第1講　填空題中的“瓶頸題”

1、第1講填空題中的“瓶頸題”【突破填空題】第1講填空題中的“瓶頸題”(本講對應學生用書第7580頁)江蘇高考對填空題知識點的考查相對穩(wěn)定，共有14道，分值70分，填空題的得分多少，決定了整個試卷的成敗.我們應該堅持由易到難的做題順序，要確保填空題前10題正確.要突破填空題中的“瓶頸題”就必須在填空題后4題中有所收獲.解填空題時，要有合理的分析和判斷，要求推理、運算的每一個步驟都正確無誤，還要求將答案表達得準確、完整.合情推理、優(yōu)化思路、少算多思將是快速、準確地解答填空題的基本要求.數學填空題，解題的基本方法一般有：直接法；數形結合；特殊化(特殊值法、特殊函數法、特殊角法、特殊數列法、圖形特殊位置

2、法、特殊點法、特殊方程法、特殊模型法)；整體代換；類比、歸納；圖表等等.求解填空題的基本策略是要在“準”、 “巧”、 “快” 上下功夫. 要想又快又準地答好填空題，除直接推理計算外，還要講究解題策略，合理利用“數形結合”和“特殊化”等基本方法是關鍵.【解法概述】舉題說法解法概述直接法直接從題設條件出發(fā)，利用定義、定理、性質、公式等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結果的方法叫作直接法，它是解決客觀題的基本方法.熟悉有關定義、定理、性質、公式是運用直接法的基礎.例1(1) 已知集合A=x|lnx>0，B=x|2x4，則AB=.(2) 已知向量a=(1，2)，b=(0，1)，設m=a

3、+tb，n=2a-b，若mn，則實數t的值為.【分析】(1) 解不等式再求交集；(2) 運用向量垂直的條件計算.【答案】(1) (1，2(2) -【解析】(1) 由題可得A=x|x>1，B=x|x2，則AB=x|1<x2.(2) 由已知得m=a+tb=(1，2+t)，n=2a-b=(2，3)，故由mn可知1×2+(2+t)×3=0，所以t=-.數形結合法對于一些含有幾何背景的填空題，若能數中思形，以形助數，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結果.例1已知定義在R上的奇函數f(x)滿足當x>0時，f(x)=2 014x+log2 014x，則方程f(x)=

4、0的實根的個數為.【答案】3(例1)【解析】由題意可得，f(x)的零點個數即函數y=2 014x和y=-log2 014x的圖象的交點個數，在同一平面直角坐標系下分別作出y=2 014x，y=-log2 014x的圖象如圖所示，在(0，+)上，兩個圖象只有一個交點，即方程f(x)=0只有一個實根.再根據奇函數的性質可得f(0)=0，以及根據奇函數的圖象的對稱性可得，當x<0時，兩個圖象也有一個交點，即方程f(x)=0只有一個實根.綜上，在R上，函數f(x)零點的個數為3.【點評】f(x)零點個數即函數y=2 014x和函數y=-log2 014x的圖象的交點個數，數形結合可得在(0，+)

5、上，兩個圖象只有一個交點.再根據奇函數的性質可得當x<0時，兩個圖象也有一個交點，且f(0)=0，綜合可得結論.練習已知函數f(x)=設a>b0，若f(a)=f(b)，則b·f(a)的取值范圍是.【答案】(練習)【解析】作出f(x)的圖象如圖所示，當x=1時，f(1)=2-=.當y=時，由x+1=得x=，所以b<1，而f(a)<2，所以×b·f(a)<1×2，即b·f(a)<2，所以b·f(a)的取值范圍是.特例法當填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的不定量用

6、特殊值(或特殊函數、特殊角、特殊數列、特殊圖形、特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等)代替，即可以得到正確結果.特殊值法在解決填空題時有著獨特的優(yōu)勢.例1在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且+=6cos C，則+=.【答案】4(例1)【解析】方法一：(特殊值法)根據題意可知，a，b是等價關系，我們將題目中的a，b互換條件不變.因此，我們選用特殊圖形，構造銳角三角形ABC為等腰三角形，此時cos C=.不妨設a=b=3(如圖)，作ADBC垂足為D，所以CD=1，AD=2，所以tan C=2，tan A=tan B=，所以+=4.方法二：因為+=6cos C6abcos

