2022年八年級軸對稱與對稱軸提高壓軸題.

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載軸對稱壓軸題1問題背景：如圖（ a） ，點(diǎn) a、b 在直線 l 的同側(cè)，要在直線l 上找一點(diǎn)c，使 ac 與 bc 的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)b 關(guān)于 l 的對稱點(diǎn)b ，連接 a b與直線 l 交于點(diǎn) c，則點(diǎn) c 即為所求（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b） ，已知， o 的直徑 cd 為 4，點(diǎn) a 在 o 上，acd=30 ，b 為弧 ad 的中點(diǎn)， p 為直徑 cd 上一動點(diǎn)，則 bp+ap 的最小值為_（2）知識拓展：如圖（ c） ，在 rtabc 中， ab=10 ， bac=45 ， bac 的平分線交bc 于點(diǎn) d，e、f 分別是線段ad 和 ab 上的動點(diǎn)，求b

2、e+ef 的最小值，并寫出解答過程2 （1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（ 1） ：若點(diǎn) a、b 在直線 m 同側(cè)，在直線m 上找一點(diǎn)p，使 ap+bp 的值最小，做法如下：作點(diǎn) b 關(guān)于直線m 的對稱點(diǎn)b ，連接 ab ，與直線 m 的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p，線段 ab 的長度即為ap+bp 的最小值如圖（ 2） ：在等邊三角形abc 中， ab=2 ，點(diǎn) e 是 ab 的中點(diǎn)， ad 是高，在ad 上找一點(diǎn)p，使 bp+pe 的值最小，做法如下：作點(diǎn) b 關(guān)于 ad 的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)c 重合，連接ce 交 ad 于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p，故 bp+pe 的最小值為_（2）實(shí)踐運(yùn)用如圖（ 3） ：已知 o

3、 的直徑 cd 為 2，的度數(shù)為 60 ，點(diǎn) b 是的中點(diǎn)，在直徑cd 上作出點(diǎn)p，使 bp+ap的值最小，則bp+ap 的值最小，則bp+ap 的最小值為_（3）拓展延伸精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載如圖（ 4） ：點(diǎn) p 是四邊形 abcd 內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊ab 、bc 上作出點(diǎn)m，點(diǎn) n，使 pm+pn+mn 的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法如圖（ 1） ，要在燃?xì)夤艿纋 上修建一個泵站，分別向a、b 兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線

4、最短？你可以在l 上找?guī)讉€點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過獨(dú)立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法他把管道l 看成一條直線（圖（2） ） ，問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l 上找一點(diǎn)p，使 ap 與 bp 的和最小他的做法是這樣的： 作點(diǎn) b 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn) b 連接 ab交直線 l 于點(diǎn) p，則點(diǎn) p 為所求請你參考小華的做法解決下列問題如圖在abc 中，點(diǎn) d、e 分別是 ab 、ac 邊的中點(diǎn)， bc=6， bc 邊上的高為 4，請你在bc 邊上確定一點(diǎn)p，使 pde 得周長最?。?）在圖中作出點(diǎn)p（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）請直接寫出pde 周長的最小值：_4 （1）觀察

5、發(fā)現(xiàn)：如（ a）圖，若點(diǎn)a，b 在直線 l 同側(cè)，在直線l 上找一點(diǎn)p，使 ap+bp 的值最小做法如下：作點(diǎn)b 關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn)b，連接 ab ，與直線 l 的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p再如（ b）圖，在等邊三角形 abc 中， ab=2 ，點(diǎn) e 是 ab 的中點(diǎn)， ad 是高，在ad 上找一點(diǎn)p，使 bp+pe 的值最小做法如下： 作點(diǎn) b 關(guān)于 ad 的對稱點(diǎn)， 恰好與點(diǎn) c 重合， 連接 ce 交 ad 于一點(diǎn)， 則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p，故 bp+pe的最小值為_（2）實(shí)踐運(yùn)用：如（ c）圖，已知 o 的直徑 cd 為 4， aod 的度數(shù)為60 ，點(diǎn) b 是的中點(diǎn)，在直徑cd 上找一點(diǎn)p

6、，使 bp+ap的值最小，并求bp+ap 的最小值（3）拓展延伸：如（ d）圖，在四邊形abcd 的對角線ac 上找一點(diǎn) p，使 apb= apd保留作圖痕跡，不必寫出作法精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載5幾何模型：條件：如下圖，a、b 是直線 l 同旁的兩個定點(diǎn)問題：在直線l 上確定一點(diǎn)p，使 pa+pb 的值最小方法：作點(diǎn)a 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn)a ，連接 a b 交 l 于點(diǎn) p，則 pa+pb=a b 的值最小（不必證明） 模型應(yīng)用：（1）如圖 1，

7、正方形 abcd 的邊長為2，e 為 ab 的中點(diǎn)， p是 ac 上一動點(diǎn)連接bd，由正方形對稱性可知，b與 d 關(guān)于直線ac 對稱連接ed 交 ac 于 p，則 pb+pe 的最小值是_；（2）如圖 2， o 的半徑為2，點(diǎn) a、b、c 在 o 上， oa ob， aoc=60 ，p 是 ob 上一動點(diǎn)，求pa+pc 的最小值；（3）如圖 3， aob=45 ，p 是 aob 內(nèi)一點(diǎn)， po=10，q、r 分別是 oa 、ob 上的動點(diǎn)，求pqr 周長的最小值6如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，a、b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a（ 2， 3） ，b（4， 1） （1）若 p（p，0）是 x 軸上的一個動點(diǎn)，

