太原理工大學數(shù)值計算方法實驗報告

1、本科實驗報告課程名稱： 計算機數(shù)值方法 實驗項目： 方程求根、線性方程組的直接解法、 線性方程組的迭代解法、代數(shù)插值和最小二乘擬合多項式 實驗地點： 行 勉 樓 專業(yè)班級： * 學號： * 學生姓名： * 指導教師： 李 誌 ， 崔 冬 華 2016年 4 月 8 日學生姓名實驗成績實驗名稱 實驗一 方程求根實驗內(nèi)容和要求 熟悉使用二分法、迭代法、牛頓法、割線法等方法對給定的方程進行根的求解。選擇上述方法中的兩種方法求方程：f(x)=x3+4x2-10=0在1,2內(nèi)的一個實根，且要求滿足精度|x*-xn|<0.5×10-5（1）了解非線性方程求根的常見方法，如二分法、牛頓法、割

2、線法。（2）加深對方程求根方法的認識，掌握算法。（3）會進行誤差分析，并能對不同方法進行比較。實驗原理1. 二分法：如果要求已知函數(shù) f(x) = 0 的根 (x 的解)，那先要找出一個區(qū)間 a, b，使得f(a)與f(b)異號。根據(jù)介值定理，這個區(qū)間內(nèi)一定包含著方程式的根。求該區(qū)間的中點m=(a+b)/2，并找出 f(m) 的值。若 f(m) 與 f(a) 正負號相同，則取 m, b 為新的區(qū)間, 否則取 a, m。重復第3步和第4步，直到得到理想的精確度為止。2. 割線法是利用牛頓迭代法的思想,在根的某個領(lǐng)域內(nèi)，函數(shù)有直至二階的連續(xù)導數(shù)，并且不等于0，則在領(lǐng)域內(nèi)選取初值x0,x1,迭代均收

3、斂。（1） 在區(qū)間m ,n內(nèi)輸入初值x0，x1.（2） 計算x2。x2=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0)（3） x0=x1,x1=x2（4） 判斷是否達到精度,若是輸出x1，若否 執(zhí)行（2）主要儀器設備HP計算機實驗記錄 1.二分法 / 方程求根（二分法）.cpp : 定義控制臺應用程序的入口點。/#include "stdafx.h"#include"iostream"using namespace std;class Textpublic: float x, y, a, b, c, n = 0;void Getab()cou

4、t << "請輸入計算區(qū)間：(以空格隔開)" << endl;cin >> a >> b;float GetY(float x)y = x*x*x + 4 * x*x - 10;return y;float Calculate(float a,float b)c = (a + b) / 2;n+;if (GetY(c) = 0 | (b - a) / 2) < 0.000005) cout << c <<"為方程的解"<< endl; return 0;if (Ge

5、tY(a)*GetY(c) < 0)return Calculate(a,c); if (GetY(c)*GetY(b)< 0) return Calculate(c,b);int main()cout << "方程組為：f(x)=x3+4x2-10=0" << endl;float a, b;Text text;text.Getab();a = text.a;b = text.b;text.Calculate(a, b); return 0; 2.割線法：/ 方程求根（割線法）.cpp : 定義控制臺應用程序的入口點。/#include

6、 "stdafx.h"#include"iostream"using namespace std;class Apublic:float x0,x1,y;float GetY(float x)y= x*x*x+4*x*x-10;return y;void GetNumber()cout<<"請輸入兩個初始近似值：(以空格隔開)" << endl; cin >> x0;cin >> x1;void Calculate(float x0,float x1)float x2;x2 = x1 -

7、 (GetY(x1) / (GetY(x1) - GetY(x0)*(x1 - x0);if (x2=x1)cout <<x2<<"為方程的解" << endl;elsecout << x2 << endl;return Calculate(x1, x2);int main()cout << "方程組為：f(x)=x3+4x2-10=0" << endl;float a, b;A text;text.GetNumber();a = text.x0;b = text.x1;

