全等三角形輔助線系列之三---截長補短類輔助線作法大全

1、精品文檔 資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 全等三角形輔助線系列之三 與截長補短有關的輔助線作法大全 一、截長補短法構造全等三角形 截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法， 也是把幾何題化難為易的一種思想. 所 謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段等于已知的兩條較短線段中的 一條，然后證明其中的另一段與已知的另一條線段相等；所謂“補短” ，就是將一個已知的較短的線段 延長至與另一個已知的較短的長度相等， 然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關系. 有的是采取 截長補短后，使之構成某種特定的三角形進行求解. 截長補短法作輔助線，適合于證明線段的和

2、、差、倍、分等類的題目 典型例題精講 【例 1】 如圖，在ABC 中，./BAC =60 , AD是乙 BAC 的平分線，且 AC =AB BD，求乙 ABC 的度 數(shù). 、 ； 【解析】法一：如圖所示，延長 AB至E使BE =BD，連接ED、EC . 由 AC =AB BD 知 AE 二 AC , 而 BAC =60 AEC 為等邊三角形. 注意到 EAD =/CAD , AD =AD , AE =AC , 故 AED 也 ACD . 從而有 DE =DC , - DEC = DCE , 故 BED 二 BDE 二 DCE DEC =2 DEC . 所以 /DEC DCE =20 , - A

3、BC BEC BCE =60 20 =80 . 法二：在 AC 上取點E，使得AE二AB，則由題意可知 CE =BD . 在 ABD 和 AED 中，AB =AE , - BAD =“EAD , AD =AD , 貝 U ABD 也 AED，從而 BD =DE , 進而有 DE =CE , - ECD “EDC , AED = ECD EDC 二 2 ECD . 注意到 ABD =/AED，則： 1 3 ABC ACB 二 ABC ABC ABC =180 -/BAC =120 , 2 2 故 ABC =80 . 【答案】見解析.資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 精品文檔 斷BE、CD

4、、BC 的數(shù)量關系，并加以證明.【解析】BE CBC , 理由是：在 BC 上截取BF =BE，連結 OF , 利用 SAS 證得 BEO QBF0 , 1=2 , 1 A =60 ,. BOC =90 ： _A=120 ， DOE =120 , 2 DOE =180，乙 AEO ADO =180 , 4 3 =180 , 2 4 =180，二 1 = 2 , 3-4, 利用 AAS 證得 CDO 旦 CFO , CD =CF , BC =BF CF =BE CD . 【答案】見解析. 分別是/ BAC、/ ABC 的角平分線，求證： BQ - AQ =AB - BP .【例2】 已知 AAB

5、C 中，.A =60 , BD、CE 分別平分.ABC 和.ACB , BD、CE 交于點 O，試判 【例 3】 如圖，已知在厶 ABC 內, ./BAC =60，乙 C =40 , P、Q 分別在 BC、CA 上，并且 AP、BQ 資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 精品文檔 【解析】延長 AB 至 D，使BD =BP，連 DP. 在等腰 ABPD 中，可得 BDP =40 , 從而 BDP =40 - ACP , ADP ACP (ASA ),故 AD = AC 又 /QBC =40 /QCB，故 BQ =QC , BD 二 BP . 從而 BQ AQ =AB BP . 【答案】見解

6、析. 【例 4】 如圖，在四邊形 ABCD 中，BC BA , AD 二 CD , BD 平分/ ABC，求證：ZA MC=180 . 【解析】延長 BA 至 F，使 BF 二 BC，連 FD BDF BDC ( SAS), 故 DFB - DCB , FD =DC 又 AD =CD，故在等腰 ABFD 中， DFB = DAF 故有 BAD BCD =180 【答案】見解析. Q 資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 1 精品文檔 【例 5】 點M , N 在等邊三角形 ABC 的AB邊上運動，BD 二 DC , . BDC =120 , . MDN =60，求 證：MN 二 MB NC

7、 . 【解析】延長 NC 至E，使得 CE 二 MB BDC 是等腰三角形，且 BDC =120 , DBC 二 DCB =30 / ABC 是等邊三角形. /ABC ACB ZBAC =60 上 MBD ZABC DBC EACB DCB ZDCN DCE =90 在 DBM 和 DCE 中，BD =DC , MB =CE , DBM 3：DCE. DE 二DM , 1= 2. 又 1 NDC =60 , 2+ NDC 二 END =60 . 在 MDN 與 EDN 中， ND =ND，/MDN ZEDN =60 , DE =DM MND 也 END MN =EN =NC MB 【答案】見解

8、析. 【例 6】 如圖在 ABC 中，AB AC , Z1 Z2 , P 為 AD 上任意一點，求證： AB - AC PB - PC . C 資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 精品文檔 D 資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 1 精品文檔 【解析】延長 AC 至 F，使AF二AB，連 PD ABPAFP (SAS) 故 BP =PF 由三角形性質知 PB PC =PF -PC CF =AF - AC =AB - AC 【答案】見解析. 【例 7】 如圖，四邊形 ABCD 中，AB/ DC , BE、CE 分別平分/ ABC、/ BCD，且點 E 在 AD 上.求 證：BC 二

9、AB DC . A 【解析】在 BC 上截取BF =AB，連接 EF BE 平分 /ABC,： ABE/FBE 又T BE=BE , :ABE 也/EBE (SAS),二 NA = BFE . TAB/CD , A D =180 BFE CFE =180，/D CFE 又 DCE _ FCE , CE 平分/ BCD, CE =CE z.ZDCE 也ECE (AAS ) , CD =CF BC 二 BF CF =AB CD 【答案】見解析.精品文檔 資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 【例 8】 如圖，點M為正方形 ABCD 的邊AB上任意一點，MN _ DM 且與/ ABC 外角的平分