7、C=a2+b2，所以6ab·=a2+b2a2+b2=，所以+=·=·=·=·=4.練習如圖，在三棱錐O-ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA>OB>OC，分別經過三條棱OA，OB，OC作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S1，S2，S3，則S1，S2，S3的大小關系為.(練習)【答案】S3<S2<S1(練習)【解析】要滿足各個截面使分得的兩個三棱錐體積相等，則需滿足與截面對應的交點E，F，G分別為中點即可.故可以將三條棱長分別取為OA=6，OB=4，OC=2，如圖，則可計算S1=，S2=，S3=，故S3

8、<S2<S1.等價轉化法通過“化復雜為簡單、化陌生為熟悉”，將問題等價地轉化成便于解決的問題，從而得出正確的結果.例1不論k為何實數，直線y=kx+1與曲線x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交點，則實數a的取值范圍是.【分析】直線y=kx+1恒過定點(0，1)，轉化為點(0，1)恒在圓的內部或邊界上即可滿足題意.【答案】-1，3【解析】由于直線y=kx+1恒過定點(0，1)，所以原題等價于點(0，1)恒在圓內或圓上，所以點(0，1)到圓x2+y2-2ax+a2-2a-4=0的圓心(a，0)的距離小于或等于半徑，即，解得-1a3，即a的取值范圍是-1，3.練習如圖，在棱長為2

9、的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別是AB，CD的中點，點G是EF上的動點，記A1B1G，C1D1G的面積分別為S1，S2，則S1+S2的最小值為.(練習)【答案】2【解析】設EG=x，則FG=2-x，0x2，則S1+S2=×2×+×2×=+，在平面直角坐標系中，它表示x軸上的點P(x，0)到M(0，2)與N(2，2)兩點的距離之和，而點M關于x軸的對稱點為M'(0，-2)，則S1+S2M'N=2.整體代入法將需要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體功能或作整體處理后，達到準確而又簡捷地解決問題的目

10、的方法叫作整體代入法.例1已知三棱錐的三個側面兩兩互相垂直，它們的側面積分別是6，4，3，那么該三棱錐的體積等于.【分析】由題意聯想到長方體，把三棱錐放置于長方體內，整體代入，解決問題.【答案】4(例1)【解析】由題意可聯想到長方體模型，如圖，設三條棱長分別為x，y，z，則xy=6，xz=4，yz=3，有xy=12，xz=8，yz=6，即(xyz)2=12×8×6=4×3×4×2×6=242，于是xyz=24，故所求體積V=xyz=4.練習設函數f(x)=的最大值和最小值分別為M，m，則M+m=.【答案】2【解析】f(x)=1+，則f

11、(x)-1=為奇函數，所以f(x)-1max+f(x)-1min=0M-1+m-1=0M+m=2.分析法根據題設條件的特征，如數值特征、結構特征、位置特征等，進行觀察、分析，從而得出正確的結論.例1如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，當底面四邊形滿足條件時，有A1CB1D1(填上你認為正確的一個條件即可，不必考慮所有可能性的情形).(例1)【分析】由所給的四棱柱為直棱柱知A1C1為A1C在平面A1B1C1D1上的射影，只需B1D1A1C1即可.【答案】B1D1A1C1【解析】因為四棱柱ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱，故A1C1為A1C在平面A1B1C1D1上的射影，從而要使A1

12、CB1D1，只需B1D1與A1C1垂直即可，故底面四邊形A1B1C1D1只需滿足條件B1D1A1C1即可.【專題突破】分類解密專題突破 簡易邏輯問題例1對于ABC，有如下四個結論：若sin2A=sin2B，則ABC為等腰三角形；若sinB=cosA，則ABC是直角三角形；若sin2A+sin2B>sin2C，則ABC是銳角三角形；若=，則ABC是等邊三角形.其中正確的結論個數是.【答案】 1【解析】不對，可能2A+2B=；不對，如B=120°，A=30°；不對，僅能說明C為銳角；對，由正弦定理可得sin=sin=sin，即A=B=C.【點評】本題主要使用了特殊值法.當

