全等三角形輔助線系列之一---角平分線類輔助線作法大全

1、資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝精品文檔全等三角形輔助線系列之一與角平分線有關(guān)的輔助線作法大全一、角平分線類輔助線作法角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等對于有角平分線的 輔助線的作法，一般有以下四種.1、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等：過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題；2、截取構(gòu)全等利用對稱性，在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；3、延長垂線段題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，構(gòu)成等腰三角形；4、做平行線：以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形有角平分線時，常

2、過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形.或通過一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形.通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形.至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件.圖四M圖一M圖M圖三資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝精品文檔典型例題精講【例 1】 如圖所示，BN 平分/ ABC, P 為 BN 上的一點(diǎn)，并且 PD 丄 BC 于 D, AB+ BC =2BD .求證：.BAP+ . BCP =180 .【解析】過點(diǎn) P 作 PE 丄 AB 于點(diǎn) E.VPE AB, PD 丄 BC,

3、 BN 平分/ABC,：PE二PD.在 Rt APBE 和 Rt APBC 中,BP 二 BPPE =PD，Rt z2PBE 細(xì) t BC ( HL),BE=BD./AB BC =2BD , BC 二 CD BD ,AB=BE -AE, AE 二 CD .PE 丄 AB, PD 丄 BC,. /PEB PDB =90 .在 AFAE 和 Rt APCD 中，PE =PDI gPEB 二.PDC ,AE =DCAE 織 t ACD，/PCB EAP .BAP -EAP=180 , BAP BCP =180 .【答案】見解析.資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請

4、聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝精品文檔【例 2】 如圖，已知：.A=90 , AD / BC, P 是 AB 的中點(diǎn)，PD 平分/ ADC,求證：CP 平分/ DCB.【解析】因為已知 PD 平分/ ADC，所以我們過 P 點(diǎn)作 PE 丄 CD，垂足為 E,貝 UPA二PE，由 P 是 AB的中點(diǎn)，得PB =PE，即 CP 平分/ DCB .【答案】作 PE 丄 CD，垂足為 E， PEC = A=90， PD 平分/ ADC，PA二PE，又 B = PEC =90，PB=PE，點(diǎn) P 在/ DCB 的平分線上， CP 平分/ DCB .【例 3】 已知：.AOB =90，OM 是/ AOB 的平分線，將三

5、角板的直角頂點(diǎn)P 在射線 OM 上滑動，兩直角邊分別與 OA、OB 交于 C、D .(1)PC 和 PD 有怎樣的數(shù)量關(guān)系是 _資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝精品文檔(2)請你證明(1)得出的結(jié)論.資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝精品文檔【解析】（1） PC = PD .(2)過 P 分別作 PE 丄 OB 于 E, PF 丄 OA 于 F , CFP - DEP =90 ,OM 是/AOB 的平分線，PE =PF, 1 FPD =90，且 AOB =90，二 FPE =90 , 二 2 FPD =90，二 1 =2, 在CFP 和 ADEP 中CPF DEPPF 二 PE,

6、 AZCFP 也 zDEP , PC =PD .1 = . 2【答案】見解析.【例 4】 如圖，OP 是/ MON 的平分線，請你利用該圖形畫一對以形請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題:（1）如圖，在 ABC 中，/ ACB 是直角，.B =60 , AD、CE 分別是/ BAC、/ BCA 的平分線，AD、CE 相交于點(diǎn) F，請你判斷并寫出 FE 與 FD 之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）；（2）如圖，在 ABC 中，.B =60，請問，在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立, 請證明；若不成立，請說明理由.【解析】如圖所示;(1)FE二FD.OP 所在直線為對稱軸的全等三角資料收集于網(wǎng)

7、絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝精品文檔(2)如圖，過點(diǎn) F 作 FG 丄 AB 于 G,作 FH 丄 BC 于 H，作 FK 丄 AC 于 K,AD、CE 分別是/BAC、/BCA 的平分線，二 FG 二 FH 二 FK ,在四邊形 BGFH 中，-GFH =360 -60 -902 =120 ,AD、CE 分別是/BAC、/BCA 的平分線， /B =60 ,1. FAC . FCA 180 -60=60 .在AFC 中， /AFC =180 :上 FAC FCA i=180 -60 =120 ,:上EFD ZAFC =120 ，乙 EFG ZDFH , 在 AEFG 和 ADFH 中,EFG

8、 二.DFH比 EGF 二.DHF , AZEFG 也QFH , FE =FDFG 二 FH【答案】見解析.1【解析】(1)得到 ACD =/ACB =30 后再可以證得 AD 二 AB 二AC，從而，證得結(jié)論；2(2)過點(diǎn) C 分別作 AM、AN 的垂線，垂足分別為 E、F，證得 CED BJCFB 后即可得到AD AB =AE _ED AF FB =AE AF，從而證得結(jié)論.【例 5】 已知.MAN =120 , AC 平分/ MAN，點(diǎn) B、D 分別在 AN、AM 上.(1)如圖 1，若 ZABC ZADC =90，請你探索線段 AD、AB、AC 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明 之；(2) 如圖