10、線交于 點 N , MD與 MN 有怎樣的數(shù)量關系？ 【解析】猜測 DM 二 MN 在AD上截取 AG 二 AM , DG =MB ,/ AGM =45 /DGM 二/MBN =135，/ADM 二/NMB , DGM 也 MBN , DM =MN . 【答案】見解析. ABCD 是正方形，.FAD = FAE ,求證：BE DF 二 AE . 【解析】延長 CB 至M，使得BM =DF，連接AM AB=AD , AD 丄 CD , AB丄 BM , BM =DF ABM 也 ADF - AFD = AMB , - DAF = BAM / AB/ CD AFD 二 BAF 二 EAF BAE

11、二 BAE BAM 二 EAM AMB EAM , AE =EM =BE BM =BE DF 【答案】見解析. 【例 10】如圖所示，已知正方形 ABCD 中，M 為 CD 的中點，E 為 MC 上一點，且三BAE=2 DAM .求 證：AE =BC CE . 【例 9】已知：如圖, D C A M B E D C A M B E A D D M E C 精品文檔 資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 【解析】分析證明一條線段等于兩條線段和的基本方法有兩種: (1) 通過添輔助線“構造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和，再證所構造的線段與求證 中那一條線段相等. (2) 通過添輔助線先在

12、求證中長線段上截取與線段中的某一段相等的線段，再證明截剩的部分 與線段中的另一段相等我們用 (1)法來證明. 【答案】延長 AB到F，使 BF =CE，則由正方形性質知 AF 二 AB BF =BC - CE 下面我們利用全等三角形來證明 AE二AF 為此，連接 EF交邊 BC 于 G 由于對頂角 .BGF CGE，所以 Rt ABGF 也.CGE AAS , 1 從而 BG =GC BC , FG =EG , BG =DM 2 于是 Rt AABG 也 Rt AADM SAS , 1 所以 /BAG ZDAM BAE ZEAG , AG 是 /EAF 的平分線 2 【例 11】五邊形 ABC

13、DE 中，AB 二 AE , BC DE 二 CD , ABC . AED =180，求證：AD 平分/ CDE 【解析】延長 DE 至 F，使得 EF 二 BC，連接 AC. vZABC ： 4AED=180 , - AEF AED =180，復ABC AEF / AB =AE , BC 二 EF , ABC 也ZAEF EF =BC , AC =AF vBC DE =CD , CD =DE EF =DF z.ADC 也 zADF , ADC = ADF 即 AD 平分/CDE. F D M E C 精品文檔 【答案】見解析.精品文檔 資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 【例 12】若

14、P為 ABC 所在平面上一點，且.APB =/BPC =/CPA=120 ,則點P叫做.:ABC 的費馬點. (1) 若點P為銳角 MBC 的費馬點，且 NABC=60。, PA = 3 , PC =4，貝U PB的值為 _ (2) 如圖，在銳角 MBC 外側作等邊 AACB,連結BB. 求證：BB過.:ABC 的費馬點 P，且 BB PA PB PC . 【解析】(1) 2.3 (2)證明：在 BB上取點 P，使.BPC =120 , 連結AP，再在PB上截取 PE =PC，連結 CE . . BPC =120 , . EPC =60 , . ：PCE 為正三角形， PC 二 CE , .

15、PCE =60 , CEB 120 , / . ACB為正三角形， AC 二 BC , . ACB60 , 1PCA ZACE ZACE ZECB60 , 乙PCA ZECB, ACP B . BCE , 乙APC BCE=120 , PA = EB, 乙APB EAPC /BPC =120 , P為.=ABC 的費馬點， BB過 ABC 的費馬點P , 且 BB = EB PB PE 二 PA PB PC . 【答案】見解析. B 精品文檔 資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 課后復習 【作業(yè) 1】已知，AD 平分/ BAC, AC =AB - BD，求證：.B=2. C . 【解析】

16、延長 AB 至點 E,使 AE 二 AC，連接 DE AD 平分/ BAC ,乙 EAD CAD AE 二 AC , AD =AD , 公 ED zACD ( SAS), 乙 E ZC AC =AB BD , AE =AB BD AE=AB BE , BD=BE , BDE E vZABC BDE , /ABC =2 傘, /ABC =2% . 【答案】見解析. 【作業(yè) 2】如圖， ABC 中，AB =2AC , AD 平分/ BAC ,且AD =BD ,求證：CD 丄 AC . D 資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 【解析】在 AB 上取中點 F,連接 FD . 則AADB 是等腰三

17、角形，F(xiàn) 是底 AB 的中點，由三線合一知 DF 丄 AB,故.AFD =90 C 精品文檔 ADF ADC ( SAS) .ACD =. AFD =90 ，即：CD 丄 AC 【答案】見解析. 【作業(yè) 3】如圖所示， ABC 是邊長為1的正三角形，：BDC 是頂角為 120 的等腰三角形，以 D為頂點 作一個 60 的 MDN，點M、N 分別在 AB、AC 上，求 AAMN 的周長. 【解析】如圖所示，延長 AC 到E使 CE = BM 在 BDM 與 CDE 中，因為 BD =CD，/MBD ECD =90 , BM =CE , 所以=BDM 也:-CDE，故 MD =ED. 因為 BDC =120 , - MDN =60：，所以 BDM NDC =60 又因為 BDM = CDE，所以 MDN = EDN =60 在 MND 與 END 中，DN 二 DN , - MDN 二 EDN =60 , DM 二 DE , 所以 MND也 END，貝 U NE 二 MN，所以厶 AMN 的周長為2. 【答案】見解析. 資料收集