2014年全國高考文科數(shù)學(xué)試題及答案-全國卷

1、2014年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試（大綱）文科第I卷（共60分）只有一項是、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中,符合題目要求的.1.設(shè)集合 M 1,2,4,6,8,N 1,2,3,5,6,7，則M I N中元素的個數(shù)為（2.3.4.A. 2B. 3C. 5D. 7已知角A. 45不等式組A. x|的終邊經(jīng)過點4,3),貝U cosB. 35C.D.x(x 2)|x| 10的解集為已知正四面體x 1ABCD43,E是AB的中點,0則異面直線x|0 x 1 D.x|xCE與BD所成角的余弦值為1)1A.一6B 3B.65.函數(shù)yln(3 x 1)(x1）的反函數(shù)

2、是6.A. yC. y(1 ex)3(xx 3(1 e ) (xr r已知a、b為單位向量,1) BR) D其夾角為/ x- y (ex. y (e60°,1)3(x1)3(x1)R)則(2 a b)?b (A. -1 B . 0 C7.有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組,則不同的選法共有（）A. 60 種 B . 70 種 C . 75 種8.設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S2 3£ 15,則&（）9.10.11.A. 31 B . 32 C63 D . 6422xy已知橢圓c： _ 22 1 (a b 0)的左、右焦點為

3、F1、F2,離心率為 ab2A.3B兩點，若 AF1B的周長為4 73 ,則C的方程為(正四棱錐的頂點都在同一球面上,2222/ x y / x y1 C .1 D .128124雙曲線C:22-21(a 0, bb2史，過F2的直線l交3若該棱錐的高位4,底面邊長為2,則該球的表面積為()0)的離心率為2,焦點到漸近線的距離為J3 ,則C的焦距等A. 2 B .2/2C . 4 D , 47212 .奇函數(shù)f(x)的定義域為R,若f(x 2)為偶函數(shù)，且f(1) 1,則f(8) f (9)()A. -2 B . -1 C . 0 D . 1第II卷(共90分)二、填空題(每題 5分，滿分20

4、分，將答案填在答題紙上)13 . (x 2)6的展開式中x3的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)14 .函數(shù)y cos2x 2sin x的最大值為 .x y 015.設(shè)x、y滿足約束條件 x 2y 3,則z x 4y的最大值為x 2y 116 .直線1i和l2是圓x2 y2 2的兩條切線，若1i與l2的交點為(1,3),則l1與l2的夾角的正切值等于 .三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17 .(本小題滿分10分)數(shù)列an滿足 a1 2,a2 2, an 2 2an 1 an 2 .(1)設(shè)bn an 1 an ,證明bn是等差數(shù)列；(2)求an的通項公式.18 .(本

5、小題滿分12分)1,ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為 a、b、c,已知3acosC 2c cos A, tan A ,求B.319 .(本小題滿分12分)如圖，三棱柱 ABC AB1G中，點A在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，ACB 90°,BC 1, AC CC12.(1)證明：AC1 AB；(2)設(shè)直線 AA1與平面BCC1B1的距離為 B 求二面角 A1 AB C的大小.2°.(本小題滿分12分)設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別是°.6, °.5,°.5,°.4 ,各人是否使用設(shè)備相互獨立，(1)求同一工作

6、日至少 3人需使用設(shè)備的概率；(2)實驗室計劃購買 k臺設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k”的概率小于°.1 ,求k的最小值.21 .(本小題滿分12分)函數(shù)f(x) ax3 3x2 3x(a °).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)，求a的取值范圍.22 .(本小題滿分12分)已知拋物線C:y2 2px(p °)的焦點為F,直線y 4與y軸的交點為P,與C的交點為Q口5且 QF - PQ .4(1)求拋物線C的方程；(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點，若AB的垂直平分線l與C相交于M,

7、N兩點，且A,M,B,N l 的方程 .參考答案、選擇題1.B2.D3.C7.C8.C9.A二、填空題313.-16014.2三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明4.B5.D6.B10.A11.C12.D415. 516.3證明過程或演算步驟。17 .（本小題滿分10分）解：(1)由 an 2 2an 1 an2 得 an 2an 1an 1an 2 ,即 bn 1bn 2,又6a2a11.所以bn是首項為1,公差為2的等差數(shù)列;(2)由(1)得 bnn1 2(n D，即 an1 an 2n 1,于是 1 ajk 1(2k 1) k 1于是an 1a122n ,即 an 1 na1，又 a11,所以

8、an的通項公式為an n2 2n 218 .（本小題滿分10分）解：由題設(shè)和正弦定理得，3sin AcosC 2sin C cosA所以 3tanAcosC 2sin C1因為 tan A 一，所以 cosC 2sin C .3-1tan C 2所以 tan B tan180o (A C)tan(A C)tan A tan C1 tan Atan C=-1,即 B 135o19.（本小題滿分12分）解法一：（1）因為A1D 平面ABC , A1D 平面AAC1C ,故平面AAC 1c，平面ABC ,又BC AC ,所以BC 平面AAC 1c ,連結(jié)AC,因為側(cè)面AACC是棱形，所以 AC1 A

