結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算PPT課件

1、15.1 動(dòng)力計(jì)算概述15.2 單自由度體系的自由振動(dòng)15.3 單自由度體系的受迫振動(dòng)15.4 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)15.5 兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧載下的受迫振動(dòng)15.8 計(jì)算頻率的近似法15.6 一般多自由度體系的自由振動(dòng)15.7 多自由度體系的在任意動(dòng)荷載作用下的受迫振動(dòng)第1頁(yè)/共83頁(yè)15.1 15.1 動(dòng)力計(jì)算概述動(dòng)力計(jì)算概述1.動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)(1)動(dòng)力荷載與靜力荷載靜力荷載是指大小、方向和作用位置不隨時(shí)間變化或變化很小的荷載。這類荷載對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力較小因而可以忽略不計(jì)，由它所引起的內(nèi)力和變形都是確定的。動(dòng)力荷載是指其大小、方向和作用位置隨時(shí)間而變化的荷載。這類荷載對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣

2、性力較大因而不能忽略，由它所引起的內(nèi)力和變形都是時(shí)間的函數(shù)。(2)靜力計(jì)算與動(dòng)力計(jì)算的區(qū)別靜力計(jì)算靜力平衡方程荷載、約束力、內(nèi)力、位移是不隨時(shí)間變化的常量動(dòng)力計(jì)算動(dòng)力平衡方程荷載、約束力、內(nèi)力、位移是隨時(shí)間變化的函數(shù)引進(jìn)慣性力（達(dá)朗伯原理）瞬時(shí)的靜力平衡問題第2頁(yè)/共83頁(yè)(3)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)1) 動(dòng)力反應(yīng)與時(shí)間有關(guān)（即荷載、位移、內(nèi)力等隨時(shí)間急劇變化）；2) 建立平衡方程時(shí)要引進(jìn)質(zhì)量引起的慣性力。2.動(dòng)力荷載的分類（根據(jù)荷載變化規(guī)律及其作用特點(diǎn)）簡(jiǎn)諧荷載（按正、余弦規(guī)律變化）一般周期荷載（1）周期荷載：隨時(shí)間作周期性變化。(具有偏心質(zhì)量塊的機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí))P(t)t P(t) t（2）沖擊荷載：

3、短時(shí)內(nèi)劇增或劇減。（如爆炸荷載）P(t)ttrPtrP(t)tPP(t)tP第3頁(yè)/共83頁(yè)（3）隨機(jī)荷載：(非確定性荷載) 荷載在將來任一時(shí)刻的數(shù)值無法事先確定。（如地震荷載、風(fēng)荷載）3.動(dòng)力計(jì)算的自由度具體做法：把連續(xù)分布的質(zhì)量集中為幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)，將一個(gè)無限自由度的問題簡(jiǎn)化成有限自由度問題。（1）概念靜力計(jì)算自由度（回顧）：體系運(yùn)動(dòng)時(shí)確定體系在平面內(nèi)的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)（參數(shù)）的數(shù)目。（體系中的桿件均看作剛片）動(dòng)力計(jì)算自由度：體系運(yùn)動(dòng)時(shí)，確定其上全部質(zhì)量的位置所需獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)稱為體系的振動(dòng)自由度。（體系中的桿件均看作彈性體）（2）動(dòng)力計(jì)算的自由度的確定 實(shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量都是連續(xù)分布的，嚴(yán)格地說

4、來都是無限自由度體系。計(jì)算困難，常作簡(jiǎn)化如下：簡(jiǎn)化方法：集中質(zhì)量法P(t)t第4頁(yè)/共83頁(yè)mm梁梁my(t)1個(gè)質(zhì)點(diǎn)1個(gè)自由度廠房排架水平振動(dòng)時(shí)的計(jì)算簡(jiǎn)圖EIEI2EImy(t)1個(gè)質(zhì)點(diǎn)1個(gè)自由度第5頁(yè)/共83頁(yè)2個(gè)質(zhì)點(diǎn)2個(gè)自由度y11個(gè)質(zhì)點(diǎn)2個(gè)自由度說明：自由度數(shù)目與質(zhì)點(diǎn)數(shù)目不一定相等?？偨Y(jié)：動(dòng)力計(jì)算中的自由度數(shù)目與結(jié)構(gòu)中質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目和結(jié)構(gòu)的幾何組成無關(guān)。)(xmy(x,t)x無限自由度體系無限自由度體系第6頁(yè)/共83頁(yè)15.2 15.2 單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng) 自由振動(dòng)：體系在振動(dòng)過程中沒有動(dòng)荷載的作用。自由振動(dòng)產(chǎn)生原因：體系在初始時(shí)刻（t=0）受到外界的干擾。單自由

5、度體系的自由振動(dòng)分析的必要性：1）很多實(shí)際的動(dòng)力問題都可按單自由度體系進(jìn)行計(jì)算或估算。2)單自由度體系自由振動(dòng)的分析是但自由度體系受迫振動(dòng)和多自由度振動(dòng)分析的基礎(chǔ)。h1.單自由度體系自由振動(dòng)微分方程的建立（1）剛度法（以質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象）y(t)mkmy(t)mky(t)( )my t(a)(b)(c)第7頁(yè)/共83頁(yè)由圖(c)可建立單自由度體系自由振動(dòng)微分方程：( )( )0 (15.1)my tky t（2）柔度法（以結(jié)構(gòu)整體為研究對(duì)象）y(t)mk( )my t =mk1( )my t 由此可建立單自由度體系自由振動(dòng)微分方程：( )( ) (15.2)y tmy t 第8頁(yè)/共83頁(yè)對(duì)單自