13、填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當的特殊值(或特殊函數、特殊角、特殊數列、特殊圖形、特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等)進行處理，從而得出探求的結論.這樣可大大地簡化推理、論證的過程.例2在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+b，bR與曲線x=相切的充要條件是.【答案】b=-【解析】易得=1，且b<0，即b=-.【點評】要理解必要不充分、充分不必要、充要條件的意義，準確判斷命題之間的相互關系.如果pq，p是q的充分條件，q是p的必要條件；如果pq且qp，p是q的充分不必要條件；

14、如果pq且qp，p是q的必要不充分條件，如果pq，p是q的充要條件.練習(2015·揚州中學)“M>N”是“l(fā)og2M>log2N”成立的條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)【答案】必要不充分【解析】因為當M>N時，不確定兩個數字的正負，不一定得到log2M>log2N，即前者不一定能推出后者；當log2M>log2N時，根據對數函數的單調性知有M>N，即后者可以推出前者，所以“M>N”是“l(fā)og2M>log2N”成立的必要不充分條件. 立體幾何中體積、面積的計算例1(2014·泰州期末)如圖

15、，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱AA1的中點.若AA1=4，AB=2，則四棱錐B-ACC1D的體積為.(例1)【答案】2【解析】方法一：過點B作BEAC，垂足為E，因為平面ABC平面ACC1A1，且平面ABC平面ACC1A1=AC，所以BE平面ACC1A1.又因為梯形ACC1D的面積為×(2+4)×2=6，所以=×6×=2.方法二：=3，而=××2，所以四棱錐B-ACC1D的體積為2.【點評】求幾何體體積的關鍵是找“高”，如果高是現存的，需要證明線面垂直，若題目中沒有高，往往是根據面面垂直的性質定理作出高，求三棱錐的體積也可

16、以采用等體積來轉化.例2如圖(1)，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M為線段BB1上的一動點，則當AM+MC1最小時，AMC1的面積為.(例2(1)【分析】本題中點M在線段BB1上移動時，MA和MC1兩者都在變化中，無法直接求出距離之和的最小值.在平面幾何中三角形兩邊之和大于第三邊，且當三點共線時，可以得到兩邊之和等于第三邊，故利用該特征將該三棱柱的側面展開轉化為平面幾何進行研究.【答案】(例2(2)【解析】將三棱柱側面展開后知，AM+MC1最小可以等價為在矩形ACC1A1中求AM+MC1的最小值.如圖(2)，當A，M，C1三點共線時，AM+MC1最

17、小.又AB=1，BC=2，所以AM=，MC1=2.又AC1=，所以cosAMC1=-，所以sinAMC1=.所以AMC1的面積為S=××2×=.【點評】立體幾何中相鄰兩個面之間的兩點間路徑距離最短問題，都可以轉化為平面幾何中兩點間距離最短，空間問題向平面問題轉化，使得問題簡化.練習1已知一圓柱的側面展開圖是長和寬分別為3和的矩形，則該圓柱的體積為.【答案】【解析】有兩種情況：圓柱的底面周長為3時，底面半徑為，圓柱體積V=r2h=；圓柱的底面周長為時，底面半徑為，圓柱體積V=r2h=.練習2設正四棱錐的側棱長為1，則其體積的最大值為.【答案】【解析】方法一：設正四棱

18、錐的底面邊長為x，則體積V=x2=，記y=t2(2-t)，t>0，利用導數可求得當t=時，ymax=，此時Vmax=.方法二：設正四棱錐的側棱與底面所成角為，則V=×2cos2×sin=(1-sin2)×sin，0<<，記y=(1-t2)t，0<t<1，利用導數可求得當t=時，ymax=，此時Vmax=. 三角形與三角函數問題例1(2015·大慶模擬)若滿足條件AB=，C=的ABC有兩個，則BC邊的長的取值范圍是.【答案】(，2)【解析】因為C=，AB=，設BC=a，則由正弦定理，得=，即=，解得sin A=，由題意得，當A

