圓錐曲線知識要點及結(jié)論個人總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備精品知識點圓錐曲線知識要點及重要結(jié)論一、橢圓1 定義 平面內(nèi)到兩定點F1 , F2 的距離的和等于常數(shù)2a( 2aF1 F2 ) 的點 P 的軌跡叫做橢圓. 若 2aF1F2 ，點P 的軌跡是線段 F1F2 . 若 02a F1F2，點 P不存在 .2 標(biāo)準(zhǔn)方程xa2y2，兩焦點為F1 ( c,0), F2 (c,0) .1(a b 0)2b2y2x21(ab 0)，兩焦點為F1 (0,c), F2 (0, c) . 其中222a2b 2abc.3 幾何性質(zhì)橢圓是軸對稱圖形，有兩條對稱軸.橢圓是中心對稱圖形，對稱中心是橢圓的中心.橢圓的頂點有四個，長軸長為2a ，短軸長為 2b ，橢圓

2、的焦點在長軸上 .若橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21(ab0) ，則axa,byb ；a2b2若橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y 2x21( ab0) ，則bxb,aya .a 2b 2二、雙曲線1 定義平面內(nèi)到兩定點F1 , F2 的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a(02aF1 F2 ) 的點的軌跡叫做雙曲線 .若 2aF1 F2 ，點 P 的軌跡是兩條射線. 若 2aF1F2，點 P不存在.2 標(biāo)準(zhǔn)方程xa2y21(a 0,b 0) ，兩焦點為F1 ( c,0), F2 (c,0) .2b 2x2y21(a 0,b 0) ，兩焦點為 F1 (0,c), F2 (0, c) . 其中 c 2a 2b 2 .a2b2

3、3 幾何性質(zhì)雙曲線是軸對稱圖形，有兩條對稱軸；雙曲線是中心對稱圖形，對稱中心是雙曲線的中心.雙曲線的頂點有兩個A1 , A2 ，實軸長為2a ，虛軸長為 2b ，雙曲線的焦點在實軸上 .若雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 2y 21(a0, b0) ，則 xa或 xa, yR ；a 2b 2若雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y 2x21( a0, b0) ，則 ya或 ya, xR .a 2b 2學(xué)習(xí)必備精品知識點4 漸近線雙曲線 x2y 21( a0, b0) 有兩條漸近線yb x和 yb x . 即x 2y20a2b 2aaa 2b2雙曲線 y2x 21( a0, b0) 有兩條漸近線ya x和 ya x . 即y

4、2x20a2b 2bba 2b2雙曲線的漸進線是它的重要幾何特征，每一雙曲線都對應(yīng)確定雙曲線的漸進線，但對于同一組漸進線卻對應(yīng)無數(shù)條雙曲線 .與雙曲線 x2y 21( a 0,b0) 共漸進線的雙曲線可表示為x 2y 2(0) .a2b2a 2b 2直線與雙曲線有兩個交點的條件，一定要“消元后的方程的二次項系數(shù)0 ”和“0 ”同時成立.5 等軸雙曲線：實軸長等于虛軸長的雙曲線叫做等軸雙曲線.等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 2y 21( a 0) 或 y 2x21(a0) .a 2a 2a2a 2等軸雙曲線的漸近線方程為yx .6共軛雙曲線：實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線互為共軛雙曲線.如： x 2y

5、 21(a 0, b0) 的共軛雙曲線為y2x 21(a0,b 0) ，它們的焦點到a 2b 2b 2a 2原點的距離相等，因而在以原點為圓心，a 2b2為半徑的圓上 . 且它們的漸近線都是ybbx 和 yx .aa三、拋物線1定義 平面內(nèi)與一個定點F 和一條定直線 l ( F 不在 l 上 )的距離相等的點的軌跡叫做拋物線. 定點 F 叫做拋物線的焦點，定直線l 叫做拋物線的準(zhǔn)線 .2 標(biāo)準(zhǔn)方程(1)y22px ( p0) ，焦點為 ( p ,0) ，準(zhǔn)線方程為 xp ，拋物線張口向右 .22(2)y 22 px( p0) ，焦點為 (p ,0) ，準(zhǔn)線方程為 xp ，拋物線張口向左 .22

6、(3)x22 py ( p0) ，焦點為 (0, p ) ，準(zhǔn)線方程為 yp ，拋物線張口向上 .22(4)x22 py( p0) ，焦點為 (0,p ) ，準(zhǔn)線方程為 yp ，拋物線張口向下 .22其中 p 表示焦點到準(zhǔn)線的距離.3 幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)必備精品知識點拋物線是軸對稱圖形，有一條對稱軸. 若方程為 y22 px( p0) 或 y 22 px( p 0) ，則對稱軸是 x 軸，若方程為 x 22 py( p0) 或 x 22 py( p0) ，則對稱軸是 y 軸 .若拋物線方程為y22 px( p0) ，則 x0, yR .若拋物線方程為y22 px( p0) ，則 x0, yR .若拋

