常見分布的期望與方差的計算

1、常見分布的期望與方差的計算 常見分布的期望與方差的計算 這些分布的期望和方差要求同學(xué)們熟記，以下是計算過程，供課下看。 1.01分布 已知隨機(jī)變量x的分布律為 x 10 p p1 p 則有 e(x)=1 p+0 q=p, d(x)=e(x2) e(x) 2 =12 p+02 (1 p) p2 =pq. 2.二項分布 設(shè)隨機(jī)變量x 聽從參數(shù)為n, p 二項分布, (法一)設(shè)xi為第i 次試驗中大事a 發(fā)生的次數(shù)，i=1,2,n則 x=xi i=1 n n 明顯，xi 相互獨立均聽從參數(shù)為p 的01分布， 所以e(x)=e(xi)=np. i=1 d(x)=d(xi)=np(1 p). i=1 n

2、 (法二) x的分布律為 n k p x= k= p (1 p )n k, ( k= 0,1,2, n), k n n n k則有 e ( x )= k p x= k= k p (1 p )n k k=0 k k=0kn!= p k (1 p )n k k= 0 k ! ( n k )! np( n 1)!= p k 1 (1 p )( n 1) ( k 1) k=1 ( k 1)!( n 1) ( k 1)!n n ( n 1)!= np p k 1 (1 p )( n 1) ( k 1) k=1 ( k 1)!( n 1) ( k 1)!n = np p+ (1 p )n 1= np e

3、( x 2 )= e x ( x 1)+ x= e x ( x 1)+ e ( x ) k k= k ( k 1) p (1 p )n k+ np n k=0n k ( k 1)n! k p (1 p )n k+ np= k= 0 k !( n k )!n ( n 2)!= n( n 1) p p k 2 (1 p)( n 2 ) ( k 2 )+ np k= 2 ( n k )! ( k 2)!2 n = n( n 1) p 2 p+ (1 p )n 2+ np= ( n 2 n) p 2+ np. d( x )= e ( x 2 ) e ( x )2= ( n 2 n) p 2+ np (

4、 np )2 = np(1 p ) 3.泊松分布設(shè) x( ),且分布律為 p x= k= kk! e , k= 0,1,2, 0. 則有 e( x )= k k=0 kk! e = e k=1 k 1( k 1)! =e e = e ( x 2 )= e x ( x 1)+ x = e x ( x 1)+ e ( x )= k ( k 1) k=0+ k k! e += 2e e+= 2+ . = 2e k=2 + k 2( k 2)! 所以 d( x )= e ( x 2 ) e ( x )2=2+ 2= 泊松分布的期望和方差都等于參數(shù) . 4.勻稱分布設(shè) x u (a, b ),其概率密度

5、為 1, f ( x)= b a 0, a x b,其他 .b 1 1 e ( x )= xf ( x ) d x= x d x則有= (a+ b). a b a 2 d( x )= e ( x 2 ) e ( x )2 1 a+ b (b a ) 2= x dx = a b a 2 12b 2 2 5.指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量 x聽從指數(shù)分布,其概率密度為 1 x e, f ( x )= 0, x 0, x 0.+ 其中 0.1 x x e dx 則有e ( x )= xf ( x ) d x= +0 = xe2 x+ 0 2 + e x d x0+ 2 + = d( x )= e ( x ) e

6、 ( x )=0= 2 2 2 1 x x e d x 2 =2 6.正態(tài) 分布設(shè) x n (, 2 ),其概率密度為1 f ( x)= e 2( x )2 2 2 , 0, x+ . 則有 e ( x )= xf ( x ) d x + 1= x e 2+ ( x )2 2 2 d x. x 令= t x=+ t, 所以 1 e( x )= x e 2+ ( x )2 2 2 dx 1+= (+t)e 2 1= e 2=.t2+ 2 t2 2 dtt2 2 + dt+ te 2 dt d( x )= ( x ) f ( x ) d x2 + 1= ( x ) e d x. 2 x 令= t,得 t2 2 + 2 2 d( x )= t e dt 2 + t2 t2 2 + 2 2= te+ e dt 2 2= 0+ 2= 2 . 2+ 2 ( x )2 2 2 分 布 參數(shù)0 p1 n