19、時，滿足條件的ABC有兩個，所以<<1，解得<a<2，則BC的取值范圍是(，2).【點評】由已知條件中C的度數，AB及BC的值，根據正弦定理用a表示出sin A，由C的度數及正弦函數的圖象可知滿足題意ABC有兩個A的范圍，然后根據A的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出sin A的范圍，進而求出BC的取值范圍.例2已知>0，函數f(x)=sin在上單調遞減，則的取值范圍是.【答案】【解析】函數f(x)=sin的圖象可看作是由函數f(x)=sin x的圖象先向左平移個單位長度得到f(x)=sin的圖象，再將圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的倍，縱坐標不變得到的，而函數

20、f(x)=sin，所以要使函數f(x)=sin在上是減函數，需滿足.例3(2015·成都外國語)已知函數f(x)=asin 2x+cos的最大值為1，則a=.【答案】0或【解析】因為函數f(x)=asin 2x+cos=sin 2x+cos 2x 的最大值為1，所以+=1，解得a=0或.【點評】研究三角函數的性質，一般先化成一個角的三角函數再進行解答，本意要注意應用asin x+bcos x的最值的結論進行作答.練習1若coscos(+)+sinsin(+)=-，是第二象限角，則tan2=.【答案】【解析】因為coscos(+)+sinsin(+)=cos(+-)=cos=-，且是第

21、二象限角，所以sin=，tan=-，所以tan2=.練習2在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2-b2=bc，sinC=2sinB，則A=.【答案】30°【解析】由sinC=2sinB及正弦定理得c=2b，代入a2-b2=bc，得a2-b2=b·2b=6b2，即a2=7b2，又c2=12b2，由余弦定理cosA=，又A(0°，180°)，所以A=30°. 函數的零點問題例1已知f(x)是以2為周期的偶函數，當x0，1時，f(x)=x，若在區(qū)間-1，3內，函數g(x)=f(x)-kx-k有4個零點，則實數k的取值范圍是.【答案】

22、【解析】當x-1，0時，-x0，1，所以f(-x)=-x=f(x).又因為f(x)的周期為2，所以根據數形結合有所以0<k.例2設函數f(x)=則函數y=f(f(x)-1的零點個數為.【答案】2【解析】令f(x)=t，函數y=f(t)-1的零點為t1=0，t2=2.由f(x)=0，得x1=1；由f(x)=2，得x2=4，故有2個零點.練習1設函數f(x)=則函數F(x)=xf(x)-1的零點的個數為.【答案】6【解析】由題意知，F(x)=xf(x)-1的零點，即函數f(x)與y=的圖象的交點.作出x(-，2)時函數f(x)的圖象，且f(0)=f(2)=0，f(1)=1，f=f=.(練習1

23、)當x2，+)時，f(4)=f(2)=0，f(6)=f(4)=0，依次類推，易得f(4)=f(6)=f(8)=f(2n)=0.又f(3)=f(1)=，同理，f(5)=f(3)=，f(7)=f(5)=，作出x2，+)的函數f(x)的圖象如圖所示，顯然零點共6個，其中左邊1個，右邊5個.練習2若函數f(x)滿足f(x+1)=f(x-1)，且當x-1，1時，f(x)=x2，則函數F(x)=f(x)-|log4x|的零點個數為.【答案】4(練習2)【解析】因為f(x+1)=f(x-1)，所以函數f(x)的周期為2，且x-1，1時，f(x)=x2，在同一平面直角坐標系中作出函數f(x)，y=|log4x