8、則當(dāng)p=_時， pab 的周長最短；（2）若 c（ a，0） ，d（a+3，0）是 x 軸上的兩個動點(diǎn)，則當(dāng)a=_時，四邊形abdc 的周長最短；（3）設(shè) m，n 分別為 x 軸和 y 軸上的動點(diǎn)，請問：是否存在這樣的點(diǎn)m（m，0） 、n（0，n） ，使四邊形abmn 的周長最短？若存在，請求出m=_， n=_（不必寫解答過程） ；若不存在，請說明理由7需要在高速公路旁邊修建一個飛機(jī)場，使飛機(jī)場到a， b 兩個城市的距離之和最小，請作出機(jī)場的位置精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)

9、秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載8如圖所示，在一筆直的公路mn 的同一旁有兩個新開發(fā)區(qū)a，b，已知 ab=10 千米，直線ab 與公路 mn 的夾角 aon=30 ，新開發(fā)區(qū)b 到公路 mn 的距離 bc=3 千米（1）新開發(fā)區(qū)a 到公路 mn 的距離為_；（2）現(xiàn)要在 mn 上某點(diǎn) p處向新開發(fā)區(qū)a，b 修兩條公路pa，pb，使點(diǎn) p到新開發(fā)區(qū)a，b 的距離之和最短此時 pa+pb=_（千米）9.如圖：（1）若把圖中小人平移，使點(diǎn)a 平移到點(diǎn)b，請你在圖中畫出平移后的小人；（2）若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l 上點(diǎn) p處喝水后，再游到b，但要使游泳的路程最短，試在圖中畫出點(diǎn)p 的位置10如

10、圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰梯形abb1a1的對稱軸為y 軸（1）請畫出：點(diǎn)a、b 關(guān)于原點(diǎn)o 的對稱點(diǎn)a2、 b2（應(yīng)保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明）；（2）連接 a1a2、 b1b2（其中 a2、b2為（ 1）中所畫的點(diǎn)） ，試證明： x 軸垂直平分線段a1a2、b1b2；（3）設(shè)線段 ab 兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a（ 2，4） 、b（ 4，2） ，連接（ 1）中 a2b2，試問在 x 軸上是否存在點(diǎn)c，使a1b1c 與 a2b2c 的周長之和最??？若存在，求出點(diǎn)c 的坐標(biāo)（不必說明周長之和最小的理由）；若不存在，請說明理由精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - -

11、- - - - - 第 4 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載11某大型農(nóng)場擬在公路l 旁修建一個農(nóng)產(chǎn)品儲藏、加工廠，將該農(nóng)場兩個規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地a、b 的水果集中進(jìn)行儲藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟(jì)效益請你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置c，使 a、b 兩地到加工廠c 的運(yùn)輸路程之和最短 （要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）12閱讀理解如圖 1，abc 中，沿 bac 的平分線 ab1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿b1a1c 的平分線a1b2折疊，剪掉重復(fù)部分； ；將余下部分沿bnanc 的平分線anbn+1折疊，點(diǎn)bn與點(diǎn) c 重合，無論折疊

12、多少次，只要最后一次恰好重合，bac 是abc 的好角小麗展示了確定bac 是abc 的好角的兩種情形情形一：如圖2，沿等腰三角形abc 頂角 bac 的平分線ab1折疊，點(diǎn) b 與點(diǎn) c 重合；情形二： 如圖 3，沿 bac 的平分線ab1折疊，剪掉重復(fù)部分； 將余下部分沿b1a1c的平分線 a1b2折疊，此時點(diǎn)b1與點(diǎn) c 重合探究發(fā)現(xiàn)（1）abc 中， b=2 c，經(jīng)過兩次折疊，bac 是不是 abc 的好角？_（填 “ 是 ” 或“ 不是 ” ） （2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了bac 是abc 的好角， 請?zhí)骄?b 與 c （不妨設(shè) b c）之間的等量關(guān)系 根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n 次

13、折疊 bac 是 abc 的好角，則 b 與 c（不妨設(shè) b c）之間的等量關(guān)系為_應(yīng)用提升（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15 、 60 、105 ，發(fā)現(xiàn) 60 和 105 的兩個角都是此三角形的好角請你完成，如果一個三角形的最小角是4 ，試求出三角形另外兩個角的度數(shù)，使該三角形的三個角均是此三角形的好角13如圖， abc 中 ab=ac ，bc=6 ，點(diǎn) p 從點(diǎn) b 出發(fā)沿射線ba 移動，同時，點(diǎn)q 從點(diǎn) c 出發(fā)沿線段 ac 的延長線移動，已知點(diǎn)p、q 移動的速度相同，pq 與直線 bc 相交于點(diǎn)d（1）如圖 ，當(dāng)點(diǎn) p 為 ab 的中點(diǎn)時，求cd 的長；（2）如圖 ，過點(diǎn) p

14、作直線 bc 的垂線垂足為e，當(dāng)點(diǎn) p、 q 在移動的過程中，線段be、de、cd 中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載14 （2012?東城區(qū)二模）已知：等邊abc 中，點(diǎn) o 是邊 ac ，bc 的垂直平分線的交點(diǎn)，m，n 分別在直線ac ，bc 上，且 mon=60 （1）如圖 1，當(dāng) cm=cn 時， m、n 分別在邊 ac、bc 上時，請寫出am 、 cn、mn 三者之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖 2，當(dāng) cm cn

15、 時，m、n 分別在邊ac 、bc 上時， （1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖 3，當(dāng)點(diǎn) m 在邊 ac 上，點(diǎn) n 在 bc 的延長線上時，請直接寫出線段am 、cn、mn 三者之間的數(shù)量關(guān)系15如圖，線段cd 垂直平分線段ab， ca 的延長線交bd 的延長線于e，cb 的延長線交ad 的延長線于f，求證： de=df 16如圖，在 abc 和dcb 中， ab=dc ，ac=db ，ac 與 db 交于點(diǎn) m求證：（1）abc dcb；（2）點(diǎn) m 在 bc 的垂直平分線上17如圖， abc 的邊 bc 的垂直平分線de 交 bac 的外角

