魚的簡諧運(yùn)動(dòng)

1、魚的鋸齒狀游動(dòng)能量消耗模型隊(duì)長-王翠 隊(duì)員-袁靜 楊瑞 數(shù)科院數(shù)學(xué)一班 A班摘 要： 由日常生活觀察可知魚在水中的運(yùn)動(dòng)不是水平游動(dòng)，而是突發(fā)性、鋸齒狀地向上游動(dòng)和向下滑行,根據(jù)最優(yōu)進(jìn)化理論可知，該種運(yùn)動(dòng)方式應(yīng)消耗能量最小。本文通過對(duì)比魚的鋸齒狀運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)耗能多少對(duì)該理論進(jìn)行證明。魚的能量消耗可以通過對(duì)抗阻力做功體現(xiàn)，由做功兩大要素，力和力的方向上的位移，可以求出魚在游動(dòng)過程中的能量消耗。由題，魚在向下滑行時(shí)的阻力是在運(yùn)動(dòng)方向上的分力，向上游動(dòng)時(shí)所需的力是凈重在運(yùn)動(dòng)方向分力與游動(dòng)所受阻力之和，而游動(dòng)的阻力又與滑行阻力成正比，因此魚在游動(dòng)中所受的阻力可以通過力的合成分解理論和力的平衡知識(shí)求出；

2、再根據(jù)三角函數(shù)等知識(shí)求出游動(dòng)距離，即為游動(dòng)位移，便可得出魚的能量消耗；魚的鋸齒狀運(yùn)動(dòng)也存在一個(gè)最優(yōu)角度使得魚的能量消耗最小，通過幾何和物理學(xué)知識(shí)可以求解。關(guān)鍵詞：鋸齒狀；阻力；最小耗能 一、問題的提出由于在長期進(jìn)化過程中，魚類選擇的運(yùn)動(dòng)方式是鋸齒狀運(yùn)動(dòng)，因此猜測該運(yùn)動(dòng)方式應(yīng)為最省能量的方式，需要加以研究予以論證。在相同水平位移下，需要研究魚的兩種不同的運(yùn)動(dòng)路線，即直線運(yùn)動(dòng)和鋸齒狀運(yùn)動(dòng)，對(duì)其能量消耗進(jìn)行對(duì)比，才能說明鋸齒狀運(yùn)動(dòng)是否節(jié)省能耗，節(jié)省多少，以及如何確定運(yùn)動(dòng)角度達(dá)到最優(yōu)節(jié)省能源。二、問題的重述與分析為了研究魚在水中的運(yùn)動(dòng)情況，必然要分析魚的受力，包括所受力的大小及個(gè)數(shù)。設(shè)魚總是以常速運(yùn)動(dòng)

3、，魚在水中凈重，向下滑行時(shí)的阻力是在運(yùn)動(dòng)方向上的分力，向上游動(dòng)時(shí)所需的力是在運(yùn)動(dòng)方向分力與游動(dòng)所受阻力之和，而游動(dòng)的阻力是滑行阻力的倍，可以假設(shè)魚的受力平衡，建立力的坐標(biāo)系，通過力的合成與分解，討論在魚的運(yùn)動(dòng)方向上的各阻力的大小。在明確魚運(yùn)動(dòng)過程中的阻力大小后，為求沿折線A、C、B運(yùn)動(dòng)消耗的能量與沿水平線A、B運(yùn)動(dòng)消耗的能量之比，可以將能量消耗模擬為魚對(duì)抗阻力所做的功，再根據(jù)做功等于力和力方向上的位移乘積，再進(jìn)一步求出直線運(yùn)動(dòng)的距離，即為力方向上的位移。求出不同運(yùn)動(dòng)情況的能量消耗后，即可得出直線運(yùn)動(dòng)和鋸齒運(yùn)動(dòng)能量消耗的比值。在前兩問的基礎(chǔ)上，再對(duì)魚的鋸齒狀運(yùn)動(dòng)模型加以分析可知，魚運(yùn)動(dòng)的不同角度

4、也會(huì)影響能量消耗，鋸齒狀運(yùn)動(dòng)時(shí)，魚的路線與水面有兩個(gè)夾角，為研究兩角的影響，可以先假設(shè)一角一定，研究該具體情況下另一角的最優(yōu)解。通過對(duì)鋸齒狀圖像的幾何分析，結(jié)合相關(guān)物理學(xué)知識(shí)求最優(yōu)解。三、問題的假設(shè)(1)假設(shè)魚總是以常速作直線運(yùn)動(dòng)。(2)假設(shè)水是靜止不動(dòng)的，不考慮水流對(duì)魚運(yùn)動(dòng)的影響。(3)假設(shè)魚生理運(yùn)動(dòng)的能量消耗不計(jì)。(4)不考慮魚在游動(dòng)過程中的突發(fā)情況。四、符號(hào)表示（1） ： 魚在水中的凈重（2） ： 向下滑行時(shí)的阻力（3） ： 向上游動(dòng)所受阻力（4） ： 水平方向游動(dòng)時(shí)的阻力（5） ： 下滑時(shí)與水平方向的夾角（6） ： 上游時(shí)與水平方向的夾角（7） ： 游動(dòng)的阻力是滑行阻力的倍，水平方向游