9、C,由三垂線定理的 AC1 A1B .（2） BC 平面 AAC1C, BC 平面 BCC1B1,故平面 AAC1c，平面 BCC1B1 ,作AE C1C, E為垂足，則 AE 平面BCC1B1,又直線 AA /平面BCC1B1 ,因而AE為直線AA1與平面BCC1B1間的距離，A1E J3 ,因為AC為 AC。的平分線，故A1D AE 33,作DF AB , F為垂足，連結(jié) AF ,由三垂線定理得 AF AB ,故 AFD為二面角A AB C的平面角，由 ADAA2A1D21,得D為AC的中點,1 AC BC 5A1DDF - , tan A1FD <15 ,2AB 5DF所以二面角a

10、 ab C的大小為arctan 45.解法二：以C為坐標(biāo)原點，射線 CA為x軸的正半軸，以 CB的長為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C xyz,由題設(shè)知A1D與z軸平行，z軸在平面AAC 1c內(nèi).uur(1)設(shè) A(a,0, c),由題設(shè)有 a 2, A(2,0,0), B(0,1,0),則 AF(-2,1, 0),uuruuiruuurAC ( 2,0,0), AA (a 2,0,c) , AC1uur uuruurAC AA (a 4,0,c),BA (a, 1,c)，由 AA2 得 J(a 2)2 c2 2 ,即 a2 4a c2 0,uuur uur99于是 AC1 BA a2

11、4a c2 0uuur uur 所以AC1BA .ir(2)設(shè)平面BCC1B1的法向量m (x, y,z), iruuuiruuu irunr ur uuu irunr則 mCB,mCB,mBB1 ,即 m CB0,mB40,uuuuuur unr因為 CB(0,1,0), BB AA (a 2,0,c),故 y 0,且(a 2)x cz 0,ur令x c,則z 2 a, m (c,0, 2 a)，點A到平面BCC1B1的距離為uuuLT uuuCA cos m,CAuuu LTCA mur-m2cc2 (2 a)2又依題設(shè)，點 A到平面BCC1B1的距離為可；3,所以c 3.代人得a 3 (

12、舍去)或uuiT于是 AA ( 1,0,v3),r設(shè)平面ABA1的法向量nr uur r uur r 則 n AA,n AB,即 n令 p <3 ,則 q 273 ,a 1.(p,q,r),uuur r uuuAA 0,n AB 0. p 3rr 1, n G3,2%；3,1),0 且 2 p q 0,it又p (0,0,1)為平面ABC的法向量,r ur 故 cos n, pr itn pnp1所以一面角A1 AB C的大小為arccos420.(本小題滿分12分)設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別是0.6, 0.5,0.5,0.4,各人是否 使用設(shè)備相互獨立,(1

13、)求同一工作日至少 3人需使用設(shè)備的概率；(2)實驗室計劃購買k臺設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k”的概率小于0.1 ,求k的最小值.解：記Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備，i=0,1,2.B表示事件：甲需使用設(shè)備.C表示事件：丁需使用設(shè)備.D表示事件：同一工作日至少3人需使用設(shè)備E表示事件：同一工作日 4人需使用設(shè)備.F表示事件：同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k.(1)D ABC A2B A2 B CP(B) 0.6, P(C) 04P(A) C； 0.52,i 0,1,2.所以 P(D) P(A B C A2 B A2 B C)P(A B

14、 C) P(A； B) P(A； B C)P(A) P(B) P(C) P(4) P(B) P(A；) P(B) P(C) 0.31由(1)知，若 k 3,則 P(F) 0.31 0.1又 E B C A2,P(E) P(B C A；) P(B) P(C) P(A；) 0.06若 k 4,貝U P(F) 0.06 0.1.所以k的最小值為3.21.(本小題滿分12分), 一,2解：(I) f (x) 3ax 6x 3,(i )若 a>1,則 f (x)是增函數(shù).(ii)由于a 0,故當(dāng)a2f (x) 3ax 6x 3 0 的判別式 =36 (1-a )0 ,且f (x) 0當(dāng)且僅當(dāng)a1,

15、x1 ,故此時f(x)在R上1時，f (x) 0有兩個根：x111 a 11 a,x2aa)時，f (x) 0 ,故 f(x)在若 0 a 1 ,則當(dāng) x (,x2)或 x (x1,(,x2),(x，)上是增函數(shù)；當(dāng)x (x2,x1)時，f (x) 0,故f(x)在(x2,x1)上是減函數(shù);(n)當(dāng)a 0,x 0時，f (x) 0,所以當(dāng)a 0時，f (x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)若a 0時，f (x)在區(qū)間(1,2 )是增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)f (1) 0且f(2)0 ,解得4, ，一，一一 5綜上，a的取值范圍是,0)U(0,).422.(本小題滿分12分)解：(I)設(shè)Q(x0,4),代入由y22Px(p 0)中得小 , P所以PQ-,QFpp8p858 Xo, 由題設(shè)得一一 ,解得p22p2p4p2 (舍去)所以C的方程為y2 4x.(n)依題意知直線l與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)直線l的方程為x my 1,( m 0),22_代入y 4x中得y 4my 4 0 ,設(shè) A(xh yj B%, y2),則 yi y2 4m,yy24,故 AB 的中點為 D(2m2 1,2m), |AB| Jm2 11yl y2 4(m2 1),1有直線l的斜率為 m,所以直線l的方程為x -y 2m2 3, m將上式代入y2 4x中，并整理得 y2 y 4(2m2 3) 0. m42設(shè) M 的 y