16、平分線ad 于 d，e 為垂足， dfab 于 f，且 abac，求證： bf=ac+af 18已知 abc 的角平分線ap 與邊 bc 的垂直平分線pm 相交于點(diǎn)p，作 pk ab，plac，垂足分別是k、l，求證： bk=cl 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載19某私營企業(yè)要修建一個加油站，如圖，其設(shè)計要求是，加油站到兩村a、b 的距離必須相等，且到兩條公路m、n 的距離也必須相等，那么加油站應(yīng)修在什么位置，在圖上標(biāo)出它的位置（要有作圖痕跡）20如圖，在

17、abc 中， ab=ac ， a=120 ，bc=9cm ， ab 的垂直平分線mn 交 bc 于 m，交 ab 于 n，求 bm的長21 如圖，在abc 中， bac 的平分線與bc 的垂直平分線pq 相交于點(diǎn)p， 過點(diǎn) p 分別作 pnab 于 n， pmac于點(diǎn) m，求證： bn=cm 22如圖己知在 abc 中， c=90 ，b=15 ，de 垂直平分ab，e 為垂足交bc 于 d，bd=16cm ，求 ac 長精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載2013

18、年 10 月初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一解答題（共22 小題）1 （2013?日照）問題背景：如圖（ a） ，點(diǎn) a、b 在直線 l 的同側(cè)，要在直線l 上找一點(diǎn)c，使 ac 與 bc 的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)b 關(guān)于 l 的對稱點(diǎn)b ，連接 a b與直線 l 交于點(diǎn) c，則點(diǎn) c 即為所求（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b） ，已知， o 的直徑 cd 為 4，點(diǎn) a 在 o 上，acd=30 ，b 為弧 ad 的中點(diǎn)， p 為直徑 cd 上一動點(diǎn)，則 bp+ap 的最小值為2（2）知識拓展：如圖（ c） ，在 rtabc 中， ab=10 ， bac=45 ， bac 的平分線交bc 于點(diǎn)

19、 d，e、f 分別是線段ad 和 ab 上的動點(diǎn)，求be+ef 的最小值，并寫出解答過程考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題分析：（1）找點(diǎn) a 或點(diǎn) b 關(guān)于 cd 的對稱點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和mn 的交點(diǎn) p就是所求作的位置根據(jù)題意先求出cae，再根據(jù)勾股定理求出ae，即可得出pa+pb 的最小值；（2）首先在斜邊ac 上截取 ab =ab ，連結(jié) bb ，再過點(diǎn) b 作 b f ab，垂足為f，交 ad 于 e，連結(jié) be，則線段bf 的長即為所求解答：解： （1）作點(diǎn) b 關(guān)于 cd 的對稱點(diǎn)e，連接 ae 交 cd 于點(diǎn) p 此時 pa+pb 最小，且等于ae作直徑 ac

20、，連接 c e根據(jù)垂徑定理得弧bd=弧 de acd=30 ， aod=60 ， doe=30 ， aoe=90 ， c ae=45 ，又 ac 為圓的直徑，aec =90 ， c =c ae=45 ，ce=ae=ac =2，即 ap+bp 的最小值是2故答案為： 2；（2）如圖，在斜邊ac 上截取 ab =ab ，連結(jié) bbad 平分 bac ，點(diǎn) b 與點(diǎn) b 關(guān)于直線 ad 對稱過點(diǎn) b作 b fab ，垂足為f，交 ad 于 e，連結(jié) be，則線段 b f 的長即為所求 （點(diǎn)到直線的距離最短）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8

21、 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載在 rtafb 中， bac=45 ，ab=ab=10 ，bf=ab ?sin45 =ab ?sin45 =10=5，be+ef 的最小值為點(diǎn)評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)已知得出對應(yīng)點(diǎn)p位置是解題關(guān)鍵2 （2013?六盤水）（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（ 1） ：若點(diǎn) a、b 在直線 m 同側(cè)，在直線m 上找一點(diǎn)p，使 ap+bp 的值最小，做法如下：作點(diǎn) b 關(guān)于直線m 的對稱點(diǎn)b ，連接 ab ，與直線 m 的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p，線段 ab 的長度即為ap+bp 的最小值如圖（ 2

22、） ：在等邊三角形abc 中， ab=2 ，點(diǎn) e 是 ab 的中點(diǎn)， ad 是高，在ad 上找一點(diǎn)p，使 bp+pe 的值最小，做法如下：作點(diǎn) b 關(guān)于 ad 的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)c 重合，連接ce 交 ad 于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p，故 bp+pe 的最小值為（2）實(shí)踐運(yùn)用如圖（ 3） ：已知 o 的直徑 cd 為 2，的度數(shù)為 60 ，點(diǎn) b 是的中點(diǎn)，在直徑cd 上作出點(diǎn)p，使 bp+ap的值最小，則bp+ap 的值最小，則bp+ap 的最小值為（3）拓展延伸精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 31 頁 - - -

