人教版高中數(shù)學(xué)必修⑤2.2《等差數(shù)列》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課題：必修 2.2 等差數(shù)列三維目標(biāo)：1學(xué)問與技能（ 1）通過實(shí)例，懂得等差數(shù)列、公差的概念，明確一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件；（ 2）明白等差數(shù)列的各種表示法，能敏捷運(yùn)用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、指定的項(xiàng)；（ 3）體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系； 2過程與方法（1）讓同學(xué)對(duì)日常生活中實(shí)際問題分析，經(jīng)受等差數(shù)列的簡潔產(chǎn) 生過程和應(yīng)用等差數(shù)列的基本學(xué)問解決問題的過程；并引導(dǎo)同學(xué)通過觀看，推導(dǎo)，歸納抽象出等差數(shù)列的概念；（ 2）引導(dǎo)同學(xué)建立等差數(shù)列模型用相關(guān)學(xué)問解決一些簡潔的實(shí)際問題，在合作探究的過程中，通過類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式得到對(duì)等差數(shù)列相應(yīng)問題的討論；（3）培育同學(xué)的觀看才能

2、，進(jìn)一步提高同學(xué)的推理歸納才能；（ 4）培育同學(xué)分析問題、解決問題的才能及鉆研精神，培育同學(xué)的運(yùn)算才能、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣以及解題的規(guī)范性；3情態(tài)與價(jià)值觀（1）通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培育同學(xué)的觀看、分析資料的才能，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識(shí)；（2）借助函數(shù)的背景和討論方法來討論有關(guān)數(shù)列的問題，可以進(jìn)一步讓同學(xué)體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)問間的聯(lián)系，培育用已知去討論未知 的才能；形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識(shí)，培育學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，為遠(yuǎn)大的志向而不懈奮斗；（3）通過對(duì)數(shù)列學(xué)問的學(xué)習(xí)及探究，不斷培育自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探索、善于反思、 勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，并提高參加意識(shí)和合作精神，并進(jìn)一步培育同學(xué)討

3、論和發(fā)覺才能，讓同學(xué)在探究中體驗(yàn)愉悅的勝利體驗(yàn)；教學(xué)重點(diǎn)：1懂得等差數(shù)列的概念及其性質(zhì)，探究并把握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2會(huì)用公式解決一些簡潔的問題，體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的聯(lián)系；教學(xué)難點(diǎn)：1概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程中表達(dá)出的數(shù)學(xué)思想方法；2等差數(shù)列通項(xiàng)公式及性質(zhì)的敏捷運(yùn)用教具： 多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)方法： 合作探究、分層推動(dòng)教學(xué)法教學(xué)過程：一、雙基回眸科學(xué)導(dǎo)入：同學(xué)們，上兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義及相關(guān)的性質(zhì)，下面，請(qǐng)同學(xué)們簡潔地回憶一下：什么是數(shù)列？什么是數(shù)列的項(xiàng)？數(shù)列有幾種分類方法？ 什么是數(shù)列的通項(xiàng)公式？ 什么是數(shù)列的遞推公式？在日常生活中，我們常常會(huì)遇到一類特別的數(shù)列；如：由同學(xué)觀看

4、分析并得出答案： 在現(xiàn)實(shí)生活中， 我們常常這樣數(shù)數(shù)， 從 0 開頭，每隔 5 數(shù)一次， 可以得到數(shù)列：0，5， , , , , 2000 年，在澳大利亞悉尼舉辦的奧運(yùn)會(huì)上，女子舉重被正式列為競賽項(xiàng)目； 該項(xiàng)目共設(shè)置了7 個(gè)級(jí)別；其中較輕的4 個(gè)級(jí)別體重組成數(shù)列（單位：kg）：48，53，58， 63； 水庫的治理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚；假如一個(gè)水庫的水位為18cm，自然放水每天 水位降低2.5m，最低降至5m；那么從開頭放水算起，到可以進(jìn)行清 理工作的那天， 水庫每天的水位組成數(shù)列（單位： m）：18，15.5 ，13， 10.5 ， 8，5.5 我國現(xiàn)

5、行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金運(yùn)算下一期的利息；依據(jù)單利運(yùn)算本利和的公式是： 本利和 =本金×（ 1+利率×寸期） . 例如，按活期存入10 000元錢，年利率是0.72%；那么依據(jù)單利，5 年內(nèi)各年末的本利和分別是：時(shí)間年初本金（元）年末本利和（元）第 1 年10 00010 072第 2 年10 00010 144第 3 年10 00010 216第 4 年10 00010 288第 5 年10 00010 360各年末的本利和（單位：元）組成了數(shù)列：10 072，10 144，10 216， 10 288 ，10 360 ；摸索：同學(xué)們