6、由度體系來說：1 ( )ak上式可用功的互等定理加以證明：mk1mkk1根據(jù)功的互等定理，有：1 1 k 即：1 k將（a）代入（15.2）整理后，即為（15.1）式。第9頁(yè)/共83頁(yè)2.單自由度體系自由振動(dòng)微分方程的解( )( )0 (15.1)my tky t令：2kmkm有：2( )( )0 (15.3)y ty t上式是一個(gè)二階線性齊次微分方程，其通解為：12( )sincos ( )y tCtCtb積分常數(shù)C1，C2由初始條件確定。設(shè)t=0時(shí)：00(0)(0)yyyv2001CyvC代入（b）式，有：把2001CyvC代入（b）式，有：00( )cos sin (15.5)vy ty

7、tt第10頁(yè)/共83頁(yè) 由式可知，位移是由初位移y0引起的余弦運(yùn)動(dòng)和由初速度v0引起的正弦運(yùn)動(dòng)的合成，為了便于研究合成運(yùn)動(dòng),式(15.5)還可寫為:00sin,cosvyaa( )sin() (15.6)y tat2200100 (15.7)vayytgv振幅a相位角將式(15.6)右邊展開,得:( )sincoscossiny tatat將上式與(15.5)比較,得:第11頁(yè)/共83頁(yè)00( )cossinvy tytty0ty0-y0TTT0v0vyt0yt0 a-a000, ( )cosvy tyt000,sinvyt( )sin()y tat根據(jù)：根據(jù)：第12頁(yè)/共83頁(yè)3.結(jié)構(gòu)的自振

8、周期和自振頻率由式( )sin()y tat可見單自由度體系自由振動(dòng)微分方程是一個(gè)周期函數(shù)。Tyt0 a-a周期2T工程頻率1()2fHzT園頻率22fT頻率和周期的計(jì)算公式：1stkggmmW22stmTkg結(jié)構(gòu)自振周期性質(zhì)：（1）只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量與剛度有關(guān)，與外界干擾無關(guān)；（2）與m的平方根成正比，與k成反比，據(jù)此可改變周期；（3）是結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的重要數(shù)量標(biāo)志。兩個(gè)外表不同但自振周期相近的結(jié)構(gòu)，在動(dòng)荷載作用下其動(dòng)力性能基本一致。第13頁(yè)/共83頁(yè)4.簡(jiǎn)諧自由振動(dòng)的特性由式( )sin()y tat可得，加速度為：2( )sin()y tat 2( )( )sin()I tmy tmat 在單

9、自由度體系無阻尼自由振動(dòng)中，位移、加速度和慣性力都按正弦規(guī)律變化，且作相位相同的同步運(yùn)動(dòng)，即它們?cè)谕粫r(shí)刻均達(dá)極值，而且慣性力的方向與位移的方向一致。當(dāng)sin()1t時(shí)，其幅值值分別為：0ya02ya 02Ima慣性力為：動(dòng)內(nèi)力、動(dòng)位移可按如圖示計(jì)算簡(jiǎn)圖進(jìn)行計(jì)算：20 Ima第14頁(yè)/共83頁(yè)例例15.1 15.1 計(jì)算如圖所示簡(jiǎn)支梁的自振周期和自振頻率。（忽略梁本身質(zhì)量）mEIl/2l/2(a)解：解：1stkggmmW222stmTkg(b)l/4P=11stkggmmW3/22264448llllEIEI 3148EImml32248mlTEI第15頁(yè)/共83頁(yè)IIEI1=mh1k26E

10、Ih26EIh26EIh26EIh例15.3 計(jì)算圖示剛架的自振頻率和自振周期。 解:324EIkh324kEImmh3224mhTEI312hEI312hEI由截面平衡，有：第16頁(yè)/共83頁(yè)5.阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響按照無阻尼理論：自由振動(dòng)將按周期函數(shù)的規(guī)律永不停止的振動(dòng)下去。按照有阻尼理論：自由振動(dòng)將按周期函數(shù)的規(guī)律振動(dòng)，最終振動(dòng)將靜止。阻尼力的確定：總與質(zhì)點(diǎn)速度反向;大小與質(zhì)點(diǎn)速度有如下關(guān)系： 與質(zhì)點(diǎn)速度成正比（比較常用，稱為粘滯阻尼）。與質(zhì)點(diǎn)速度平方成正比（如固體在流體中運(yùn)動(dòng)受到的阻力）。與質(zhì)點(diǎn)速度無關(guān)（如摩擦力）。產(chǎn)生阻尼的原因：結(jié)構(gòu)與支承之間的外摩擦；材料之間的內(nèi)摩擦；周圍介質(zhì)的阻

11、力。因?yàn)檎硿枘崃Φ姆治霰容^簡(jiǎn)單，所以通常采用粘滯阻尼理論：( )( ) (15.13)R tcy t 式中：c阻尼常數(shù)。1.有阻尼的單自由度體系自由振動(dòng)動(dòng)力平衡方程第17頁(yè)/共83頁(yè)y(t)mky(t)( )my t(b)m(a)( )cy t0 (15.14)mycykykm( 阻尼比阻尼比）220 (15.16)yyy令令 (15.15)2cm設(shè)解為：特征方程為：（1)1（低阻尼）情況低阻尼體系的自振圓頻率2.有阻尼的單自由度體系自由振動(dòng)微分方程的解( )ty tCe22202(1 21 (15.17 )rri 其中：第18頁(yè)/共83頁(yè)tCtCeyrrtsincos21式（15.16）的