23、- - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載如圖（ 4） ：點(diǎn) p 是四邊形 abcd 內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊ab 、bc 上作出點(diǎn)m，點(diǎn) n，使 pm+pn+mn 的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法考點(diǎn) ：圓的綜合題；軸對稱-最短路線問題專題 ：壓軸題分析：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到ce 的長為 bp+pe 的最小值；由ab=2 ，點(diǎn) e 是 ab 的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到ce ab， bce=bca=30 ，be=1，再根據(jù)含30 度的直角三角形三邊的關(guān)系得ce=；（2）實(shí)踐運(yùn)用：過b 點(diǎn)作弦 becd，連結(jié) ae 交 cd 于 p 點(diǎn)，連結(jié) ob、oe、oa、 pb，根據(jù)垂徑定理得到cd

24、 平分 be，即點(diǎn) e 與點(diǎn) b 關(guān)于 cd 對稱，則ae 的長就是bp+ap 的最小值；由于的度數(shù)為60 ， 點(diǎn) b 是的中點(diǎn)得到boc=30 ，aoc=60 ， 所以 aoe=60 +30 =90 ，于是可判斷 oae 為等腰直角三角形，則ae=oa=；（3）拓展延伸：分別作出點(diǎn)p 關(guān)于 ab 和 bc 的對稱點(diǎn) e 和 f，然后連結(jié)ef，ef 交 ab 于 m、交 bc 于 n解答：解： （1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（ 2） ，ce 的長為 bp+pe 的最小值，在等邊三角形abc 中， ab=2，點(diǎn) e 是 ab 的中點(diǎn)ceab ， bce=bca=30 ，be=1，ce=be=；故答案為；（2

25、）實(shí)踐運(yùn)用如圖（ 3） ，過 b 點(diǎn)作弦 becd，連結(jié) ae 交 cd 于 p點(diǎn)，連結(jié) ob、oe、oa、pb，becd，cd 平分 be，即點(diǎn) e 與點(diǎn) b 關(guān)于 cd 對稱，的度數(shù)為60 ，點(diǎn) b 是的中點(diǎn)， boc=30 ， aoc=60 ， eoc=30 ， aoe=60 +30 =90 ，oa=oe=1 ，ae=oa=，ae 的長就是bp+ap 的最小值故答案為；（3）拓展延伸如圖（ 4） 點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到，同時熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱最短路徑問題精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - -

26、- - - - - - - - - - 第 10 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載3 （2012?涼山州）在學(xué)習(xí)軸對稱的時候，老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題如圖（ 1） ，要在燃?xì)夤艿纋 上修建一個泵站，分別向a、b 兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l 上找?guī)讉€點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過獨(dú)立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法他把管道l 看成一條直線（圖（2） ） ，問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l 上找一點(diǎn)p，使 ap 與 bp 的和最小他的做法是這樣的： 作點(diǎn) b 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn) b 連接 ab交直線

27、l 于點(diǎn) p，則點(diǎn) p 為所求請你參考小華的做法解決下列問題如圖在abc 中，點(diǎn) d、e 分別是 ab 、ac 邊的中點(diǎn)， bc=6， bc 邊上的高為 4，請你在bc 邊上確定一點(diǎn)p，使 pde 得周長最?。?）在圖中作出點(diǎn)p（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）請直接寫出pde 周長的最小值：8考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題專題 ：壓軸題分析：（1）根據(jù)提供材料de 不變， 只要求出 dp+pe 的最小值即可，作d 點(diǎn)關(guān)于 bc 的對稱點(diǎn)d ，連接 d e，與 bc 交于點(diǎn) p，p 點(diǎn)即為所求；（2）利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出d e 的值，即可得出答案解答：解： （1）作 d 點(diǎn)關(guān)于 bc

28、的對稱點(diǎn)d ，連接 d e，與 bc 交于點(diǎn) p，p點(diǎn)即為所求；（2）點(diǎn) d、e 分別是 ab 、ac 邊的中點(diǎn)，de 為 abc 中位線，bc=6 ，bc 邊上的高為4，de=3 ，dd =4，de=5， pde 周長的最小值為：de+d e=3+5=8，故答案為： 8精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載點(diǎn)評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑以及三角形中位線的知識，根據(jù)已知得出要求 pde 周長的最小值，求出 dp+pe 的最小值即可是解題關(guān)鍵4 （2010

29、?淮安） （ 1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（ a）圖，若點(diǎn)a，b 在直線 l 同側(cè)，在直線l 上找一點(diǎn)p，使 ap+bp 的值最小做法如下：作點(diǎn)b 關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn)b，連接 ab ，與直線 l 的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p再如（ b）圖，在等邊三角形 abc 中， ab=2 ，點(diǎn) e 是 ab 的中點(diǎn)， ad 是高，在ad 上找一點(diǎn)p，使 bp+pe 的值最小做法如下： 作點(diǎn) b 關(guān)于 ad 的對稱點(diǎn)， 恰好與點(diǎn) c 重合， 連接 ce 交 ad 于一點(diǎn)， 則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p，故 bp+pe的最小值為（2）實(shí)踐運(yùn)用：如（ c）圖，已知 o 的直徑 cd 為 4， aod 的度數(shù)為60 ，點(diǎn) b 是的中點(diǎn)，在

30、直徑cd 上找一點(diǎn)p，使 bp+ap的值最小，并求bp+ap 的最小值（3）拓展延伸：如（ d）圖，在四邊形abcd 的對角線ac 上找一點(diǎn) p，使 apb= apd保留作圖痕跡，不必寫出作法考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題分析：（1）首先由等邊三角形的性質(zhì)知，ce ab，在直角 bce 中， bec=90 bc=2 ，be=1，由勾股定理可求出 ce 的長度，從而得出結(jié)果；（2）要在直徑cd 上找一點(diǎn) p，使 pa+pb 的值最小， 設(shè) a是 a 關(guān)于 cd 的對稱點(diǎn)， 連接 ab，與 cd的交點(diǎn)即為點(diǎn)p此時 pa+pb=a b 是最小值，可證oa b 是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果（3）畫點(diǎn)