9、 2,若.ABC . ADC =180 ,則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立， 給出證明; 若不成立，請說明理由.資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝精品文檔【答案】（1 ）關(guān)系是：AD AB =AC .證明： AC 平分/MAN , MAN =120 CAD - CAB =60又.ADC 二 ABC =90 , ACD 二 ACB =301則 AD =AB =-AC （直角三角形一銳角為 30 ,則它所對直角邊為斜邊一半）2 AD AB =AC ;（2 ）仍成立.證明：過點(diǎn) C 分別作 AM、AN 的垂線，垂足分別為 E、FAC 平分/MANCE 二 CF （角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相

10、等） /ABC 4ADC =180 ， /ADCCDE =180 CDE ABC又 CED - CFB =90 ,z.JCED /CFB （AAS ）ED =FB,AD AB = AE -ED AF FB =AE AF由（1）知 AE AAC , AD AB =AC .【例 6】 如圖，在 ABC 中，.C =2. B , AD 平分/ BAC，求證： AB _ AC 二 CD .資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝精品文檔【解析】在 AB 上截取點(diǎn) E,使得 AE =AC .TAD 平分/ BAC,. EAD ZCAD ,ZADE zADC (SAS) . AED = C , ED 二

11、CD .TC =2 B,AED=2 B. AED =/BEDB,B =/EDB, BE =DE. CD 二 BE = AB -AE 二 AB - AC .【答案】見解析.【例 7】 如圖，ABC 中，AB = AC , A =108 ,BD平分.ABC 交 AC 于D點(diǎn).求證：B AC CD .【解析】在 BC 上截取E點(diǎn)使BE =BA，連結(jié)DE.TBD平分 ABC , . ABD = EBD.在ABD與EBD中TAB=EB,- ABD = EBD,BD = BDABD也EBD，/A ZDEBTAB=AE, BADBED, DEC =72 .又TADB =3618 =54 , CDE =72精

12、品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 . CDE 二.DEC , CD 二 CETBC =BE EC, -BC = AC CD【答案】見解析.【解析】在 DA 上截取 DN =DB，連接 NE, NF，貝 U DN =DC ,在 ADBE 和 ADNE 中：【例 8】 已知 ABC 中，.A =60，BD、CE 分別平分.ABC 和.ACB，斷BE、CD、BC 的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.【解析】在 BC 上截取一點(diǎn)F使得BF = BE,易證 BOE3、BOF ,在根據(jù).BOC =120 推出.BOE = COF =60，再證明.：OCF：OCD 即可.【答案】BC 二 BE CD .【

13、例 9】 如圖：已知 AD ABC 的中線，且 Z1 Z2，乙3 Z4，求證:BE CF EF .BD、CE 交于點(diǎn) O，試判精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝ZfDN =DB/ = .2ED =EDZDBE /DNE ( SAS), / BE =NE同理可得：CF =NF在AEFN 中，EN FN EF (三角形兩邊之和大于第三邊) BE CF EF .【答案】見解析.【例 10】已知：在四邊形 ABCD 中，BC BA , A . C =180，且.C =60 , BD 平分/ ABC,求證:BC =AB DC .【解析】在 BC 上截取BE =BA,BD 平分/ABC ,A

14、BD二EBD,在 ABAD 和 ABED 中，BA =BE；_ABD = EBD ,BD 二 BD./BADBAED, AD =DE,A二BED. BED DEC =180 , A C =180 .C精品文檔 C “DEC , DE =DC . DC =AD . C =60 ,.ZCDE 是等邊三角形,.DE =CD =CE，二 BC =BE CE =AB CD .【答案】見解析.【例 11】觀察、猜想、探究：在厶 ABC 中，.ACB=2. B.(1)如圖，當(dāng).C =90 , AD 為/BAC 的角平分線時，求證：AB = AC CD ;(2)如圖，當(dāng).C =90 , AD 為/ BAC 的

15、角平分線時，線段 AB、AC、CD 又有怎樣的數(shù)量 關(guān)系？不需要證明，請直接寫出你的猜想；(3)如圖，當(dāng) AD ABC 的外角平分線時，線段 AB、AC、CD 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請 寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明.【解析】(1)過 D 作 DE 丄 AB，交 AB 于點(diǎn) E,理由角平分線性質(zhì)得到 ED=CD，利用 HL 得到直角三角 形 AED與直角三角形 ACD 全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，得到 AE=AC ,ZAED ZACB，由/ACB =2EB，利用等量代換及外角性質(zhì)得到一對角相等，利用等角對等 邊得到BE二DE，由AB二AE * EB，等量代換即可得證；(2)A

16、B =CD - AC，理由為：在 AB 上截取 AG = AC，如圖 2 所示，由角平分線定義得到 一對角相等，再由AD =AD，利用 SAS 得到三角形 AGD 與三角形 ACD 全等，接下來同(1) 即可得證；圖圍圜資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝精品文檔(3)AB =CD - AC，理由為：在 AF 上截取 AG =AC，如圖 3 所示，同(2)即可得證.【答案】(1 )過 D 作 DE 丄 AB,交 AB 于點(diǎn) E,如圖 1 所示，VAD 為/BAC 的平分線，DC 丄 AC, DE 丄 ABDE 二 DC ,在 RtACD 和 Rt AED 中，AD = AD, DE = D