12、解為：引入，000 , (0) (0) tyyvv時(shí)000cossin (15.18)trrrvyyeytt有：上式可寫成：000220020)()sin(yvytgyvyataeyrrrt第19頁(yè)/共83頁(yè)ty低阻尼y- t曲線tae由上式繪制低阻尼y- t曲線。阻尼對(duì)自振頻率的影響.當(dāng)0.2，則存在0.96r/1。在工程結(jié)構(gòu)問題中，0.010.1，可近似取:TTrr ,21, r隨而經(jīng)過一個(gè)周期后，相鄰兩振幅yk和yk+1的比值的對(duì)數(shù)為:阻尼對(duì)振幅的影響. 振幅按等比級(jí)數(shù)遞減。振幅ae-t 隨時(shí)間衰減，相鄰兩個(gè)振幅的比：1Tkkyey=常數(shù)第20頁(yè)/共83頁(yè)rTkkTeyy2lnln1稱為

13、振幅的對(duì)數(shù)遞減率。nkkyynln21設(shè)yk和yk+n是相隔n個(gè)周期的兩個(gè)振幅則:工程中常用此方法測(cè)定阻尼。11110.2 1,lnln22kkrrkkyyyy 當(dāng)則（2)=1（臨界阻尼）情況21rri 由式 式（15.16）的解為：tetCCy)(21引入，000 , (0) (0) tyyvv時(shí)第21頁(yè)/共83頁(yè)rTkkTeyy2lnln1稱為振幅的對(duì)數(shù)遞減率。nkkyynln21設(shè)yk和yk+n是相隔n個(gè)周期的兩個(gè)振幅則:工程中常用此方法測(cè)定阻尼。11110.2 1,lnln22kkrrkkyyyy 當(dāng)則（2)=1（臨界阻尼）情況21rri 由式 式（15.16）的解為：tetCCy)(

14、21引入，000 , (0) (0) tyyvv時(shí)第22頁(yè)/共83頁(yè)有：tetvtyy)1 (00由上式作y-t曲線:tyy0000vtg這條曲線仍具有衰減性，但不具有波動(dòng)性。綜上所述:當(dāng)1 強(qiáng)阻尼情況：不出現(xiàn)振動(dòng)，實(shí)際問題不常見，不予討論。第23頁(yè)/共83頁(yè)例例15.515.5 圖示一單層建筑物的計(jì)算簡(jiǎn)圖。橫梁和柱子的質(zhì)量均集中在橫梁處共計(jì)為m，在橫梁處加一水平力P，測(cè)得側(cè)移y0=0.6cm，然后突然卸載使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平自由振動(dòng)。振動(dòng)一周后0.54cm，求結(jié)構(gòu)的阻尼比及振動(dòng)10周后柱頂?shù)恼穹鵼10 。EA=my0y0P解：解：（1）求01110.6lnln0.0168220.54yy（2）求振

15、動(dòng)10周后的振幅y10 0101ln2yny010ln2yny 100lnln20ln0.6200.0168yy00.21cmy 所以振動(dòng)10周后的振幅y10 為0.21cm。第24頁(yè)/共83頁(yè)15.3 15.3 單自由度體系的受迫振動(dòng)單自由度體系的受迫振動(dòng)1.單自由度體系的受迫振動(dòng)微分方程的建立受迫振動(dòng)（強(qiáng)迫振動(dòng)）：結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的振動(dòng)。y(t)my(t)mky(t)( )my tmk(a)(b)(c)( )P t( )P t( )P t由此可建立方程：( )PmykyF t將 代入，上式可寫成：km2( ) (15.24)P tyym2.簡(jiǎn)諧荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)第25頁(yè)/共83頁(yè)

16、（1）簡(jiǎn)諧荷載作用下方程的解2sin ( ) Ftyybm上式是二階常系數(shù)齊次微分方程，一部分為齊次解 ，一部分為特解 。yyyyy齊次解 ,在上節(jié)已求出。y設(shè)特解為：yyysinyAt將上式代入（b）式，有：tmFtAsinsin)(22)(22mFA因此，特解為：22221sinsin()1stFytytm2stFym荷載幅值F作用下結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的位移。第26頁(yè)/共83頁(yè)所以，方程的通解為：tytCtCystsin11cossin2221設(shè)t=0時(shí)的初始位移和初始速度均為零，則：0,12221CyCst)sin(sin1122ttyyst結(jié)構(gòu)的振動(dòng)由兩部分構(gòu)成過渡階段：振動(dòng)開始兩種振動(dòng)同時(shí)存

17、在的階段。由于阻尼的存在，最后將消失。后來只按荷載頻率振動(dòng)的階段，稱為后來只按荷載頻率振動(dòng)的階段，稱為平穩(wěn)階段平穩(wěn)階段。（2）簡(jiǎn)諧荷載的動(dòng)力系數(shù)平穩(wěn)階段（15.24）的解為：221sin1styyt第27頁(yè)/共83頁(yè)最大動(dòng)位移為：22max1( )1sty tymax22( )11sty ty動(dòng)力系數(shù)由上式可做出 與 之間的關(guān)系圖。1023123由圖知：當(dāng)/0時(shí),1，荷載變化得很慢，可當(dāng)作靜荷載處理。當(dāng)0 / 1，并且隨/的增大而增大。當(dāng)/ 1時(shí),。即當(dāng)荷載頻率接近于自振頻率時(shí)，振幅會(huì)無限增大。稱為“共振”。通常把0.75 / 1時(shí),的絕對(duì)值隨/的增大而減小。當(dāng)很大時(shí)，荷載變化很快，結(jié)構(gòu)來不及