31、 b 關(guān)于 ac 的對稱點(diǎn)b，延長 db 交 ac 于點(diǎn) p則點(diǎn) p即為所求解答：解： （1）bp+pe 的最小值 =（2）作點(diǎn) a 關(guān)于 cd 的對稱點(diǎn)a ，連接 a b，交 cd 于點(diǎn) p，連接 oa ，aa ，ob點(diǎn) a 與 a關(guān)于 cd 對稱， aod 的度數(shù)為60 ， a od=aod=60 ，pa=pa ，點(diǎn) b 是的中點(diǎn)， bod=30 ， a ob=aod+ bod=90 ，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載 o 的直徑 cd 為 4，oa=o

32、a =2，ab=2pa+pb=pa +pb=a b=2（3）如圖 d：首先過點(diǎn)b 作 bb ac 于 o，且 ob=ob ，連接 db 并延長交 ac 于 p（由 ac 是 bb的垂直平分線，可得apb= apd ） 點(diǎn)評：此題主要考查軸對稱最短路線問題，解決此類問題，一般都是運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)，將求折線問題轉(zhuǎn)化為求線段問題，其說明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊5 （2009?漳州）幾何模型：條件：如下圖，a、b 是直線 l 同旁的兩個定點(diǎn)問題：在直線l 上確定一點(diǎn)p，使 pa+pb 的值最小方法：作點(diǎn)a 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn)a ，連接 a b 交 l 于點(diǎn) p，則 pa+pb=a b

33、的值最?。ú槐刈C明） 模型應(yīng)用：（1）如圖 1，正方形 abcd 的邊長為2，e 為 ab 的中點(diǎn)， p是 ac 上一動點(diǎn)連接bd，由正方形對稱性可知，b與 d 關(guān)于直線ac 對稱連接ed 交 ac 于 p，則 pb+pe 的最小值是；（2）如圖 2， o 的半徑為2，點(diǎn) a、b、c 在 o 上， oa ob， aoc=60 ，p 是 ob 上一動點(diǎn)，求pa+pc 的最小值；（3）如圖 3， aob=45 ，p 是 aob 內(nèi)一點(diǎn)， po=10，q、r 分別是 oa 、ob 上的動點(diǎn)，求pqr 周長的最小值考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題專題 ：壓軸題；動點(diǎn)型分析：（1）由題意易得pb+pe=p

34、d+pe=de ，在 ade 中，根據(jù)勾股定理求得即可；（2）作 a 關(guān)于 ob 的對稱點(diǎn)a，連接 ac，交 ob 于 p，求 a c 的長，即是pa+pc 的最小值；（3）作出點(diǎn) p 關(guān)于直線oa 的對稱點(diǎn)m，關(guān)于直線ob 的對稱點(diǎn)n，連接 mn ，它分別與oa ，ob的交點(diǎn) q、r，這時三角形pef 的周長 =mn ，只要求mn 的長就行了解答：解： （1）四邊形abcd 是正方形，ac 垂直平分bd ，pb=pd ，由題意易得： pb+pe=pd+pe=de ，在ade 中，根據(jù)勾股定理得，de=；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

35、 13 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載（2）作 a 關(guān)于 ob 的對稱點(diǎn)a，連接 ac，交 ob 于 p，pa+pc 的最小值即為a c 的長， aoc=60 a oc=120作 od a c 于 d，則 aod=60 oa =oa=2 ad=；（3）分別作點(diǎn)p 關(guān)于 oa、ob 的對稱點(diǎn)m、n，連接 om、on、mn ，mn 交 oa 、ob 于點(diǎn) q、r，連接 pr、pq，此時 pqr 周長的最小值等于mn 由軸對稱性質(zhì)可得，om=on=op=10 ， moa= poa ， nob= pob， mon=2 aob=2 45 =90 ，在 rtmon

36、 中， mn=10即pqr 周長的最小值等于10點(diǎn)評：此題綜合性較強(qiáng)，主要考查有關(guān)軸對稱最短路線的問題，綜合應(yīng)用了正方形、圓、等腰直角三角形的有關(guān)知識6 （2006?湖州）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，a、b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a（2， 3） ，b（4， 1） （1）若 p（p，0）是 x 軸上的一個動點(diǎn)，則當(dāng)p=時， pab 的周長最短；（2）若 c（ a，0） ，d（a+3，0）是 x 軸上的兩個動點(diǎn)，則當(dāng)a=時，四邊形abdc 的周長最短；（3）設(shè) m，n 分別為 x 軸和 y 軸上的動點(diǎn)，請問：是否存在這樣的點(diǎn)m（m，0） 、n（0，n） ，使四邊形abmn 的周長最短？若存在，請求出m=，

37、n=（不必寫解答過程） ；若不存在，請說明理由考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)專題 ：壓軸題分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)出并找到b（4， 1）關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)是b，其坐標(biāo)為（ 4，1） ，進(jìn)而可得直線 ab 的解析式，進(jìn)而可得答案；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載（2）過 a 點(diǎn)作 aex 軸于點(diǎn) e，且延長ae，取 ae=ae 做點(diǎn) f（1， 1） ，連接 af利用兩點(diǎn)間的線段最短，可知四邊形abdc 的周長最短等于af+cd+ab ，從而確