6、觀看一下上面的這四個(gè)數(shù)列：0，5，10，15，20，48，53，58， 6318，15.5 ，13，10.5 ，8，5.510 072，10 144，10 216，10 288 ，10 360看這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)呢？今日，我們就來探究這類數(shù)列：二、創(chuàng)設(shè)情境合作探究：通過上面的四個(gè)實(shí)例，同學(xué)們觀看相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系回答、探究以下問題： 對(duì) 于 數(shù) 列 ， 從第2項(xiàng) 起， 每 一項(xiàng) 與 前 一 項(xiàng) 的 差都 等于；對(duì) 于 數(shù) 列 ， 從 第2項(xiàng) 起 ， 每 一 項(xiàng) 與 前 一 項(xiàng) 的 差 都 等于；對(duì) 于 數(shù) 列 ， 從 第2項(xiàng) 起 ， 每 一 項(xiàng) 與 前 一 項(xiàng) 的 差 都 等于；對(duì)于數(shù)列，

7、從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于； 總結(jié)歸納得到等差數(shù)列的概念：一般地，如果一個(gè)數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列就叫做 等差數(shù)列 ；叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示；那么對(duì)于以上四組等差數(shù)列，它們的公差依次是，；假如在 a 與 b 中間插入一個(gè)數(shù)a ，使 a ， a ， b 成等差數(shù)列數(shù)列，那么 a 應(yīng)滿意什么條件？ 等差中項(xiàng)概念：由三個(gè)數(shù)a，a， b 組成的等差數(shù)列可以看成最簡潔的等差數(shù)列，這時(shí)， a 叫做 a 與 b 的； 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（ 1）對(duì)于以上的等差數(shù)列，它們的通項(xiàng)公式存在嗎？假如存在，分別是什么？（ 2）假如任意給了一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)a1 和公差d，它的通項(xiàng)公式是什么呢？

8、依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行歸納：a2a1d , a3a2d , a4a3d,所以a2a3a1a2d,d（ a1d） da12d,a4a3d（ a12d） da13d,由此我們可以得出：以a1 為首項(xiàng)， d為公差的等差數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的其他推導(dǎo)方法：1、（迭加法）： an 是等差數(shù)列，所以anan 1d ,an 1an 2d ,an 2an 3d,a2a1d,兩邊分別相加得ana1n1d ,所以ana1n1d2、（迭代法）： an 是等差數(shù)列，就有anan 1dan 2ddan 22dan 33da1n1d所以a na1n1d【小試牛刀 】1、判定以下數(shù)列是否可能是等差數(shù)

9、列？假如是，寫出通項(xiàng)公式（ 1）9，8， 7，6，5， 4，；（ 2）1， 1， 1，1，；（ 3）1， 0， 1，0， 1，；（ 4）1 ， 2， 3，2， 3， 4，；（ 5）a,a,a,a,；（ 6）0 ， 0， 0，0， 0， 0，.2、在等差數(shù)列an中，1）已知 a1=2,d=3,n=10,求 an2）已知 a1=3,an=21,d=2,求 n3）已知 a1=12,a6=27,求 d74）已知 d=1 ,a =8,求 a13三、互動(dòng)達(dá)標(biāo)鞏固所學(xué)：問題.1求等差數(shù)列8，5， 2，的第20 項(xiàng).-401 是不是等差數(shù)列-5 ， -9 ，-13 ，的項(xiàng)？假如是，是第幾項(xiàng)？【分析】要求出第2

10、0 項(xiàng)，可以利用通項(xiàng)公式求出來；首項(xiàng)知道了，仍需要知道的是該等差數(shù)列的公差，由公差的定義可以求出公差；這個(gè)問題可以看成是上面那個(gè)問題的一個(gè)逆問題；要判定這個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，就是要看它是否滿意該數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且需要留意的是，項(xiàng)數(shù)是否有意義；【解析 】由a1 =8， d=5-8=-3 ， n=20，得a208211349由 a1 =-5 ， d=-9- （ -5 ） =-4 ，得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an54n14n1, 由題意知，此題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立；解這個(gè)關(guān)于n 的方程，得 n=100，即-401 是這個(gè)數(shù)列的第100 項(xiàng)；【點(diǎn)評(píng)】從該例題中可以看出

11、，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式其實(shí)就是一個(gè)關(guān)于 an 、 a1 、d、n（獨(dú)立的量有3 個(gè)）的方程；另外，要懂得利用通項(xiàng)公式來判定所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)， 當(dāng)判定是第幾項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)時(shí)仍應(yīng)看求出的項(xiàng)數(shù)是否為正整數(shù)， 假如不是正整數(shù)， 那么它就不是數(shù)列中的項(xiàng)；問題.2 某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10 元，即最初的 4km（ 不含4 千米）計(jì)費(fèi)10 元；假如某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付多少車費(fèi)？【分析】此題是一個(gè)實(shí)際問題，第一搞清題意，然后提取數(shù)學(xué)信息進(jìn)行分析，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，此題明顯是一個(gè)等差數(shù)列的模型【解析 】解：依據(jù)題意，當(dāng)該市出租