18、反應(yīng)。第28頁(yè)/共83頁(yè) (1)當(dāng)動(dòng)載作用在單自由度體系的質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，由于體系上各截面的內(nèi)力、位移都與質(zhì)點(diǎn)處的位移成正比，且位移達(dá)到最大值時(shí),結(jié)構(gòu)上作用的外荷載以及結(jié)構(gòu)內(nèi)力均同時(shí)達(dá)到最大值,故各截面的最大動(dòng)內(nèi)力和最大動(dòng)位移可采用統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)計(jì)算，計(jì)算時(shí)只需將干擾力幅值乘以動(dòng)力系數(shù)即可按靜力方法來計(jì)算最大動(dòng)內(nèi)力和最大動(dòng)位移。 3.動(dòng)內(nèi)力和動(dòng)位移的計(jì)算 tyystsin11222022( )( )sinsin1stmI tmy tytIt tFtFPsin)(tFsinFF0I第29頁(yè)/共83頁(yè)（2 2）簡(jiǎn)諧荷載）簡(jiǎn)諧荷載( (外荷載不作用在質(zhì)點(diǎn)上外荷載不作用在質(zhì)點(diǎn)上) )EIEIm1sinPty

19、(t)I(t)22tPsinP1 1 P1EII(t)(tI=+)(1)(tIPty 1 11tPPPsin11)(11)(tItIymtI )(11)(ymtI 111sin)(ymtPtyP tPtyymPsin)(111 tPmtyyPsin)(1112 第30頁(yè)/共83頁(yè)mFtPmtyyPPsinsin)(1111112 )sin11(22111tyystPtyystsin112222111max11stPyyEImPymaxI0Mmax2sinFtyymtFsinF0I按此計(jì)算最大動(dòng)內(nèi)力最大和動(dòng)位移。 第31頁(yè)/共83頁(yè) 例例15.615.6 如圖示一簡(jiǎn)支鋼梁，型號(hào)為I32b工字鋼，

20、慣性矩I=11626cm4，截面抵抗矩W=726.7cm3，彈性模量E=2.1108kPa，在跨度中點(diǎn)有電動(dòng)機(jī)，重量Q=40kN，轉(zhuǎn)速n=400r/min。由于具有偏心，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生離心力P=20kN，離心力豎向分力為Psint，忽略梁本身質(zhì)量，試求鋼梁在豎向簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力系數(shù)和最大正應(yīng)力。QEI2.5mPsint2.5m 解：解：stggWl/4P=1388-134848 2.1 1011626 109.80 =47.93s40 5.0gEIgWQl-122 3.141640041.89s6060n222114.2341.891147.93465.0()(404.23 20)21.43

21、10 kPa4444726.7 10QlPllQPWWW第32頁(yè)/共83頁(yè) 4.阻尼對(duì)受簡(jiǎn)諧荷載受迫振動(dòng)的影響 y(t)mky(t)( )my t(b)m(a)( )cy t( ) (15.33)mycykyP t22sin t (15.34)Fyyym( )P t( )P t( )P t( )sinP tFt 把 代入上式，有： 222222222222224)(2,4)(mFBmFAsincos21tCtCeyrrt+Asint +Bcost 通解為齊次解加特解得到：自由振動(dòng)，因阻尼作用，逐漸衰減、消失。純強(qiáng)迫振動(dòng)，平穩(wěn)振動(dòng)，振幅和周期不隨時(shí)間而變化。設(shè)特解為：y=Asint +Bcost

22、代入上式得：第33頁(yè)/共83頁(yè) 結(jié)論：在簡(jiǎn)諧荷載作用下，無論是否計(jì)入阻尼的作用，純強(qiáng)迫振動(dòng)部分總是穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，稱之為平穩(wěn)振動(dòng)。 y=Asint +Bcost =yPsin(t)2122222222)(1)(2,4121tgyBAystP振幅：yp最大靜力位移：yst=F/k=F/m2stPyy2122222241第34頁(yè)/共83頁(yè)stPyy2122222241=0=0.1=0.2=0.3=0.5=1.04.03.02.01.001.02.03.0/122222222214PstyABy122 ( )1 ( )tg 由以上各式及右圖可知：隨增大曲線漸趨平緩，特別是在/=1附近的峰值下降的最為

23、顯著。當(dāng)接近時(shí)，增加很快，對(duì)的數(shù)值影響也很大。在0.75 / 1.25(共振區(qū))內(nèi)，阻尼大大減小了受迫振動(dòng)的位移，因此, 為了研究共振時(shí)的動(dòng)力反映, 阻尼的影響是不容忽略。在共振區(qū)之外阻尼對(duì)的影響較小，可按無阻尼計(jì)算。第35頁(yè)/共83頁(yè)max并不發(fā)生在共振/=1時(shí)，而發(fā)生在， 由y=yPsin(t ) 可見，阻尼體系的位移比荷載P=Fsint 滯后一個(gè)相位角； 21,11max峰21)(1)(2tg但因很小，221當(dāng)時(shí),180體系振動(dòng)得很快，I很大，S、R相對(duì)說來較小，動(dòng)荷主要由I平衡， I 與y同向，y與P反向。)cos(),sin(),sin(),sin(2tycycRtymymItkyk

24、yStyyPPPP 彈性力S，慣性力I， 阻尼力R分別為：可近似地認(rèn)為：當(dāng)=時(shí), 動(dòng)荷恰與阻尼力平衡，故運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)故不會(huì)出現(xiàn)內(nèi)力為無窮大的情況。而在無阻尼受迫振動(dòng)時(shí)，因不存在阻尼力與動(dòng)荷載平衡，才出現(xiàn)位移為無限大的現(xiàn)象。第36頁(yè)/共83頁(yè) 例例15.815.8 同例15.7，已知W=40kN，已求得=41.89s-1，=44.27s-1慣性矩k=12103kN/m，慣性力與位移是同相位的，現(xiàn)考慮阻尼的影響，設(shè)阻尼比=0.15，計(jì)算在阻尼影響下機(jī)器及基礎(chǔ)做豎向振動(dòng)的振幅及地基最大應(yīng)力。P=P0sintW解：解：222222222222114141.8941.8914 0.1544.2744.2