8、text.Calculate(a,b); return 0;心得體會使用不同的方法，可以不同程度的求得方程的解，通過二分法計算的程序?qū)崿F(xiàn)更加了解二分法的特點，二分法過程簡單，程序容易實現(xiàn)，但該方法收斂比較慢一般用于求根的初始近似值，不同的方法速度不同。面對一個復雜的問題，要學會簡化處理步驟，分步驟一點一點的循序處理，只有這樣，才能高效的解決一個復雜問題。實驗名稱 實驗二 線性方程組的直接求解實驗內(nèi)容和要求合理選擇利用Gauss消元法、主元素消元法、LU分解法、追趕法求解下列方程組：（1）了解線性方程組常見的直接解法，如Guass消元法、LU分解法、追趕法。（2）加深對線性方程組求解方法的認識，

9、掌握算法。（3）會進行誤差分析，并能對不同方法進行比較。實驗原理1. 高斯分解法： 將原方程組化為三角形方陣的方程組：lik=aik/akk aij= aij- lik* akj k=1,2,n-1 i=k+1,k+2, ,n j=k+1,k+2, ,n+1由回代過程求得原方程組的解： xn= ann+1/ ann xk=( akn+1-akj xj)/ akk (k=n-1,n-2, ,2,1)2. LU分解法：將系數(shù)矩陣A轉(zhuǎn)化為A=L*U, L為單位下三角矩陣，U為普通上三角矩陣，然后通過解方程組l*y=b,u*x=y,來求解x.主要儀器設備HP計算機實驗記錄1.高斯消元法：#includ

10、e "stdio.h"#include "math.h"#include <stdio.h>double a56,a056;double l5,tmp;void Exchange(int i) int j,l,k; double max=a0ii,temp; j=i; for(k=i;k<=3;k+) if(a0ki>max) max=a0ki; j=k; for(l=i;l<=4;l+) temp=a0il; a0il=a0jl; a0jl=temp; for(i=1;i<=3;i+)for(j=1;j<=4;

11、j+)aij=a0ij; void displayA() int i,j;printf("n");for(j=1;j<=3;j+)for(i=1;i<=4;i+)printf("%lf ",aji);printf("n");void main()int i,j,k; for(i=1;i<=3;i+)for(j=1;j<=4;j+) scanf("%lf",&aij);a0ij=aij;displayA(); printf("列主元素消元法如下");/消元過程k=1

12、;doExchange(k); displayA(); for(i=k+1;i<=3;i+)li=a0ik/a0kk;printf("l%i%i=%lf",i,k,li);for(j=k;j<=4;j+)aij=a0ij-li*a0kj;displayA();k+;if(k=3) break;for(j=1;j<=3;j+)for(i=1;i<=4;i+) a0ji=aji;while(1);/回代過程l3=a34/a33;for(k=3;k>=1;k-) tmp=0;for(j=k+1;j<=3;j+)tmp+=akj*lj;lk=(a

13、k4-tmp)/akk;for(i=1;i<=3;i+)printf("x%i=%lfn",i,li); 2.LU分解法：#include<stdio.h>#include<math.h> int i,j,k,r; double m=0,p=0; double a33; void lu(double a33) for(i=1;i<=2;i+) if(a00!=0) ai0=ai0/a00; for(k=1;k<=2;k+) for(j=k;j<=2;j+) for(r=0;r<=k-1;r+) m=m+akr*arj;

14、akj=akj-m; m=0; for(i=k+1;i<=2;i+) for(r=0;r<=k-1;r+) p=p+air*ark; aik=(aik-p)/akk; p=0; void main() static double a33=1,2,3,0,1,2,2,4,1; static double b3=14,8,13; double c3; double d3; double f33; double m=0; double n=0; int r; int i,j; lu(a); printf("輸出U的矩陣為n"); for(i=0;i<=2;i+)

15、 for(j=i;j<=2;j+) fij=aij; printf(" %f",fij); printf("n"); printf("輸出L的矩陣為n"); for(i=0;i<=2;i+) for(j=0;j<=i;j+) if(i=j) aij=1; printf(" %f",aij); elseprintf(" %f",aij); printf("n"); c0=b0; for(i=1;i<=2;i+) for(r=0;r<=i-1;r=r