7、物線方程為x22 py( p0)，則 y0, xR .若拋物線方程為x22 py( p0) ，則 y0, xR .圓錐曲線的一些重要結(jié)論【幾個重要結(jié)論】1 已知橢圓 x2y 21(ab0) 的兩焦點為F1(,0),F2(c,0)， P(x0, y0 ) 為橢圓上一a2b2c點，則()22()22(1x02)PF1x0cy0x0cba2c2 x022cx0a 2( cx0a) 2cx0aa 2aa因為 ax0 a ，ccx0c,0accx0aac ，aa所以 PF1cx0a .同理， PF22aPF1acx0 .aa已知雙曲線 x2y 21(a0,b0)的左、右焦點分別為F1 (c,0), F2

8、 (c,0) ，P( x0 , y0 ) 為a2b 2雙曲線上一點，則PF1cx0a ，PF2cx0a .aa2 橢圓 x 2y 21(ab0) 的兩焦點為 F1 , F2 ， P 為橢圓上一點，若F1 PF2，則a 2b 2F1PF2 的面積為 b2 sinb 2 tan.1 cos2解：根據(jù)橢圓的定義可得PF1PF22a 學(xué)習(xí)必備精品知識點4c22PF12PF222 PF1PF2 cos由余弦定理可得F1F2由得 4a24c 22PF1 PF2 (1cos).從而 PF1PF22b 21cos所以， PF1 F2 的面積為1 PF1 PF2sinb 2 sinb 2 tan21cos2雙曲

9、線 x 2y 21( a0, b0) 的兩焦點為 F1, F2 ， P 為其上一點，若 F1 PF2，則a 2b 2F1PF2 的面積為1 PF1PF 2 sinb2 sinb 2 cot .21 cos23 已知橢圓 C : x 2y 21( ab0) ， M , N 是 C 上關(guān)于原點對稱的兩點，點P 是橢圓a 2b 2上任意一點，當(dāng)直線PM , PN 的斜率都存在，并記為 kPM , kPN 時，那么 kPM 與 kPN 之積是與點 P 位置無關(guān)的定值 .解：設(shè) P(x0 , y0 ), M ( x1 , y1 ) ，則 N ( x1 ,y1 ) .k PMy1y0 , kPNy1y0

10、，從而 kPMkPNy1y0y1y0y02y12.x1x0x1x0x1x0x1x0x02x12又因為 P(x0 , y0 ), M ( x1 , y1 ) 都在橢圓上，故x02y021,x12y121 .a2b2a2b2x02x12y02y12y02y12b2即 kPMk PNb 2.兩式相減得，a 2b 20 ，因而x02x12a2a 2類似結(jié)論已知雙曲線 x 2y 21( a0,b 0) . M , N 是 C 上關(guān)于原點對稱的兩點，點P 是雙曲線a 2b 2上任意一點，當(dāng)直線 PM , PN 的斜率都存在，并記為kPM , kPN 時，那么 kPM 與 kPN 之積是與點 P 位置無關(guān)的

11、定值 .【常用方法】1 在求軌跡方程時，若條件滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可以用定義求軌跡方程，這是常用求軌跡的數(shù)學(xué)方法，稱為定義法 .2 本章經(jīng)常會碰到直線 l 與圓錐曲線 C 相交于兩點的問題， 若已知 l 過定點 P( x0 , y0 ) ，則可學(xué)習(xí)必備精品知識點設(shè) l 的方程為 xx0 或 yy0k ( xx0 ) . 然后分兩種情況進行研究，一般處理方法是把直線方程代入曲線C 的方程中，整理得到關(guān)于x 或 y 的一元二次方程( 要注意二次項系數(shù)是否為零 ). 韋達定理 和判別式 經(jīng)常要用到！若l 的條件不明顯時，則可設(shè)l 的方程為 xm 或ykxm .3 本章還經(jīng)常用到 “

12、點差法”：設(shè)直線 l 與圓錐曲線 C 交于點 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) , 則 A, B 兩點坐標(biāo)都滿足曲線C 的方程，然后把這兩個結(jié)構(gòu)相同的式子相減，整理可以得到直線 AB 的斜率 y2y1 的表達式，也經(jīng)常會出現(xiàn)x1 x2 , y1 y2 ，這樣又可以與線段AB 的中點x2x1P( x0 , y0 ) 聯(lián)系起來！4 若三點 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) 滿足以線段AB 為直徑的圓經(jīng)過點P 或 APBP時，常用處理方法有：222根據(jù)勾股定理可得ABPAPB；根據(jù) AP 的斜率與 BP 的斜率之積為1，可得 y0y1y