25、73.31 41.8911 0.9461 3.3344.2722 0.15說明近似值與計(jì)算值差別很小。第37頁(yè)/共83頁(yè)03max20( )3.310.0055m5.5mm12 10stPy tyk0min603.31 206.31kPa2020PWpAA 第38頁(yè)/共83頁(yè)15.4 15.4 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)1.柔度法(以結(jié)構(gòu)整體為研究對(duì)象）(a)m1m2y1(t)y2(t)11( )m y t22( )m y t(b)12= =1112111( )m y t+ +(c)121122222( )m y t根據(jù)疊加原理，可列出方程如下：122211111)()(

26、)(tymtymty 222221112)()()(tymtymty （15.40）第39頁(yè)/共83頁(yè)2.剛度法(以質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象）(a)m1m2y1(t)y2(t)(b)22( )m y t11( )m y t2K2K1K2m1m根據(jù)達(dá)郎伯原理，可列出方程：0111 Kym 0222 Kym （a）(c)12y1(t)y2(t)1K2K第40頁(yè)/共83頁(yè)121K2Ky1(t)y2(t)= =1211k21k11( )y t+ +1212k22k12( )y t由上圖，可列出方程：2121111ykykK2221212ykykK（b）第41頁(yè)/共83頁(yè)把（b）代入（a），可列出方程：0)()(

27、)(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym （15.41）2.自振頻率和主振型（1）用柔度法表示頻率方程和自振頻率122211111)()()(tymtymty 222221112)()()(tymtymty （15.42）假設(shè)（15.42）式的解為：)sin()()sin()(2211tYtytYty2121)()(YYtyty=常數(shù)（a）1）在振動(dòng)過程中，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有相同的頻率和相同的相位角；2）在振動(dòng)過程中，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移在數(shù)值上隨時(shí)間而變化，但其比值始終保持不變。振動(dòng)過程中，結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動(dòng)形式，稱為主振型。第42頁(yè)/共83頁(yè))si

28、n()()sin()(2222212111tYmtymtYmtym 幅值222112YmYm12222111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY即：主振型的位移幅值等于主振型慣性力幅值作用下產(chǎn)生的靜力位移。把（a）式代入（15.42）式，整理后有：（15.43a）12Y1Y221 1mY222m Y第43頁(yè)/共83頁(yè)式（15.42a）還可寫成：0)1(0)1(222221121221212111YmYmYmYm（15.43b）Y1=Y2=0是其當(dāng)然解 ，為了求得不全為零的解，要求系數(shù)行列式為零，即:01122221212122111mmmmD（15.44a）令21并

29、將（15.44a）展開，有：0)()(2121122122112221112mmmmmm2121122211222211122211121)(4)()(21mmmmmm（15.45）第44頁(yè)/共83頁(yè)121211主振型11122121222122111111221211YmYmYYmm （2）用剛度法表示頻率方程和自振頻率仍設(shè)其解為：)sin()()sin()(2211tYtytYty（a）把式（a）代入剛度法方程（15.41），整理后有：0)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmkY1=Y2=0是其當(dāng)然解 ，為了求得不全為零的解，要求系數(shù)行列式為零，即:0)()(2222

30、21121211mkkkmkD特征方程頻率方程0)(211222221211kkmkmk（15.46）最小圓頻率稱為第一(基本)圓頻率：12第二圓頻率第45頁(yè)/共83頁(yè)2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk（1）主振型112111122111CmkkYY212211122212CmkkYY（2）按主振型振動(dòng)的條件： 初位移或初速度與此振型相對(duì)應(yīng)；m1m2Y21Y11Y12Y22由此可見： 多自由度體系如果按某個(gè)主振型自由振動(dòng)，其振動(dòng)形式保持不變，此時(shí)，多自由度體系實(shí)際上是像一個(gè)單自由度體系在振動(dòng)。實(shí)際上，多自由度體系在零時(shí)刻的y0或vo通常不能完全

31、與某一振型相對(duì)應(yīng)。第46頁(yè)/共83頁(yè)（3 3）一般振動(dòng)）一般振動(dòng))sin()sin()()sin()sin()(2222211212222122111111tYAtYAtytYAtYAty兩自由度體系自由振動(dòng)是兩種頻率及其主振型的組合振動(dòng)。多自由度體系自由振動(dòng)的振型分解 總結(jié)第一：在多自由度體系自由振動(dòng)問題中,主要問題是確定體系的全部自振頻率及相應(yīng)的主振型。第二：多自由度體系自振頻率不止一個(gè)，其個(gè)數(shù)與自由度個(gè)數(shù)相等，自振頻率可由特征方程求出。第三：每個(gè)自振頻率有自己相應(yīng)的主振型。主振型就是多自由度體系能夠按單自由度振動(dòng)時(shí)所具有的特定形式。第四：與單自由度體系相同，多自由度體系的自振頻率和主振型