24、|(x>0)的圖象如圖所示，由圖象可知，交點個數是4，即F(x)的零點個數為4. 函數的性質問題例1(2014·淮安、宿遷摸底)已知函數f(x)=loga(0<a<1)為奇函數，且當x(-1，a時，函數f(x)的值域是(-，1，則實數a+b的值為.【答案】 【解析】由>0解得-b<x<1(b>0).又奇函數定義域關于原點對稱，故b=1，即f(x)=loga(0<a<1).又g(x)=-1+在x(-1，a上單調遞減，且0<a<1，故f(x)在x(-1，a上單調遞增.又因為函數f(x)的值域是(-，1，故g(a)=a，即a

25、2+a=1-a，解得a=-1，所以a+b=.【點評】本題易忽視奇函數的定義域對稱的條件，而不能求出b的值，從而使得題目無法繼續(xù)解下去.例2(2014·無錫期末)設函數f(x)=g(x)=asin x-a+2(a>0)，若存在x1，x20，1，使得f(x1)=g(x2)成立，則實數a的取值范圍為.【分析】先分別求出函數f(x)和g(x)的值域，再根據條件建立這兩個函數值域之間的關系并求出實數a的取值范圍.【答案】1，4【解析】對于函數f(x)，當x時，f(x)；當x時，f(x)，從而當x0，1，函數f(x)的值域為D1=0，1.對于函數g(x)，因為0x1，0x，0sinx，所以

26、2-aasin x-a+22-a，從而當x0，1時，函數g(x)的值域為D2=(a>0).因為存在x1，x20，1，使f(x1)=g(x2)，所以D1D2.若D1D2=，則2-a<0或2-a>1，解得0<a<1或a>4，所以當D1D2時，1a4，即所求實數a的取值范圍是1，4.【點評】本題求函數f(x)和函數g(x)的值域并不困難，關鍵在于先求D1D2=時，實數a的取值范圍，再用補集的思想求實數a的取值范圍，從而得到本題的最終答案，這種正難則反的思想希望同學們掌握.練習1對a，bR，記maxa，b=則函數f(x)=max|x+1|，-x2+1的最小值為.(練

27、習1)【答案】0【解析】由題意知函數f(x)是兩個函數y1=|x+1|，y2=-x2+1中的較大者，作出兩個函數在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則f(x)的圖象是圖中的實線部分，由圖象易知f(x)min=0.練習2已知函數f(x)=x3+2x，若對任意的t-3，3，f(tx-2)+f(x)<0恒成立，則x的取值范圍是.【答案】【解析】易知函數f(x)=x3+2x是R上的奇函數且單調遞增，f(tx-2)+f(x)<0可化為f(tx-2)<f(-x)，即tx-2<-x，問題變?yōu)間(t)=tx+x-2<0在區(qū)間-3，3上恒成立，故有解得-1<x<. 導

28、數的應用例1設函數f(x)=若f(0)是f(x)的最小值，則實數a的取值范圍是.【答案】(-，2【解析】由題意知，當x>0時，f(x)的極小值為f(1)=2；當x0時，f(x)的最小值為f(0)=a，所以f(0)是f(x)的最小值，則a2.例2若不等式|ax3-lnx|1對任意的x(0，1恒成立，則實數a的取值范圍是.【答案】【解析】令x=1，可得|a|1，即a-1或a1.令g(x)=ax3-lnx，g'(x)=3ax2-=.當a-1時，對任意的x(0，1，g'(x)=<0，g(x)在(0，1上單調遞減，g(x)min=g(1)=a-1，此時g(x)a，+)，|g(

29、x)|的最小值為0，不適合題意.當a1時，由g'(x)=0，解得x=，可知當x(0，1時，|g(x)|的最小值為g=+ln(3a)1，解得a.故所求實數a的取值范圍是.【點評】導數的運算與其它知識的綜合是常見考題，可以將導數的幾何意義與數列、方程、不等式恒成立、基本不等式等知識綜合，考查等價轉化、函數與方程、分離參數等數學思想方法.練習1當x-2，1時，若不等式ax3-x2+4x+30恒成立，則實數a的取值范圍是.【答案】-6，-2【解析】不等式ax3-x2+4x+30變形為ax3x2-4x-3.當x=0時，0-3，故實數a的取值范圍為R；當x(0，1時，a，記f(x)=，f'