5、動(dòng)時(shí)的阻力也是滑行阻力的 倍。（8） ： 魚沿折線A、C 、B運(yùn)動(dòng)消耗的能量（9） ： 魚沿水平線A、B運(yùn)動(dòng)消耗的能量（10） ： 魚沿折線A、C 、B運(yùn)動(dòng)消耗的能量與魚沿水平線A、B運(yùn)動(dòng)消耗的能量之比（11） ： 向上游動(dòng)時(shí)所需的力（12） ： C到AB的距離五、模型建立與求解5.1 問題（一）設(shè)魚在水中總是以常速運(yùn)動(dòng)，魚在水中的凈重為魚的重力與水的浮力之差。如圖1所示，BAC 圖1 魚的游動(dòng)受力分析圖對(duì)魚的運(yùn)動(dòng)做受力分析，即得向下滑行的阻力 ；游動(dòng)所受阻力 ；水平方向游動(dòng)時(shí)的阻力 ；向上游動(dòng)時(shí)所需的力 。5.2 問題（二） 當(dāng)魚從A點(diǎn)到達(dá)處于同一平面的B點(diǎn)時(shí)，分別求出魚沿折線A、C 、B運(yùn)

6、動(dòng)消耗的能量與魚沿水平線A、B運(yùn)動(dòng)消耗的能量，計(jì)算比值。魚運(yùn)動(dòng)過程中消耗的能量等于阻力與阻力方向位移的乘積，通過分別對(duì)AC 、BC方向受力的分析，向下滑行不消耗能量，因?yàn)橄蛳禄袝r(shí)魚所受的阻力與魚的凈重在運(yùn)動(dòng)方向的分力等大反向，相互抵消。所以魚沿折線A、C 、B運(yùn)動(dòng)消耗的能量即為AC方向上消耗的能量，即： ；代入 得 ；魚沿水平線A、B運(yùn)動(dòng)消耗的能量為：；代入 得 ；所以 。5.3 問題（三）據(jù)實(shí)際觀察，在問題（二）求比值的過程中，得到；在上式中，計(jì)算消耗能量的最小值問題可轉(zhuǎn)化為對(duì)的求導(dǎo)問題，對(duì)求導(dǎo)，因?yàn)榉帜笧槌Ａ?，又轉(zhuǎn)化為對(duì)求導(dǎo)，即令得出結(jié)果為根據(jù)消耗能量最小的準(zhǔn)則，對(duì)不同的值估計(jì)最佳的值。

7、如表1所示：表1 值所對(duì)最佳值表六、模型評(píng)價(jià)與反思該模型將魚簡化為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行受力分析，有效的簡化了模型；再結(jié)合相關(guān)的物理學(xué)和數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)魚的兩種運(yùn)動(dòng)路線進(jìn)行數(shù)據(jù)比較，根據(jù)控制變量的思想，使其在水平方向上有相同位移，討論路線不同的情況，使能量消耗與路線建立直接關(guān)系，有說服力；在討論最優(yōu)角度時(shí)，把握關(guān)鍵因素對(duì)問題的影響，建立合理的模型，得到了和的關(guān)系式，使模型應(yīng)用更加簡便。反思模型，過于理想化，首先，魚不可能嚴(yán)格按照勻速直線運(yùn)動(dòng)；其次，魚的各個(gè)部位的運(yùn)動(dòng)情況有較大差別，比如魚頭和魚尾，因此將魚簡化成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)不太合適；再者，在生活中，水速也是有變化的，對(duì)魚的游動(dòng)速度會(huì)有推動(dòng)或阻礙的作用，需要加以考慮

8、。七、模型推廣與應(yīng)用7.1 模型推廣考慮到模型存在的不足，對(duì)模型進(jìn)行以下的完善和推廣，設(shè)水對(duì)魚的力為，并設(shè)其為常量，其他條件不變，則分類討論水的流向，有圖2和圖3兩種情況：BAC圖2 水向?yàn)樗较蛴褺AC圖3 水向?yàn)樗较蜃?當(dāng)水向如圖2所示時(shí)：在問題（1）中，對(duì)魚的運(yùn)動(dòng)做受力分析，即得向下滑行的阻力 ；游動(dòng)所受阻力 ；水平方向游動(dòng)時(shí)的阻力 ；向上游動(dòng)時(shí)所需的力 。在問題（2）中，魚沿折線A、C 、B運(yùn)動(dòng)消耗的能量仍為在AC方向上消耗的能量，即： ；代入 得 ；魚沿水平線A、B運(yùn)動(dòng)消耗的能量為：；代入 得 ；故 。當(dāng)水向如圖3所示時(shí)：在問題（1）中，對(duì)魚的運(yùn)動(dòng)做受力分析，即得向下滑行的阻力 ；游動(dòng)所受阻力 ；水平方向游動(dòng)時(shí)的阻力 ；向上游動(dòng)時(shí)所需的力 。在問題（2）中，魚沿折線A、C 、B運(yùn)動(dòng)消耗的能量仍為在AC方向上消耗的能量，即： ；代入 得 ；魚沿水平線A、B運(yùn)動(dòng)消耗的能量為：；代入 得 ；故 。7.2 模型應(yīng)用該模型在日常生活有實(shí)際意義，比如人在水中游泳時(shí)，可以借鑒魚的游動(dòng)模型，借助外力節(jié)省能量；魚雷等水下游動(dòng)工作的機(jī)器，在能源不足等情況