《一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法》—知識講解(基礎)

1、一元二次方程的解法（三）一公式法，因式分解法知識講解（基礎）撰稿：李愛國 審稿：杜少波【學習目標】1理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，能熟練應用公式法解一元二次方程:2. 正確理解因式分解法的實質(zhì)，熟練運用因式分解法解一元二次方程；3. 通過求根公式的推導，培養(yǎng)學生數(shù)學推理的嚴密性及嚴謹性，滲透分類的思想.【要點梳理】要點一、公式法解一元二次方程1. 一元二次方程的求根公式一元二次方程<ur14-ax+c = 0（a*0）,當q時，jr =2d2. 一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式：a=h-4m當心=夕-灶:>0吋,原方程有兩個不等的實數(shù)根升 *-b

2、士嗣-心當 a=ij-4a7 = ont,原方程有兩個相等的實數(shù)根 = «, = 2a當& =4>a-4<*7 <0 時,原方程沒冇實數(shù)根.3. 用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關于x的一元二次方程& +&t+c = 0（« * 0）的步驟: 把一元二次方程化為一般形式； 確定a、b、c的值（要注意符號）； 求出*a-4«的值;若心力，則利用公式j = 7土求出原方程的解；若4ac <0,則原方程無實根.要點詮釋：（1）雖然所有的一元二次方程都可以用公式法來求解，但它往往并非戢簡單的，一定耍注意方法的 選擇.-

3、元二次方程宀如20（“。），川配方法將其變形為：（“冷晉當=戻-4處> 0時，右端是正數(shù)因此，方程有兩個不相等的實根:-b + y/lf-aac2a當二戸一4心、=0時，右端是零因此，方程有兩個相等的實根：x12=-2a 當二，-4dcv 0時，右端是負數(shù).因此，方程沒有實根.要點二、因式分解法解一元二次方程1. 用因式分解法解一元二次方程的步驟(1) 將方程右邊化為0；(2) 將方程左邊分解為兩個一次式的積；(3) 令這兩個一次式分別為0,得到兩個一元一次方程；(4) 解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.2. 常用的因式分解法提取公因式法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，

4、十字相乘法等.要點詮釋：(1) 能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構特點：方程的一邊是0,另一邊可以分解成兩個一次 因式的積；(2) 用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個因式的積為0,那么這兩個因式中至少有一個 等于0；(3) 用分解因式法解一元二次方程的注意點：必須將方程的右邊化為0；方程兩邊不能同吋除 以含有未知數(shù)的代數(shù)式.【典型例題】類型一、公式法解一元二次方程¥ 1.用公式法解下列方程.(1) x2+3x+1=0；(2) 2x2 =4x-l :(3) 2x2+3x-l=0.【答案與解析】(1) a二 1, b二3, c=l._ b±7b2- 4ac_ -3&#

5、177;v52a 2._ 3+v5_ 3 _ 旋x：=, x2 .2 2(2) 原方程化為一般形式，得2x2-4x + = 0.t a = 2 , b = -4 , c = 1,b2 -4ac = (-4)2-4x2xl = 8>0._4土2邁亠邁 lln v2 , v22x22|22(3) va=2, b二3，c= - 1.-.b2-4ac=17>0_13±vn x4._ 3+v17_ 3 _ v17 xl, x 2.44【總結(jié)升華】用公式法解一元二次方程的關鍵是對3、b、c的確定.用這種方法解一元二次方程的步驟 是：(1)把方程化為一元二次方程的一般形式;(2)確定a

6、, b, c的值并計算b2-4ac的值；若b2-4ac 是非負數(shù)，用公式法求解.舉一反三：【變式】用公式法解方程：3x=4x+l【答案】原方程化為一般形式，得3x2-4x-1 = 0.t a=3, b=-4, c=-l, b2-4ac=(-4)2-4x3x(-1)=28x).4±a/282±>/7 hn 2 + v7 2-72x33x => 即 xi ，xj 3 3用公式法解下列方程：(l)x2-4v3x + 10 = 0；(2) (x + l)(x-l) = 2v2x ；(3) 2x2 2邁x 5二0【思路點撥】針對具體的試題具休分析，不是一般式的先化成一般式