30、(x)=>0，故函數f(x)單調遞增，則f(x)max=f(1)=-6，故a-6.當x-2，0)時，a，記 f(x)=，令f'(x)=0，得x=-1或x=9(舍去)，當x(-2，-1)時，f'(x)<0；當x(-1，0)時，f'(x)>0，故f(x)min=f(-1)=-2，則a-2，綜上，實數a的取值范圍為-6，-2.練習2設aR，若函數y=ex+ax，xR有大于零的極值點，則實數a的取值范圍為.【答案】(-，-1)【解析】利用導數將問題轉化為導函數在(0，+)有零點，再利用分離參數的方法求解.由條件可得y'=ex+a=0在(0，+)上有解，

31、所以a=-ex<-1.【點評】分離參數法，導數經常與函數有極值點、不等式恒成立等綜合應用，函數有極值點等價轉化為導函數等于0有解，而不等式恒成立又是通過分離參數轉化為函數最值問題，體現了導數的工具作用. 不等式與線性規(guī)劃例1(2014·福建卷)已知圓C：(x-a)2+(y-b)2=1，設平面區(qū)域=若圓心C，且圓C與x軸相切，則a2+b2的最大值為.(例1)【答案】37【解析】a2+b2即圓心(a，b)到原點O的距離的平方.作出不等式組表示的可行域如圖所示，則當圓心為A(6，1)時，OA最長，此時(a2+b2)max=62+12=37.例2已知函數f(x)=若|f(x)|ax在x

32、-1，1上恒成立，則實數a的取值范圍是.【答案】-1，0【解析】當x-1，0時，|f(x)|=2-x2ax，所以a=-1；當x(0，1時，|f(x)|=|3x-2|ax恒成立，作出圖象即可得a0，所以不等式在x-1，1上恒成立時，實數a的取值范圍是-1，0.【點評】分段函數是函數的熱點問題，將分段函數與解不等式、不等式恒成立等綜合又是最新命題熱點，需要利用分段函數的解析式將問題轉化為一般不等式問題，注意何時取交集、并集.練習1已知P(x，y)為函數y=x2-1(x>)圖象上一動點，記m=+，則當m最小時，點P的坐標為.【答案】(2，3)【解析】方法一：m=+=6+.當且僅當=，即x=2時

33、m取得最小值，此時點P的坐標為(2，3).方法二：m=+=6+.當且僅當=時，m取得最小值.以下同方法一.【點評】用基本不等式研究最值，具有重要意義，要注意構造應用基本不等式求最值的條件，同時要特別注意基本不等式應用的條件是否具備，特別是等號能否取到，而且還要在條件不滿足的情況下能夠求解或者轉化，如等號取不到時，要借助函數圖象，利用函數單調性求解最值等.練習2已知x>0，y>0，+=1，若x+2y>m2+2m恒成立，則實數m的取值范圍是.【答案】(-4，2)【解析】x+2y>m2+2m恒成立可知m2+2m<(x+2y)min，而x+2y=(x+2y)=4+4+4=

34、8，所以m2+2m<8，解得-4<m<2. 平面向量的應用問題例1(2014·天津卷)已知菱形ABCD的邊長為2，BAD=120°，點E，F分別在邊BC，DC上，BC=3BE，DC=DF.若·=1，則實數=.【答案】2(例1)【解析】建立如圖所示的直角坐標系，則A(-1，0)，B(0，-)，C(1，0)，D(0，)，E，F，所以=.因為·=1，所以-=1，解得=2.例2已知向量a，b滿足|a|=，|b|=1，且對一切實數x，|a+xb|a+b|恒成立，則a與b的夾角大小為.【答案】【解析】由|a+xb|a+b|，得(a+xb)2(a+b