38、定c 點(diǎn)的坐標(biāo)值（3）根據(jù)對稱軸的性質(zhì)，可得存在使四邊形abmn 周長最短的點(diǎn)m、n，當(dāng)且僅當(dāng)m=，n=；時成立解答：解： （1）設(shè)點(diǎn) b（4， 1）關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)是b，其坐標(biāo)為（4，1） ，設(shè)直線 ab 的解析式為y=kx+b ，把 a（2， 3） ，b（4，1）代入得：，解得，y=2x 7，令 y=0 得 x=，即 p=（2）過 a 點(diǎn)作 aex 軸于點(diǎn) e，且延長 ae，取 ae=ae 做點(diǎn) f（ 1， 1） ，連接 af那么 a（2，3） 直線 af 的解析式為，即 y=4x5，c 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ a，0） ，且在直線af 上，a=（3）存在使四邊形abmn周長最短的點(diǎn)m、n，作

39、a 關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn)a，作 b 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)b ，連接 ab ，與 x 軸、 y 軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)m、n，a（ 2， 3） ，b （4，1） ，直線 a b 的解析式為： y=x，m（， 0） ，n（0，） m=，n=點(diǎn)評：考查圖形的軸對稱在實(shí)際中的運(yùn)用，同時考查了根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線解析式，運(yùn)用解析式求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等知識精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載7 （2007?慶陽）需要在高速公路旁邊修建一個飛機(jī)場，使飛機(jī)場到a，b 兩個城市的距離之和

40、最小，請作出機(jī)場的位置考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題專題 ：作圖題分析：利用軸對稱圖形的性質(zhì)可作點(diǎn)a 關(guān)于公路的對稱點(diǎn)a ，連接 a b，與公路的交點(diǎn)就是點(diǎn)p 的位置解答：解：點(diǎn) p就是飛機(jī)場所在的位置（5 分）點(diǎn)評：本題主要是利用軸對稱圖形來求最短的距離用到的知識：兩點(diǎn)之間線段最短8 （2006?貴港）如圖所示，在一筆直的公路mn 的同一旁有兩個新開發(fā)區(qū)a，b，已知 ab=10 千米，直線ab 與公路 mn 的夾角 aon=30 ，新開發(fā)區(qū)b 到公路 mn 的距離 bc=3 千米（1）新開發(fā)區(qū)a 到公路 mn 的距離為8；（2）現(xiàn)要在 mn 上某點(diǎn) p處向新開發(fā)區(qū)a，b 修兩條公路pa，pb

41、，使點(diǎn) p到新開發(fā)區(qū)a，b 的距離之和最短此時 pa+pb=14（千米）考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題專題 ：計算題；壓軸題分析：（1）先求出ob 的長，從而得出oa 的長，再根據(jù)三角函數(shù)求得到公路的距離（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得ef=cd=bc=3 ，af=ae+ef=ae+bc=11，再根據(jù)余弦概念求解解答：解： （1） bc=3 ， aoc=30 ，ob=6 過點(diǎn) a 作 aemn 于點(diǎn) e， ao=ab+ob=16 ，ae=8 即新開發(fā)區(qū)a 到公路的距離為8 千米；（2）過 d 作 dfae 的延長線（點(diǎn)d 是點(diǎn) b 關(guān)于 mn 的對稱點(diǎn)），垂足為 f則 ef=cd=bc=3 ，af=ae

42、+ef=ae+bc=11，過 b 作 bgae 于 g，bg=df ，bg=ab ?cos30 =5，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載，連接 pb，則 pb=pd，pa+pb=pa+pd=ad=14 （千米）點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生利用軸對稱的性質(zhì)來綜合解三角形的能力9 （2006?巴中）如圖：（1）若把圖中小人平移，使點(diǎn)a 平移到點(diǎn)b，請你在圖中畫出平移后的小人；（2）若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l 上點(diǎn) p處喝水后，再游到b，但要使游泳的路

43、程最短，試在圖中畫出點(diǎn)p 的位置考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題；作圖-軸對稱變換；作圖-平移變換專題 ：作圖題分析：根據(jù)平移的規(guī)律找到點(diǎn)b，再利用軸對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，找到點(diǎn)a 的對稱點(diǎn)，連接 a1b 與 l 相交于點(diǎn)p，即為所求精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載解答：解：點(diǎn)評：本題考查的是平移變換與最短線路問題最短線路問題一般是利用軸對稱的性質(zhì)解題，通過作軸對稱圖形，利用軸對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短可求出所求的點(diǎn)作平移圖形時，找關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)

44、點(diǎn)也是關(guān)鍵的一步平移作圖的一般步驟為：確定平移的方向和距離，先確定一組對應(yīng)點(diǎn)； 確定圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)； 利用第一組對應(yīng)點(diǎn)和平移的性質(zhì)確定圖中所有關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)； 按原圖形順序依次連接對應(yīng)點(diǎn)，所得到的圖形即為平移后的圖形10 （2003?泉州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰梯形abb1a1的對稱軸為y 軸（1）請畫出：點(diǎn)a、b 關(guān)于原點(diǎn)o 的對稱點(diǎn)a2、 b2（應(yīng)保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明）；（2）連接 a1a2、 b1b2（其中 a2、b2為（ 1）中所畫的點(diǎn)） ，試證明： x 軸垂直平分線段a1a2、b1b2；（3）設(shè)線段 ab 兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a（ 2，4） 、b（ 4，2） ，連接

45、（ 1）中 a2b2，試問在 x 軸上是否存在點(diǎn)c，使a1b1c 與 a2b2c 的周長之和最??？若存在，求出點(diǎn)c 的坐標(biāo)（不必說明周長之和最小的理由）；若不存在，請說明理由考點(diǎn) ：作圖 -軸對稱變換；線段垂直平分線的性質(zhì)；軸對稱-最短路線問題專題 ：作圖題；證明題；壓軸題；探究型分析：（1）根據(jù)中心對稱的方法，找點(diǎn)a2， b2，連接即可（2）設(shè) a（ x1，y1） 、b（x2， y2）依題意與（ 1）可得 a1（ x1，y1） ，b1（ x2，y2） ， a2（ x1，y1） ，b2（ x2，y2） ，得到 a1、b1關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)是a2、b2，所以 x 軸垂直平分線段a1a2、b1b