7、，再寫出a, b, c的值，代入求值即 可.【答案與解析】(1).。=1, h = -4>/3 , c = 10, b2 -4ac = (-4>/3)2 - 4xlxl0 = 8>0,= 2a/3 + v2 , x2 = 2/3 >/2 .原方程可化為x2- 2邁x-1 = 0.d = l, b = -2 近,c = l, h2-4ac = (-2>/2)2 -4x lx (-1) = 12 > 0 ,兀二-(-2血)土辰二2近土2乜二逅*石 * 271-：-'x = >/2 + 屈,x2 - >/2 - >/3 .(3)護2, b

8、二-2返，c= - 5b' - 4ac= ( - 2) 2-4x2x ( - 5) =8+40二48；b± 厶2 4ac_2 晅土 a/482x2 _2后±4貞z4 z_v2 ± 2 v32z._v2+2 v3 _v2 - 2 v3 x1, x 2_ 2 _ 2【總結(jié)升華】首先把每個方程化成一般形式，確定出a、b、c的值，在b2-4ac> 0的前提卜一，代入求根公式可求出方程的根.舉一反三：【變式】用公式法解卞列方程：2x2 + 2x = 1；【答案】解：移項，得2 + 2兀-1 = 0.。=2, b = 2, c = -l, b2-4ac = 22

9、 -4x 2x (-1) = 12 > 0 ,-2±vl2 -1±v3/ x =,2x22.-1"-1 + v3 xi =,* 2 2類型二、因式分解法解一元二次方程wr 3.用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2=2(x+2)；(2) (2x+3)2-25 = 0；(3) x (2x+l) =8x 3.【思路點撥】用因式分解法解方程，一定要注意第1小題，等號的兩邊都含有(x+2)這一項，切不可 在方程的兩邊同除以(x+2)，化簡成3 (x+2)二2,因為你不知道(x-2)是否等于零.第2小題，運用平 方差公式可以，用直接開方也町以笫3小題化成一般式z

10、后，再運用分解因式法解方程.【答案與解析】(1)移項.得 3 (x+2)$-2 (x+2) =0, (x+2) (3x+6-2)=0.x+2 = 0或3x+4 = 0,4 xi=_2,=23(2) (2x+3-5) (2x+3+5)=0,2x-2=0 或 2x+8=0， xi = l, x2=4.(3) 去括號，得：2x2+x=8x - 3, 移項，得:2x'+x 8x+3=0 合并同類項，得：2x2 - 7x+3=0,(2x 1) (x 3)二0,.*.2x - 1=0 或 x 3=0,【總結(jié)升華】(1)中方程求解時，不能兩邊同時除以(x+2),否則要漏解.用因式分解法解一元二次方程

11、 必須將方程右邊化為零，左邊用多項式因式分解的方法進行因式分解.因式分解的方法有提公 因式法、公式法、二次三項式法及分組分解法.(2)可用平方差公式分解.p 4.解下列一元二次方程：(1) (2x+1)2+4(2x+1)+4=0；(2) (3x- l)(x-1) = (4x +1)(%-1).【答案與解析】(1) (2x+1)2+4(2x+1)+4 = 0,(2x+1+2)2=0.即(2x + 3)2=0,(2)移項，得(3x-l) (x-l)-(4x+l) (x-l)=0, 即(x-1) (x+2)=0,所以齊=1 x2 = 2 .【總結(jié)升華】解一元二次方程時，一定要先從整體上分析，選擇適當

12、的解法.如(1)可以用完全平方公 式.用含未知數(shù)的整式去除方程兩邊時，很可能導致方程丟根，(2)容易丟掉x = l這個根.舉一反三：【變式】(1) (x+8) l5(x+8)+6二0(2) 3x(2x + l) = 4x + 2【答案】(1) (x+8-2) (x+8-3) =0(x+6) (x+5)=0xi=-6, x2=-5.(2)3x(2x+l)-2 (2x+l)=0(2x+l) (3x-2) =01 2y 5.探究下表中的奧秘，并完成填空：一元二次方看!兩個根二次三項式因式分解x2 - 2x+l=0x1 = 1 , x2=lx2 - 2x+l= (x - 1 ) (x - 1)x2 - 3x+2=0xi=l, x2=2x2 - 3x+2= (x - 1) (x - 2)3x2+x - 2二0xi , x2= - 1 33x'+x - 2=3 (x - ) (x+1)32x2+5x+2=0x)= - , x2= - 2 22x2+5x+2=2 (x+-) (x+2)24x2+13x+3=0x|=, x2=4x2+13x-»3=4 (x+) (x+)將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一般化，并寫出來.