35、)2，將上式展開化簡，得(2x-2)a·b+x2-10.設a與b的夾角大小為，由|a|=，|b|=1，得x2+2xcos -1-2cos 0對一切實數x恒成立，則=8cos2-4(-1-2cos )0，解得cos =-，所以=.練習1(2015·福建卷)已知，|=，|=t，若P是ABC所在平面內一點，且=+，則·的最大值為.【答案】13(練習1)【解析】以A為坐標原點，建立平面直角坐標系如圖所示，則B，C(0，t)，=(1，0)+4(0，1)=(1，4)，即P(1，4)，所以=(-1，t-4)，因此·=1-4t+16=17-，因為+4t2=4，所以

36、83;的最大值等于13，當=4t，即 t=時取等號.練習2(2015·天津卷)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60°，點E和點F分別在線段BC和CD上，且=，則·=.【答案】【解析】在等腰梯形ABCD中，由ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60°，得·=·=1，=，所以·=(+)·(+)=·=·+·+·=1+-=. 數列的應用問題例1(2014·蘇北四市期末)設等比數列an的前n項和為Sn，若a4，a3，a5成等差數列，且Sk=3

37、3，Sk+1=-63，其中kN*，則Sk+2=.【答案】129【解析】設等比數列an的公比為q，則由題意得2a3=a4+a5，也就是2a3=a3q+a3q2，即q2+q-2=0，解得q=1或q=-2.由于Sk=33，Sk+1=-63，所以q=1不合題意，舍去；當q=-2時，ak+1=Sk+1-Sk=-63-33=-96，從而ak+2=ak+1·q=-96×(-2)=192，所以Sk+2=Sk+1+ak+2=-63+192=129.例2已知數列an滿足3an+1+an=4(n1)，且a1=9，設其前n項之和為Sn，則滿足不等式|Sn-n-6|<的最小整數n=.【答案】7

38、【解析】由3an+1+an=4(n1)得(an+1-1)=-(an-1)，即an-1是以-為公比的等比數列，所以an=8+1，所以Sn=8·+n=6+n-6·<n7.即滿足不等式|Sn-n-6|<的最小整數n=7.練習1已知數列an滿足a1=m(m為正整數)，an+1=若a6=1，則m所有可能的取值為.【答案】4，5，32【解析】逆向思考，由a6=1得a5=2或0(舍去)，再由a5=2得a4=4或a4=(舍去)，再由a4=4得a3=1或a3=8.由a3=1得a2=2，則a1=4；由a3=8得a2=16或a2=(舍去)，由a2=16得a1=32或a1=5，所以a1

39、=4或a1=5或a1=32.練習2設Sn為數列an的前n項和，若不等式+m對任意等差數列an及任意正整數n恒成立，則實數m的最大值為.【答案】【解析】由+m+m，即5+2a1an+4m，式對任意正整數n恒成立，a1=0時顯然成立.當a10時，式化為5+2+14m，令=t，則式化為5t2+2t+14m，由題意，f(t)=5t2+2t+14m對任意的實數t恒成立，等價于f(t)min4m，而f(t)=5+，當t=-時，有f(t)min=，所以4m，m. 直線與圓例1已知P(x，y)是直線kx+y+4=0(k>0)上一動點，PA，PB是圓C：x2+y2-2y=0的兩條切線，A，B是切點，若四邊

40、形PACB的最小面積為2，則k的值為.【答案】2【解析】由圓的方程得x2+(y-1)2=1，所以圓心為(0，1)，半徑r=1，四邊形PACB的面積S=2SPBC，因為四邊形PACB的最小面積為2，所以SPBC的最小值為1，而SPBC=r·PB，即PB的最小值為2，此時PC最小為圓心到直線的距離，此時d=，即k2=4，因為k>0，所以k=2.例2已知圓C1：(x-2)2+(y-3)2=1，圓C2：(x-3)2+(y-4)2=9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則PM+PN的最小值為.【答案】5-4【解析】兩圓的圓心和半徑分別為C1(2，3)，C2(3，4)，r