17、C ,RtKCD 職AAED(HL) ,/ AC =AE,ZACB =NAED, ACB =2 B ,AED=2B,又AED B EDB,B EDB,BE =DE =DC，貝UAB =BE AE =CD AC ;(2)AB =CD - AC，理由為：在 AB 上截取 AG 二 AC，如圖 2 所示，VAD 為/BAC 的平分線， ZGAD ZCAD ,| AG = AC 在kDG 和AADC 中，！ GAD =. CADAD 二 AD ZADG 也 zADC ( SAS), CD =CG，厶AGD =ACB ,VZACB =2 ZB , 4AGD =2B ,又VAGDMBGDB，三 B GDB

18、 , BE =DG =DC，貝UAB =BG AG =CD AC ;(3)AB =CD -AC，理由為：在 AF 上截取 AG =AC，如圖 3 所示，TAD 為/FAC 的平分線， GAD 二 CAD ,在ADG 和AADC 中，AG =AC丿/GAD - CAD ,.ADGADC ( SAS),AD =AD資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝精品文檔CD 二 GD , - AGD 一 ACD，即 ACB 一 FGD ,VACB =2 B , FGD =2 B，又VFGD = B GDB , B= GDB , BG 二 DG 二 DC，貝UAB 二 BG - AG 二 CD - AC .

19、【例 12】 如圖所示， 在 ABC 中， .ABC =3. C , AD 是/ BAC 的平分線， BE 丄 AD 于 F. 求證： BE =1 AC - AB .【解析】延長 BE 交 AC 于點(diǎn) F.則 AD 為/BAC 的對稱軸，BE 丄 AD 于 F ,點(diǎn) B 和點(diǎn) F 關(guān)于 AD 對稱，1BE 二 EF BF ,AB=AF,ABF二 AFB.2 ABF + FBC - ABC =3 C , - ABF - AFB - FBC+ C , FBC + C+ FBC =3 C , FBC = C , FB 二 FC ,11 1 BE FC AC AF ACAB ,2 2 21BE AC

20、AB .2【答案】見解析.資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝精品文檔精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝【例 13】如圖，已知： ABC 中 AD 垂直于/ C 的平分線于 D, DE / BC 交 AB 于 E.求證：EA=EB.【解析】由 AD 垂直于/C 的平分線于 D，可以想到等腰三角形中的三線合一，于是延長 AD 交 BC 與點(diǎn)F，得 D 是 AF 的中點(diǎn)，又因為 DE/BC，由三角形中位線定理得EA = EB.【答案】延長 AD 交 BC 與點(diǎn) F,CD 平分ZACF , /1 Z2，又 AD 丄 CD ,從 DC 迫 FDC , AD=FD,又/DE /BC,

21、EA=EB .【例 14】已知：如圖，在 ABC 中，.ABC =3. C , . 1 二/2, BE 丄 AE.求證： AC-AB=2BE .【解析】延長 BE 交 AC 于 M ,BE 丄 AE , AEB AEM =90在AABE 中，/ 13 AEB =180 ,- 3 =90 _ 1精品文檔12, 34 ,ABAM資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝精品文檔BE 丄 AE,.BM =2BE, AC - AB =AC -AM =CM , 2 是厶 BCM 的外角， 4 - C ABC =3 C , ABC = 3 5= 45 3 C = 45 =2 5 C , 5 = CCM =B

22、M , AC - AB =BM =2BE【答案】見解析.【例 15】如圖，已知 AB =AC , / BAC =90 , BD 為/ ABC 的平分線，CE 丄 BE,求證：BD =2CE .A【解析】延長 CE，交 BA 的延長線于點(diǎn) F .BD 為/ABC 的平分線，CE 丄 BE, ZBEF 也 ZBEC,. BC 二 BF , CE = FE . BAC =90 , CE 丄 BE,. ABD = ACF ,又 AB 二 AC，岔 BD 旦 ZACF, BD =CF . BD =2CE .【答案】見解析.資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪

23、除謝謝精品文檔精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝課后復(fù)習(xí)【作業(yè) 1】如圖所示，在AABC 中，BP、CP 分別是/ ABC 的外角的平分線，求證：點(diǎn) P 在/ A 的平分線上.【解析】過點(diǎn) P 作 PE 丄 AB 于點(diǎn) E, PG 丄 AC 于點(diǎn) G, PF 丄 BC 于點(diǎn) F.因為 P 在/EBC 的平分線上，PE 丄 AB, PH 丄 BC,所以PE = PF.同理可證 PF =PG .所以 PG =PE ,又 PE 丄 AB, PG 丄 AC,所以 P 在/A 的平分線上,【答案】見解析.【作業(yè) 2】已知：如圖， AB=2AC，/ BAD ZCAD ,DA=DB，求證：DC 丄 AC.C資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝精品文檔1【解析