32、也是體系本身的固有性質(zhì)。第47頁(yè)/共83頁(yè)例例15.9 15.9 求如圖所示結(jié)構(gòu)的自振頻率。l/4l/4l/2(a)解：柔度法解：柔度法(b)P1=1316l1M(c)P1=1316l2M由圖乘法可得：311223256lEI312217768lEI將柔度系數(shù)代入（15.45）式，有：1mm2mmEIC331111216()76848mlmlmEIEI33211122()768384mlmlmEIEI可求得自振頻率如下：1331116.9348EImlmlEI23321119.60384EImlmlEI第48頁(yè)/共83頁(yè)主振型：111222111121111YmYm 1212222111221

33、11YmYm (a)第一主振型1211(b)第二主振型1211第49頁(yè)/共83頁(yè)例例15.1015.10 設(shè)圖示剛架橫梁剛度為無限大，質(zhì)量集中在橫梁上，且m1=m2=m,試求剛架水平振動(dòng)時(shí)的自振動(dòng)頻率和主振型。hhEIb=EIb=EIEIEIEIm1m2解：解：計(jì)算剛度系數(shù)m1m21k11k21312EIh312EIh312EIh312EIh312EIh312EIh312EIh312EIhm1m2k12k221312EIh312EIh312EIh312EIh00令令324EIkh則則111221222 ,kk kkk kk 22221334 22kkkkm21(35)0.3822kkmm22(

34、35)2.6182kkmm第50頁(yè)/共83頁(yè)所以，自振頻率為：130.6183.028kEImmh131.6187.927kEImmh主振型:111212211111:120.3821.618YkYkmkkk122221:22.6180.618YkYkk 第一主振型m1m211.618第二主振型m1m2-10.618第51頁(yè)/共83頁(yè)3.主振型的正交性11Y21Y1m2m21111mY22121mY第一主振型第二主振型1m2m12Y22Y21212mY22222mY由功的互等定理：整理得：2122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm0)(22

35、212121112221YYmYYm21因 ，則存在：1 11 12221 220 ( )mY Ym Y Ya上式表明兩個(gè)主振型關(guān)于質(zhì)量相互正交，稱為第一正交關(guān)系。第52頁(yè)/共83頁(yè)上式分別乘以12、22，則得：0)()(0)()(2122222111222122212121211211YYmYYmYYmYYm物理意義:第一主振型慣性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型慣性力在第一主振型位移上所做的功等于零；結(jié)論：某一主振型的慣性力在其它主振型位移上不做功，其能量不會(huì)轉(zhuǎn)移到其它主振型上，不會(huì)引起其它主振型的振動(dòng)；即：各個(gè)主振型能單獨(dú)存在，而不相互干擾。設(shè)體系具有n個(gè)自由度。k和l為兩

36、個(gè)不同的自振頻率，相應(yīng)的兩個(gè)主振型向量分別為：( )1 2( )1 2( )( )k Tkknkl TllnlYYYYYY YY式（a）所示正交關(guān)系的一般情形可表述如下：第53頁(yè)/共83頁(yè)體系的質(zhì)量矩陣為：12 nmmMm則第一個(gè)正交關(guān)系為：( )( )0 (b)l TkYMY即：10niilikimY Y如同（a）式一樣，式（b）也可利用功的互等定理來證明。第54頁(yè)/共83頁(yè) 1121P2P15.5 15.5 兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的受迫振動(dòng)兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的受迫振動(dòng)1.柔度法FPsintm1m212（a）FPsint12y1Py2P12y11y2111ym 12y12y222

37、2ym =+=FPsint=1211211 11()m y=1212221)(22ym 第55頁(yè)/共83頁(yè)tFymymytFymymyPPPPsin)()(sin)()(22222211121122211111 tymymytymymyPPsin)()(sin)()(22222211121122211111 上式又可寫為：式中1P、 2P為荷載幅值在質(zhì)點(diǎn)1、2產(chǎn)生的靜力位移。上式又可寫為：tyymymtyymymPPsinsin22222221111112221111 在平穩(wěn)振動(dòng)階段的解為：tYtytYtysin)(sin)(2211將（a）式代入（15.52b），消去公因子sint后，得：（

38、15.52a）（15.52b）（a）0) 1(0) 1(2222221212112122211121PPYmYmYmYm （b）第56頁(yè)/共83頁(yè)由此可解得位移的幅值為：022011,DDYDDY 其中：) 1() 1(22222121122211210mmmmD ) 1(222212221mmD 2P1P 2P1P- - 212111212) 1(mmD如果荷載頻率與任一個(gè)自振頻率1、2重合，則D0=0,此時(shí)當(dāng)D1、D2不全為零時(shí)，則出現(xiàn)共振現(xiàn)象。（15.53）在求得位移幅值Y1、Y2后，可得各質(zhì)點(diǎn)的位移和慣性力。位移：tYtytYtysin)(sin)(2211慣性力：tYmtymtYmt

39、ymsin)(sin)(2222212111 動(dòng)荷載：tFPsin第57頁(yè)/共83頁(yè)動(dòng)內(nèi)力計(jì)算方法： FP 12Y1Y2121Ym222mY（1）把慣性力幅值、動(dòng)荷載幅值同時(shí)加于結(jié)構(gòu)上，然后按靜力方法計(jì)算。（2）也可按下式求出：PMIMIMtM2211max)( 式中 分別為質(zhì)點(diǎn)1、2的慣性力幅值。21II、21MM 、 分別為單位慣性力作用時(shí)，任一截面的彎矩值。1121II、PM 為荷載幅值靜力作用下同一截面的彎矩值。因?yàn)槲灰啤T性力、動(dòng)荷載同時(shí)達(dá)到幅值，所以動(dòng)內(nèi)力也在振幅位置達(dá)到幅值。第58頁(yè)/共83頁(yè)1.剛度法(a)m1m2y1(t)y2(t)(b)22( )m y t11( )m y