41、1=1，r2=3且兩圓內含.C1：(x-2)2+(y-3)2=1關于x軸對稱的圓的方程為C3：(x-2)2+(y+3)2=1，圓心C3(2，-3)，所以PC1=PC3，所以動點P到圓心C3(2，-3)，C2(3，4)的距離之和的最小值為C2C3=5，所以PM+PN的最小值為C2C3-1-3=5-4.練習1已知點A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直線y=ax+b(a>0)將ABC分割成面積相等的兩部分 ，則實數b的取值范圍是.【答案】(練習1(1)【解析】設直線y=ax+b與直線BC：x+y=1的交點為D(xD，yD)，與x軸的交點為E，由題意可知，要平均分割三角形，則b>

42、0，所以點E只能處于x軸負半軸上，當點E在點A與原點之間時，如圖(1)可得DEB的面積為，聯立直線y=ax+b與直線BC：x+y=1，得yD=，所以有SBDE=BE·yD=·=，整理得a=>0，解得b<.當點E與點A(-1，0)重合時，如圖(2)所示，直線y=ax+b平分ABC的面積，必須過B，C的中點，此時可確定直線y=ax+b的方程為y=x+，此時b=. (練習1(2) (練習1(3)當點E處于點A左側時，如圖(3)所示，此時若直線y=ax+b平分ABC的面積，則0<a<1，0<b<1，且CDF的面積為，聯立直線y=ax+b與直線BC

43、：x+y=1得xD=，聯立直線y=ax+b與直線BC：y-x=1，得xF=，所以有SCDF=(1-b)(xD-xF)=(1-b)2=，a2=1-2(1-b)2>0，解得1-<b<1+.綜上所述，實數b的取值范圍為.練習2過點(3，1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為.【答案】2x+y-3=0【解析】方法一：設點P(3，1)，圓心為C，設過點P的圓C的切線方程為y-1=k(x-3)，由題意得=1，解得k=0或，即切線方程為y=1或4x-3y-9=0.聯立得一切點為(1，1).又因為kPC=，所以kAB=-=-2，即弦AB所在直線的方程為

44、y-1=-2(x-1)，整理得2x+y-3=0.方法二：設點P(3，1)，圓心為C，以PC為直徑的圓的方程為(x-3)(x-1)+y(y-1)=0，整理得x2-4x+y2-y+3=0，聯立兩式相減得2x+y-3=0. 圓錐曲線問題例1已知F1，F2為橢圓的兩個焦點，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點，若PF1PQ且PF1=PQ，則橢圓的離心率為.【分析】利用橢圓定義，再根據橢圓的幾何性質e=及已知條件，尋求a，b，c之間的關系，進而求出橢圓的離心率.(例1)【答案】-【解析】如圖，設PF1=m，則PQ=m，F1Q=m.由橢圓的定義得，PF1+PF2=QF1+QF2=2a，所以PF1+PQ+F1Q=

45、4a，即(+2)m=4a，所以m=(4-2)a.又PF2=2a-m=(2-2)a，在RtPF1F2中，P+P=(2c)2，即(2-2)2a2+(4-2)2a2=4c2，所以=9-6=3(-1)2，所以e=-.【點評】解答本題的關鍵是把已知條件轉化為a，b，c之間的關系.求橢圓的離心率e的值，即求的值，所以解答這類題目的主要思路是將已知條件轉化為a，b，c之間的關系，如特征三角形中三邊的關系、橢圓的定義、c2=a2-b2等關系都與離心率有直接聯系.例2已知橢圓C：+=1的左、右頂點分別為A1，A2，點P在橢圓C上且直線PA2的斜率的取值范圍為，那么直線PA1的斜率的取值范圍是.【答案】【解析】橢圓的左、右頂點分別為(-2，0)，(2，0)，設P(x0，y0)，則·=·=，而+=1，即=(4-)，所以·=-，所以=-.練習1設雙曲線-=1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線的右支上，且PF1=4PF2，則此雙曲線離心率的最大值為.【答案】【解析】因為PF1=4PF2，又因為PF1-PF2=2a，所以PF2=，PF1=.因為PF2c-a，所以c-a，所以e