46、2（3）根據(jù) a1與 a2，b1與 b2均關(guān)于 x 軸對稱，連接a2b1交 x 軸于 c，點(diǎn) c 為所求的點(diǎn)根據(jù)題意得 b1（4，2） ，a2（ 2， 4）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載設(shè)直線 a2b1的解析式為y=kx+b 則利用待定系數(shù)法解得，所以可求直線a2b1的解析式為 y=3x10令 y=0， 得 x=， 所以 c 的坐標(biāo)為（，0） 即點(diǎn) c （， 0） 能使 a1b1c 與 a2b2c的周長之和最小解答：解： （1）如圖， a2、b2為所求的點(diǎn)

47、（2）設(shè) a（ x1，y1） 、b（x2， y2）依題意與（ 1）可得 a1（ x1，y1） ，b1（ x2，y2） ，a2（ x1， y1） ，b2（ x2， y2）a1、b1關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)是a2、b2，x 軸垂直平分線段a1a2、b1b2（3）存在符合題意的c 點(diǎn)由（ 2）知 a1與 a2，b1與 b2均關(guān)于 x 軸對稱，連接 a2b1交 x 軸于 c，點(diǎn) c 為所求的點(diǎn)a（ 2，4） ，b（ 4，2）依題意及（1）得：b1（ 4，2） ， a2（2， 4） 設(shè)直線 a2b1的解析式為y=kx+b 則有解得直線 a2b1的解析式為y=3x10，令 y=0，得 x=，c 的坐標(biāo)為（，0

48、）綜上所述，點(diǎn)c（，0）能使 a1b1c 與a2b2c 的周長之和最小點(diǎn)評：主要考查了軸對稱的作圖和性質(zhì)，以及垂直平分線的性質(zhì)要知道對稱軸垂直平分對應(yīng)點(diǎn)的連線會根據(jù)此性質(zhì)求得對應(yīng)點(diǎn)利用待定系數(shù)法解一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵11 （2001?宜昌）某大型農(nóng)場擬在公路l 旁修建一個農(nóng)產(chǎn)品儲藏、加工廠，將該農(nóng)場兩個規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地a、b 的水果集中進(jìn)行儲藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟(jì)效益請你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置c，使 a、 b 兩地到加工廠 c 的運(yùn)輸路程之和最短 （要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

49、 - - 第 19 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題專題 ：作圖題分析：作 a 關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn)e，連接 be 交直線 l 于 c，則 c 為所求解答：答：如圖：點(diǎn)評：本題主要考查對軸對稱最短路線的問題的理解和掌握，根據(jù)題意正確畫出圖形是解此題的關(guān)鍵，12 （2012?淮安）閱讀理解如圖 1，abc 中，沿 bac 的平分線 ab1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿b1a1c 的平分線a1b2折疊，剪掉重復(fù)部分； ；將余下部分沿bnanc 的平分線anbn+1折疊，點(diǎn)bn與點(diǎn) c 重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合

50、，bac 是abc 的好角小麗展示了確定bac 是abc 的好角的兩種情形情形一：如圖2，沿等腰三角形abc 頂角 bac 的平分線ab1折疊，點(diǎn) b 與點(diǎn) c 重合；情形二： 如圖 3，沿 bac 的平分線ab1折疊，剪掉重復(fù)部分； 將余下部分沿b1a1c的平分線 a1b2折疊，此時點(diǎn)b1與點(diǎn) c 重合探究發(fā)現(xiàn)（1）abc 中， b=2 c，經(jīng)過兩次折疊，bac 是不是 abc 的好角？是（填 “ 是” 或“ 不是 ” ） （2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了bac 是abc 的好角， 請?zhí)骄?b 與 c （不妨設(shè) b c）之間的等量關(guān)系 根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n 次折疊 bac 是 abc 的好

51、角，則 b 與 c（不妨設(shè) b c）之間的等量關(guān)系為b=nc應(yīng)用提升（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15 、 60 、105 ，發(fā)現(xiàn) 60 和 105 的兩個角都是此三角形的好角請你完成，如果一個三角形的最小角是4 ，試求出三角形另外兩個角的度數(shù)，使該三角形的三個角均是此三角形的好角考點(diǎn) ：翻折變換（折疊問題） 專題 ：壓軸題；規(guī)律型分析：（1）在小麗展示的情形二中，如圖3，根據(jù)根據(jù)三角形的外角定理、折疊的性質(zhì)推知b=2c；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知a1a2b2= c+a2b2c=2c；根據(jù)四邊形的外角定理知bac+2 b2c=180，根據(jù)三角形abc 的內(nèi)角和定理知b

52、ac+ b+c=180，由 可以求得 b=3c；利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：b=nc；（3）利用（ 2）的結(jié)論知 b=nc， bac 是abc 的好角， c=na， abc 是abc 的好精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載角，a=nb，bca 是abc 的好角；然后三角形內(nèi)角和定理可以求得另外兩個角的度數(shù)可以是 4、172；8、168；16、160；44、132；88 、88 解答：解： （1）abc 中， b=2c，經(jīng)過兩次折疊，bac