40、t2K2K1K2m1m2sinPt1sinPt2sinPt1sinPt111111221222112222( )( )( )sin( )( )( )sinm y tk y tk ytPtm ytk y tkytPt在平穩(wěn)階段，各質(zhì)點(diǎn)也作簡(jiǎn)諧振動(dòng)：tYtytYtysin)(sin)(2211(15.57)(a)第59頁(yè)/共83頁(yè)將（a）式代入（15.57），消去公因子sint后，得：222222121121211211)()(PYmkYkPYkYmk(b)由（b）可求得位移幅值為：022011,DDYDDY （15.58）0222221121211mkkkmkD2222211212110mkkk

41、mkD如果荷載頻率與任一個(gè)自振頻率1、 2重合，則D0=0， 當(dāng)D1、D2不全為零時(shí)，則出現(xiàn)共振現(xiàn)象。112122222PkDPkm211110212kmPDkP內(nèi)力計(jì)算：將慣性力幅值和外荷載幅值同時(shí)加在結(jié)構(gòu)上，然后按靜力方法計(jì)算。第60頁(yè)/共83頁(yè)例15.14 圖示剛架在二層樓面有 ， ， ，計(jì)算第一、二層樓面處側(cè)移幅值及柱底端截面彎矩幅值。sinPt12mmm34EImhhhEIb=EIb=EIEIEIEIm1m2sinPt解： 在例15.10中已算出11348EIkh1221324EIkkh 22324EIkh計(jì)算D0、D1、D22221233416EIEImmmmhh222111120

42、33221222(48 16) 24320 24 (24 16)kmkEIEIDhhkkm11212332222 0 2424 8PkEIEIDPPkmPhh第61頁(yè)/共83頁(yè)2111103321232 032-24 kmPEIEIDPP hhkP計(jì)算Y1、Y22111101.2DYmYPD 2222201.6DYmYPD 計(jì)算內(nèi)力：根據(jù)疊加法。1 1221.2 ( ) 1.6 ( )0.45444APhhhMM IM IMPPPPh 第62頁(yè)/共83頁(yè)15.6 15.6 多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)1.柔度法(以結(jié)構(gòu)整體為研究對(duì)象）(a)1mimjmnmiim y11m yj

43、jm ynnm yiy1111122121( )( )( )( )nnny tm y tm y tm y t 2112122222( )( )( )( )nnny tm y tm y tm y t 111222( )( )( )( )nnnnnnny tm y tm y tm y t (a)式(a)可用矩陣形式表示如下：111211112212222212 0 0 0 nnnnnnnnnymyymyymy (15.60a)第63頁(yè)/共83頁(yè)上式可簡(jiǎn)寫為： 0Myy(15.60b)柔度矩陣（對(duì)稱方陣）質(zhì)量矩陣（對(duì)角矩陣）加速度向量位移向量設(shè)（15.60）式的解為： sin()yYt 12nYYy

44、Y位移幅值向量，即：將式 sin()yYt代入（15.60b)化簡(jiǎn)，有： 20MYY令 ，可得自由振動(dòng)的基本方程： 21 ()0MIY(15.61)n階單位矩陣是位移幅值 的齊次方程。為了得到 的非零解，應(yīng)使系數(shù)行列式為零，即： Y Y 0MI(15.62a)n個(gè)自由度的頻率方程第64頁(yè)/共83頁(yè)（15.62a）的展開式如下：1111221211222211n22() () nnnnnmmmmmmmm0 () nnnm(15.62b)得到關(guān)于的n次代數(shù)方程，可解出的n個(gè)根1、2 、 n 。進(jìn)而求出n個(gè)頻率1、 2 、 n ，其中最小的叫基本頻率或第一頻率。最后求與頻率i相應(yīng)的主振型 。為此，將

45、 和 代入式（15.61），得： ( ) iY ( ) iY21ii ( )()0iiMIY(15.63)令i=1,2,n，可得出n個(gè)向量方程，由此可求出n個(gè)主振型向量Y(1) ， Y(2) ， Y(n) 。 由式(15.63)可唯一確定主振型Y(i) 的形狀，但不能唯一確定其振幅。為了使主振型得振幅也具有確定值，需要補(bǔ)充新的條件，這樣得到的主振型稱為標(biāo)準(zhǔn)化主振型。第65頁(yè)/共83頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)化方法一：規(guī)定主振型Y(i)中的某個(gè)元素為某個(gè)給定值。一般規(guī)定Y1i為1，或者規(guī)定最大元素為1。標(biāo)準(zhǔn)化方法二：規(guī)定主振型Y(i)滿足下式： ( )( )1i TiYMY2.剛度法(以質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象）mimnii

46、ym nnym KnKim111ym K10111 Kym 0222 Kym 0nnnKym (a)mimnyi(t)yn(t)m1y1(t)第66頁(yè)/共83頁(yè)以體系為研究對(duì)象以體系為研究對(duì)象: :KnKiyn(t)yi(t)y1(t)K1nnykykykK12121111nnykykykK22221212nnnnnnykykykK2211(b)0)()()()(0)()()()(0)()()()(2211222212122121211111tyktyktyktymtyktyktyktymtyktyktyktymnnnnnnnnnnn 上式可用矩陣形式表示如下:第67頁(yè)/共83頁(yè)KnKiyn(