13、0y21 ；x0x1x0x2根據(jù) PA PB0, PA( x1 x0 , y1y0 ), PB (x2x0 , y2y0 ) 可得( x1 x0 )(x2x0 ) ( y1y0 )( y2 y0 ) 0 .5 求軌跡方程的方法常見的有：直接法、定義法、待定系數(shù)法、代入法（也叫相關(guān)點法）.圓錐曲線中有用的結(jié)論22xa cos1 橢圓 xy1(ab.0) 的參數(shù)方程是b sina2b2y2離心率 ec1b 2，aa PF1 F2 中，記F1PF2,PF1F2,F1F2Psinc，則有e.sinsina線到中心的距離為a2，焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離( 焦準(zhǔn)距 ) pb2。c2 b2c過焦點且垂直于長軸的

14、弦叫通經(jīng)，其長度為：.a學(xué)習(xí)必備精品知識點2橢圓 x2y21(ab0) 焦半徑公式及兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積:a2b2PF1e( xa2 ) a ex，PF2e( a2x) a ex；cF1 PFcS F1 PF2c | yP |b2 tan。3 橢圓的的內(nèi)外部 :2（1）點 P( x0 , y0 ) 在橢圓x2y21(ab0) 的內(nèi)部x02y021 .a2b2a2b2（ 2）點 P( x0 , y0 ) 在橢圓x2y21(ab0) 的外部x02y021 .a2b2a2b24橢圓的切線方程 :(1)橢圓x2y21(ab0) 上一點 P(x0 , y0 ) 處的切線方程是x0 xy0 y1

15、.a2b2a2b2（ 2）過橢圓 x2y21外一點 P( x0 , y0 ) 所引兩條切線的切點弦方程是x0 xy0 y1.a2b2a2b2（ 3） 橢 圓 x2y 21(ab0)與 直 線 Ax ByC0相切的條件是a2b2A2a2B2b2c2 .5 雙曲線x2y21(a0, b0) 的離心率 ec1b2，a2b2aa2PF F 中，記F1PF2,PF1 F2,F1F2 P，則有since .12sinsina2222焦點在 x 軸的 x 2y2m( m0) 與焦點在 y 軸的 y2x 2n (n0) 共漸近abba線，它們離心率滿足關(guān)系111ex2ey2準(zhǔn)線到中心的距離為a2，焦點到對應(yīng)準(zhǔn)

16、線的距離(焦準(zhǔn)距)pb2。cc過焦點且垂直于實軸的弦叫通經(jīng)，其長度為：2b2.a焦半徑公式 PF| e( xa2) | aex |， PF2| e( a2x) | aex |，1cc兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積S F1PF2b2 cotF1PF 。6:2雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1 ）若雙曲線方程為x2y21x2y20ba 2b2漸近線方程：a2b2ya x .(2)若漸近線方程為yb xaxyx2y 2.a0 雙曲線可設(shè)為a 2b 2b學(xué)習(xí)必備精品知識點(3)若雙曲線與 x2y 21有公共漸近線，可設(shè)為x2y2a 2b 2a2b 2（0 ，焦點在 x 軸上，0 ，焦點在 y 軸上）

17、.(4)焦點到漸近線的距離總是b 。7 雙曲線的切線方程:(1)雙曲線 x2y21(a0, b0) 上一點 P(x0 , y0 ) 處的切線方程是x0 xy0 y1.a2b2a2b2(2)過雙曲線 x2y21外一點 P( x0 , y0 ) 所引兩條切線的切點弦方程是x0 xy0 y1.a2b2a2b2（ 3）雙曲線 x2y21與直線AxByC0 相切的條件是 A2a2B2b2c2 .8 拋物線 y 2a2b22 px 的焦半徑公式 :拋物線 y22 px( p0) 焦半徑 CFx0p .2過焦點弦長CDx1px2px1x2p =2 p22sin 29 直線與圓錐曲線相交的弦長公式AB( x1

18、x2 ) 2( y1y2 )2 或AB(1k 2 )( x2x1 )24x2 x1 | x1x2 |1tan2| y1y2 |1 cot 2（弦端點 A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，由方程ykxb消去 y 得到 ax2bxc0F( x, y)00,為直線的傾斜角，k 為直線斜率， | x1x2 |( x1x2 )24x1x210.經(jīng)過拋物線 y2=2px (p>0)(*) 的焦點作一條直線 l交拋物線于 A(x1 ,y1)、 B(x2, y2) ,則 l 的方程為 x=p(通經(jīng)所在直線 )，或 y=k(x p ) (*)22 (*) 、 (*)兩式聯(lián)立：消 x 得ky2ypk0，得 y2（定值）消y 得方2 p21y2= p程2x2( k2p 2 p) xk 2 p 2，得 xp 2k401x2=4(定值 )例題： 若 P1(x1 ,y1), P2( x2, y2)是拋物線y2=2px (p>0)上不同的兩點， 則“ y1y2= p2”是“直線 P1P2 過拋物