12、車的行程大于或等于4km時(shí)，每增加 1km，乘客需要支付1.2 元. 所以，我們可以建立一個(gè)等差數(shù)列 an 來運(yùn)算車費(fèi) .令 a1 =11.2 ，表示 4km處的車費(fèi)，公差d=1.2 ；那么當(dāng)出租車行至 14km處時(shí)，n=11，此時(shí)需要支付車費(fèi)a1111.21111.223.2元答：需要支付車費(fèi)23.2元；【點(diǎn)評(píng)】這是等差數(shù)列用于解決實(shí)際問題的一個(gè)簡潔應(yīng)用，要學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中抽象出等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列的學(xué)問解決實(shí)際問題；問題.3 已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為anpnq, 其中 p、q 為常數(shù)，且p 0，那么這個(gè)數(shù)列肯定是等差數(shù)列嗎？【分析】 判定 an 是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定

13、義，也就是看 anan 1 （ n 1）是不是一個(gè)與n 無關(guān)的常數(shù)；【解析 】取數(shù)列 an 中的任意相鄰兩項(xiàng)an 與an1 （n1），求差得anan 1 pnq p n1qpnq pnpqp它是一個(gè)與n 無關(guān)的數(shù) . 所以 an 是等差數(shù)列；摸索：這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差分別是多少？這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)a1pq,公差dp ；由此我們可以知道對(duì)于通項(xiàng)公式是形如 anpnq 的數(shù)列，肯定是等差數(shù)列，一次項(xiàng)系數(shù)p就是這個(gè)等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)是p+q.【點(diǎn)評(píng)】 通過這個(gè)例題我們知道判定一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法：假如一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n 的一次型函數(shù)， 那么這個(gè)數(shù)列必定是等差數(shù)列；【探究】引導(dǎo)

14、同學(xué)動(dòng)手畫圖討論完成以下探究：在直角坐標(biāo)系中， 畫出通項(xiàng)公式為an3n5 的數(shù)列的圖象； 這個(gè)圖象有什么特點(diǎn)？在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中， 畫出函數(shù)y=3x-5 的圖象，你發(fā)覺了什么？據(jù)此說一說等差數(shù)列anpnq 與一次函數(shù)y=px+q 的圖象之間有什么關(guān)系；【分析】 n 為正整數(shù)，當(dāng)n 取 1，2， 3，時(shí)，對(duì)應(yīng)的an 可以利用通項(xiàng)公式求出；經(jīng)過描點(diǎn)知道該圖象是勻稱分布的一群孤立點(diǎn)；畫出函數(shù)y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)覺數(shù)列的圖象（點(diǎn)）在直線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當(dāng)x 在正整數(shù)范疇內(nèi)取值時(shí)相應(yīng)的點(diǎn)的集合；于是可以得出結(jié)論：等差數(shù)列anpnq 的圖象是一次函數(shù)y=px+q 的圖象的一個(gè)子集，是

15、y=px+q 定義在正整數(shù)集上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合；該處仍可以引導(dǎo)同學(xué)從等差數(shù)列anpnq 中的p 的幾何意義去探究；四、思悟小結(jié)：學(xué)問線：（1）等差數(shù)列的概念；（ 2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）等差中項(xiàng)的概念；思想方法線：（ 1）公式法或定義法；（ 2）建模思想方法；（ 3）函數(shù)的思想方法；題目線：（ 1）依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解決相關(guān)的基本問題；（ 2）判定一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列；（ 3）關(guān)于等差數(shù)列的實(shí)際問題；五、針對(duì)訓(xùn)練鞏固提高：1、等差數(shù)列的相鄰四項(xiàng)是a+1,a+3,b,a+b,那么a,b的值分別是a.2,7b.1,6c.0,5d.無法確定x2、如 log 3 2 ，log3 21) ，

16、log 2x11 成等差數(shù)列， 就 x 得值為（）3a7 或-3b.log3 7c.log 2 7d.43、（1）求等差數(shù)列3， 7，11，的第 4 項(xiàng)與第 10 項(xiàng)（2）101 是不是等差數(shù)列2，9，16，的項(xiàng)？假如是， 是第幾項(xiàng)？4、（1）在等差數(shù)列an中，已知a5=10,a12=31,求首項(xiàng) a1 與公差 d.（2）.在等差數(shù)列 an中，已知a3=9,a9=3,求 a125、一個(gè)首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，假如前六項(xiàng)均為正數(shù)，第七項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，就它的公差是多少？6、已知無窮 an 中, 首項(xiàng)為 a1，公差為d, 其中m， n， p， qz（1）數(shù)列中，第n 項(xiàng)與第 m項(xiàng)有什么關(guān)系？（2）如 m+n=p+q，就數(shù)列中的第m，n，p， q 項(xiàng)有什么關(guān)系？7、已知一個(gè)無窮等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d：（1）將數(shù)列中的前m 項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新