為公差為的等差數(shù)列，求的值；（3）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.解：（

12、1），由數(shù)列的遞推公式得，（ 2）=數(shù)列為公差是的等差數(shù)列 .由題意，令，得（ 3）由（ 2）知，所以此時(shí)=，=>例14已知數(shù)列,（ ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（）當(dāng)時(shí),求證 :（ ）若函數(shù)滿足：求證：解：(1),兩邊加得 :,是以2為公比,為首項(xiàng)的等比數(shù)列. 由兩邊減得:是以為公比 ,為首項(xiàng)的等比數(shù)列.- 得 :所以 ,所求通項(xiàng)為5 分(2) 當(dāng)為偶數(shù)時(shí) ,當(dāng)為奇數(shù)時(shí) ,又為偶數(shù)由(1) 知 ,（3）證明：又例 15設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈 n，記 Dn 內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為f(n)(n N*).（ 1 ）求 f(1) 、 f(2) 的值及 f(n) 的表

13、達(dá)式；（ 2 ）設(shè) b n =2 n f(n) ， S n 為 b n 的前 n 項(xiàng)和，求 S n ；（ 3 ）記，若對(duì)于一切正整數(shù)n，總有 T n m 成立，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍 .（ 2 ）由題意知 :bn=3n · 2 nS n=3 · 21 +6 · 2 2+9 · 23 + +3(n 1) ·2 n 1+3n · 2 n 2S n=3 · 2 2+6 · 23 + +3(n 1) · 2n+3n · 2n+1 S n=3 · 21 +3 · 22+3 ·

14、2 3+ 3· 2n 3n · 2n+1=3 （ 2+2 2+ +2 n ） 3n · 2 n+1=3 ·=3(2 n+1 2) 3n n+1 S n=(3 3n)2 n+1 6Sn=6+(3n 3)2 n+1（ 3 ） T 1<T 2=T 3 >T 4 > >T n故 T n 的最大值是T2=T 3 = m 。例 16 (2009陜西卷理 )已知數(shù)列滿足，.猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（)證明：。證明（ 1）由由猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng) n=1 時(shí)，已證命題成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k 時(shí)命題成立，即易

15、知，那么=即也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1 時(shí)命題也成立，結(jié)合（1）和（ 2）知，命題成立（2）當(dāng) n=1 時(shí)，結(jié)論成立當(dāng)時(shí)，易知例 17 已知函數(shù)（I ）求（II ）已知數(shù)列滿足, 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 ;()求證:.解:() 因?yàn)樗栽O(shè) S=（1）S= .(2)(1)+(2)得 :=, 所以 S=3012() 由兩邊同減去1, 得所以,所以,是以 2 為公差以為首項(xiàng)的等差數(shù)列,所以因?yàn)樗运?gt;例 18過(guò)點(diǎn) P（ 1， 0）作曲線的切線，切點(diǎn)為M，設(shè) M 在 x 軸上的投影是點(diǎn)11P 。又過(guò)點(diǎn) P 作曲線 C 的切線，切點(diǎn)為M，設(shè) M 在 x 軸上的投影是點(diǎn)P ，。依此下去，11222得到一系列

16、點(diǎn)M1，M2，Mn，設(shè)它們的橫坐標(biāo)a1，a2，an，構(gòu)成數(shù)列為。（ 1）求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（ 2）求證：；（ 3）當(dāng)?shù)那?n 項(xiàng)和 S 。n解：（ 1）對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得的切線方程是當(dāng) n=1 時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)P（ 1， 0），即 0當(dāng) n>1 時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)，即 0所以數(shù)列所以數(shù)列（ 2）應(yīng)用二項(xiàng)公式定理，得（3）當(dāng)，同乘以兩式相減，得所以例 19 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。（I ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II ）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。已知正實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。解：（）當(dāng)時(shí)，又?jǐn)?shù)列成等比數(shù)

17、列，其首項(xiàng)，公比是（）由（）知=又當(dāng)當(dāng)（）由（）知一方面，已知恒成立，取n 為大于 1 的奇數(shù)時(shí)，設(shè)則>對(duì)一切大于1 的奇數(shù) n 恒成立只對(duì)滿足的正奇數(shù)n 成立，矛盾。另一方面，當(dāng)事實(shí)上，對(duì)任意的正整數(shù)時(shí)，對(duì)一切的正整數(shù)k，有n 都有當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，設(shè)則<當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，設(shè)則<對(duì)一切的正整數(shù)n，都有綜上所述，正實(shí)數(shù)的最小值為4例 20 已知數(shù)集序列 1, 3, 5, 7, 9,11, 13, 15, 17, 19, ,其中第 n 個(gè)集合有 n 個(gè)元素，每一個(gè)集合都由連續(xù)正奇數(shù)組成，并且每一個(gè)集合中的最大數(shù)與后一個(gè)集合最小數(shù)是連續(xù)奇數(shù)，( ) 求第 n 個(gè)集合中最小數(shù) an

18、 的表達(dá)式；（）求第 n 個(gè)集合中各數(shù)之和 Sn 的表達(dá)式；（）令f(n)=，求證： 2解 :( ) 設(shè)第n 個(gè)集合中最小數(shù)an , 則第個(gè)集合中最小數(shù),又第個(gè)集合中共有個(gè)數(shù) , 且依次增加 2 ,即,相加得,即得.又,.（）由 ()得,從而得.（）由（）得, ,又當(dāng)2 時(shí),.2.例 21 首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足（I ）證明：若為奇數(shù)，則對(duì)一切都是奇數(shù)；（II ）若對(duì)一切都有，求的取值范圍 .解：（ I ）已知是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任何，都是奇數(shù)。（II ）（方法一）由知，當(dāng)且僅當(dāng)或。另一方面，若則；若，則根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，綜合所述，對(duì)一切都有的充要條件是或。（方法二）由得于是或。因?yàn)樗运械木笥?0，因此與同號(hào)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，與同號(hào)。因此，對(duì)一切都有的充要條件是或。例 22 各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，且對(duì)滿足的正整數(shù)都有（1）當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng)（2）證