16、+1) m=m+air*cr; ci=bi-m; m=0; d2=c2/f22; for(i=1;i>=0;i=i-1) for(r=2;r>i;r=r-1) n=n+fir*dr; di=(ci-n)/fii; n=0; printf("所求方程組解為x1=%f, x2=%f, x3=%f",d0,d1,d2); /*根據(jù)LU分解所得兩個矩陣及求解步驟計算所求X一組解*/ 心得體會 對于求解線性方程組的各種直接方法來說各有優(yōu)缺點，在所有的求解方法中都應該注意其解的精度。注意不同求解方法的不同誤差求法。編寫程序的時候需要一步一步慢慢來，逐步增加自己的算法知識水平

17、和解決問題的能力。實驗名稱 實驗三 線性方程組的迭代求解實驗內(nèi)容和要求使用雅可比迭代法或高斯-賽德爾迭代法對下列方程組進行求解。實驗原理雅可比迭代法：設線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A可逆且主對角元素a11,a22,ann均不為零，令D=diag(a11,a22,ann)并將A分解成A=(A-D)+D從而線性方程組可寫成Dx=(D-A)x+b則有迭代公式x(k+1)=B1x(k)+f1其中，B1=I-D-1A,f1=D-1b。主要儀器設備HP計算機實驗記錄#include <stdio.h>#include<math.h>int main() int i; double

18、x120,x220,x320; double x10,x20,x30; printf("please input x1,x2,x3:n"); scanf("%lf%lf%lf",&x10,&x20,&x30); printf(" n x1n x2n x3nn"); for(i=0;i<18;i+) x10=x10; x20=x20; x30=x30; x1i+1=0.1*x2i+0.2*x3i+0.72; x2i+1=0.1*x1i+0.2*x3i+0.83; x3i+1=0.2*x1i+0.2*x2i+

19、0.84; printf("%5d %5lf %5lf %5lfn",i,x1i,x2i,x3i); return 0;心得體會 在編寫算法是不熟悉，查閱了很多資料，經(jīng)過反復研究和試驗后實現(xiàn)了題目的要求，使用雅克比迭代法和高斯-賽德爾都可以得到方程的解，但相比之下，高斯-賽德爾的迭代次數(shù)要比雅克比的迭代次數(shù)少，能夠更快的達到所求的解的精度。實驗名稱 實驗四 代數(shù)插值和最小二乘法擬合實驗內(nèi)容和要求1.學習使用拉格朗日插值法或牛頓插值法求解方法。2.了解最小二乘法的多項式擬合的具體計算方法并且注意克服正規(guī)方程組的病態(tài)。給定數(shù)據(jù)點（xi ,yi）如下：xi00.50.60.70.

20、80.91.0yi11.751.962.192.442.713.00(1) 使用拉格朗日插值法或牛頓插值法, 求f(0.856)的近似值.(2) 用最小二乘法擬合數(shù)據(jù)的(n次)多項式，求f(0.856)的近似值. (3) 對比、分析上兩結(jié)果實驗原理設函數(shù)在區(qū)間a,b上n+1互異節(jié)點x0,x1,xn上的函數(shù)值分別為y0,y1,yn,求n次插值多項式Pn(x),滿足條件Pn(xj)=yj, j=0,1,n令Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)= yili(x)其中l(wèi)0(x),l1(x), ln(x) 為以x0,x1,xn為節(jié)點的n次插值基函數(shù)，則Ln(x)是一次數(shù)不超過n的多

21、項式，且滿足Ln(xj)=yj, L=0,1,n再由插值多項式的唯一性，得Pn(x)Ln(x)主要儀器設備HP計算機實驗記錄(寫出實驗內(nèi)容中的程序代碼和運行結(jié)果)(可分欄或加頁)拉格朗日插值法：#include "stdio.h"int main()double m=1.0,a=0.856,l=0;int i,j;double x6=0.50,0.60,0.70,0.80,0.90,1.00;double y6=1.75,1.96,2.19,2.44,2.71,3.00;for(i=0;i<=5;i+) for(j=0;j<=5;j+)if(i=j) continue;m=m*(a-xj)/(xi-xj);l+=yi*m;m=1;printf("結(jié)果為%lf",l);return 0;最小二乘法:#include "stdio.h"#include "math.h"int main()double