47、t)yi(t)y1(t)K1kn1ki1k11knikii11k1iknnkin1k1ny1(t)yi(t)yn(t)=+.+第68頁(yè)/共83頁(yè)000 212122221112112121 nnnnnnnnnyyykkkkkkkkkyyymmm或簡(jiǎn)寫為: 0MyKy質(zhì)量矩陣剛度矩陣上式的解為: sin()yYt位移幅值向量 12nYYYY第69頁(yè)/共83頁(yè)將 代入自由振動(dòng)方程,消去公因子 即得: sin()yYt)sin(t 2()0KMY上式為位移幅值Y的齊次方程.為了得到Y(jié)的非零解,應(yīng)使系數(shù)行列式為零,即: 20KM多自由度體系的頻率方程將該行列式展開,可得到一個(gè)關(guān)于頻率參數(shù)2的n次代數(shù)方

48、程(n是體系自由度數(shù))。求出這個(gè)方程的n個(gè)根 ，開平方取正值，即可的出體系的自振頻率。把全部自振頻率按照由小到大的順序排列而成的向量稱為頻率向量，其中最小的稱為基本頻率或第一圓頻率。22221,n令Y(i)表示與頻率i相應(yīng)的主振型向量： ( )12 ( )i TiiniYYYY將Y(i)和i代入式 得： ( )2()0 iiMMY令i=1,2,n，可得出n個(gè)向量方程，由此可求出n個(gè)主振型向量Y (1) ， Y(2) Y(n) 。 2()0KMY3.主振型的正交性詳見兩個(gè)自由度主振型的正交性。第70頁(yè)/共83頁(yè)15.7 15.7 多自由度體系的在任意動(dòng)荷多自由度體系的在任意動(dòng)荷載作用下的受迫振動(dòng)

49、載作用下的受迫振動(dòng)振型分解法振型分解法1.正則坐標(biāo)和主振型矩陣（1）正則坐標(biāo)在多自由度體系中，利用主振型的正交性，任意一個(gè)位移向量 都可按主振型展開，寫成各振型的線性組合，即： y (1)(2)( )( )121nniniiyYYYY待定系數(shù)，可根據(jù)主振型正交關(guān)系加以確定。 ( )( )( )( )( )(1)(2)( )( )12(1)(2)( )(12= j Tj Tj Tj Tj TjjnjnjnjnTYMYMYMYMYMYyYYYYYYMYY僅此項(xiàng)非零由主振型的正交性知全為零 ( )( )( ) jjj Tj TyYYMYM(15.70)第71頁(yè)/共83頁(yè)主振型分解的展開公式 ( )(

50、 ) jjjj TYMYM則式 可寫為： ( )( )( ) jjj Tj TyYYMYM ( ) j TjjYMyM ( )= j TjjYMyM(15.71)(15.72)令：位移y1、 y 2 、 y n 代表質(zhì)點(diǎn)位移，叫做幾何坐標(biāo)。系數(shù)1、 2 、 n 通過主振型來表示質(zhì)點(diǎn)位移，叫做正則坐標(biāo)。（2）主振型矩陣在n個(gè)自由度的體系中，可將n個(gè)彼此正交的主振型向量組成一個(gè)方陣： (1)(2)( )111(1)(2)( )(1)(2)( )222(1)(2)( ) = nnnnnnnYYYYYYYYYYYYY主振型矩陣 (1)(1)(1)(1)12(2)(2)(2)(2)12( )( )( )

51、()12 = TnTnTnnnN TnYYYYYYYYYYYYY轉(zhuǎn)置矩陣第72頁(yè)/共83頁(yè)根據(jù)主振型向量的兩個(gè)正交關(guān)系，可以導(dǎo)出關(guān)于主振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì)，即： 12 0 0 0 0= 0 0 nTMMMMYMY廣義質(zhì)量矩陣對(duì)角矩陣同樣可得： 12 0 0 0 0= 0 0 nTKKKKYKY廣義剛度矩陣對(duì)角矩陣 ( ) i TiiYKKY其中：利用主振型矩陣的上述性質(zhì)，可使多自由度體系的耦合振動(dòng)方程組解耦，變?yōu)閱蝹€(gè)振動(dòng)方程的形式。第73頁(yè)/共83頁(yè)2.振型分解法 ( )MyKyP tn個(gè)自由度體系的振動(dòng)方程如下：在通常情況下，該方程組是耦合的，求解聯(lián)立方程組十分復(fù)雜，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，可進(jìn)行解耦，

52、使計(jì)算簡(jiǎn)化。首先進(jìn)行正則坐標(biāo)變換： yY(a)（15.76）把(a)式代入（15.76），再前乘以 ，得 TY ( )TTTYMYYKYYP t(b)( )F t其中元素： ( )( )( )i TiF tYP t第i個(gè)主振型相應(yīng)的廣義荷載于是式(b)可寫成： ( )MKF t(c)方程(c)為解耦形式，其中包含n個(gè)獨(dú)立方程如下：( )( )( ) (1 2)iiiiiMtKtF tin、因?yàn)?，所以上式變形為：2iiiKM第74頁(yè)/共83頁(yè)21( )( )( ) (1 2)iiiiittF tinM 、（15.78）這就是關(guān)于正則坐標(biāo) 的運(yùn)動(dòng)方程 ，與單自由度體系的振動(dòng)方程完全相似。( )it求出 后，反代回（a），即可求出 ，即多自由度體系受迫振動(dòng)方程的解。( )it y式（15.78）的解可參照杜哈梅積分寫出。在初位移和初速度為零的條件下：01( )( )sin( - ) tiiiiitFtdM第75頁(yè)/共83頁(yè)15.8 15.8 計(jì)算頻率的近似法計(jì)算頻率的近似法1.能量法求第一頻率瑞利（Rayleigh）法瑞利（Rayleigh）法求自振頻率依據(jù)：能量守恒原理。能量守恒原理：一個(gè)無阻尼的彈性