53、是abc 的好角；理由如下：小麗展示的情形二中，如圖3，沿 bac 的平分線ab1折疊， b=aa1b1；又將余下部分沿b1a1c 的平分線a1b2折疊，此時點(diǎn)b1與點(diǎn) c 重合， a1b1c= c； aa1b1= c+a1b1c（外角定理） ， b=2c， bac 是abc 的好角故答案是：是；（2） b=3c；如圖所示，在abc 中，沿 bac 的平分線ab1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿 b1a1c 的平分線a1b2折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿b2a2c 的平分線a2b3折疊，點(diǎn) b2與點(diǎn) c 重合，則 bac 是abc 的好角證明如下：根據(jù)折疊的性質(zhì)知，b=aa1b1， c=a2

54、b2c， a1 b1c=a1a2b2，根據(jù)三角形的外角定理知，a1a2b2=c+a2b2c=2c；根據(jù)四邊形的外角定理知，bac+ b+ aa1b1 a1 b1c=bac+2 b 2c=180 ，根據(jù)三角形abc 的內(nèi)角和定理知，bac+ b+ c=180 ， b=3c；由小麗展示的情形一知，當(dāng)b= c 時， bac 是abc 的好角；由小麗展示的情形二知，當(dāng)b=2c 時， bac 是abc 的好角；由小麗展示的情形三知，當(dāng)b=3c 時， bac 是abc 的好角；故若經(jīng)過n 次折疊 bac 是abc 的好角，則b 與 c（不妨設(shè) b c）之間的等量關(guān)系為b=nc；（3）由（ 2）知設(shè) a=4

55、 ， c 是好角， b=4n ； a 是好角， c=mb=4mn ，其中 m、 n 為正整數(shù)得4+4n+4mn=180 如果一個三角形的最小角是4 ，三角形另外兩個角的度數(shù)是4、172；8、168；16、160；44、132；88 、88 點(diǎn)評：本題考查了翻折變換（折疊問題）解答此題時，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理以及折疊的性質(zhì)難度較大13 （2013?青羊區(qū)一模）如圖， abc 中 ab=ac ， bc=6，點(diǎn) p 從點(diǎn) b 出發(fā)沿射線ba 移動，同時，點(diǎn) q 從點(diǎn) c 出發(fā)沿線段ac 的延長線移動，已知點(diǎn)p、q 移動的速度相同，pq 與直線 bc 相交于點(diǎn) d（1）如圖 ，當(dāng)

56、點(diǎn) p 為 ab 的中點(diǎn)時，求cd 的長；（2）如圖 ，過點(diǎn) p 作直線 bc 的垂線垂足為e，當(dāng)點(diǎn) p、 q 在移動的過程中，線段be、de、cd 中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載考點(diǎn) ：等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題 ：幾何綜合題；壓軸題；分類討論分析：（1）過點(diǎn) p 做 pf 平行與 aq ，由平行我們得出一對同位角和一對內(nèi)錯角的相等，再由ab=ac ，根據(jù)等邊對等角得角b 和角 acb 的相等，

57、根據(jù)等量代換的角b 和角 pfb 的相等，根據(jù)等角對等邊得bp=pf，又因點(diǎn) p 和點(diǎn) q 同時出發(fā)，且速度相同即bp=cq，等量代換得pf=cq，在加上對等角的相等，證得三角形pfd 和三角形qcd 的全等， 根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊邊相等得出df=cd=cf，而又因 p 是 ab 的中點(diǎn)， pfaq 得出 f 是 bc 的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)已知的bc 的長，求出cf，即可得出cd 的長（2）分兩種情況討論，第一種情況點(diǎn)p 在線段 ab 上，根據(jù)等腰三角形的三線合一得be=ef ，再又第一問的全等可知df=cd，所以 ed=，得出線段de 的長為定值；第二種情況， p在 ba 的延長線上，作pm

58、平行于 ac 交 bc 的延長線于m，根據(jù)兩直線平行，同位角相等推出角 pmb 等于角 acb ，而角 acb 等于角 abc ，根據(jù)等量代換得到角abc 等于角 pmb ，根據(jù)等角對等邊得到pm 等于 pb，根據(jù)三線合一，得到be 等于 em，同理可得 pmd 全等于 qcd，得到cd 等于 dm ，根據(jù) de 等于 em 減 dm ，把 em 換為 bc 加 cm 的一半，化簡后得到值為定值解答：解： （1）如圖，過p點(diǎn)作 pf ac 交 bc 于 f，點(diǎn) p 和點(diǎn) q 同時出發(fā)，且速度相同，bp=cq，pfaq， pfb=acb ， dpf=cqd，又 ab=ac ， b=acb ， b

59、=pfb，bp=pf，pf=cq，又 pdf=qdc ，證得 pfd qcd，df=cd=cf，又因 p 是 ab 的中點(diǎn)， pfaq，f 是 bc 的中點(diǎn)，即fc=bc=3 ，cd=cf=；（2）分兩種情況討論，得ed 為定值，是不變的線段如圖，如果點(diǎn)p 在線段 ab 上，過點(diǎn) p 作 pf ac 交 bc 于 f， pbf 為等腰三角形，pb=pf，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 31 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載be=ef ，pf=cq，fd=dc ，ed=，ed 為定值，同理，如圖，

60、若p在 ba 的延長線上，作 pm ac 的延長線于m， pmc=acb ，又 ab=ac ， b=acb ， b=pmc ，pm=pb ，根據(jù)三線合一得be=em ，同理可得 pmd qcd，所以 cd=dm ，綜上所述，線段ed 的長度保持不變點(diǎn)評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題14 （2012?東城區(qū)二模）已知：等邊abc 中，點(diǎn) o 是邊 ac ，bc 的垂直平分線的交點(diǎn)，m，n 分別在直線ac ，bc 上，且 mon=60 （1）如圖 1，當(dāng) cm=cn 時， m、n 分別在邊 ac、bc 上時，請寫出am 、 cn、mn