小學(xué)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)便運(yùn)算和巧算(1)15頁(yè)

1、 小學(xué)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)便運(yùn)算和巧算 數(shù)的加減乘除有時(shí)可以運(yùn)用運(yùn)算定律、性質(zhì)、或數(shù)量間的特殊關(guān)系進(jìn)性較快的運(yùn)算這就是簡(jiǎn)便運(yùn)算。（一）其方法有： 一：利用運(yùn)算定律、性質(zhì)或法則。(1) 加法：交換律，a+b=b+a, 結(jié)合律，(a+b)+c=a+(b+c).(2) 減法運(yùn)算性質(zhì)：a-(b+c)=a-b-c, a-(b-c)=a-b+c, a-b-c=a-c-b, (a+b)-c=a-c+b=b-c+a.(3):乘法：（與加法類似）：交換律，a*b=b*a, 結(jié)合律，（a*b）*c=a*(b*c), 分配率，（a+b）xc=ac+bc, (a-b)×c=ac-bc.(4) 除法運(yùn)算性質(zhì)：（與減法類似）

2、，a÷(b×c)=a÷b÷c, a÷（b÷c)=a÷bxc, a÷b÷c=a÷c÷b, (a+b)÷c=a÷c+b÷c, (a-b)÷c=a÷c-b÷c. 前邊的運(yùn)算定律、性質(zhì)公式很多是由于去掉或加上括號(hào)而發(fā)生變化的。其規(guī)律是同級(jí)運(yùn)算中，加號(hào)或乘號(hào)后面加上或去掉括號(hào)，。后面數(shù)值的運(yùn)算符號(hào)不變。例1:283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600。（運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律）。 減號(hào)或除號(hào)

3、后面加上或去掉括號(hào)，后面數(shù)值的運(yùn)算符號(hào)要改變。例2： 657-263-257=657-257-263=400-263=147.（運(yùn)用減法性質(zhì)，相當(dāng)加法交換律。）例3： 195-（95+24）=195-95-24=100-24=76 （運(yùn)用減法性質(zhì)）例4; 150-(100-42)=150-100+42=50+42=92. (同上)例5： （0.75+125）×8=0.75×8+125×8=6+1000=1006. (運(yùn)用乘法分配律)例6：（ 125-0.25）×8=125×8-0.25×8=1000-2=998. (同上)例7： （1

4、.125-0.75）÷0.25=1.125÷0.25-0.75÷0.25=4.5-3=1.5。（ 運(yùn)用除法性質(zhì)）例8: (450+81)÷9=450÷9+81÷9=50+9=59. (同上，相當(dāng)乘法分配律)例9： 375÷（125÷0.5）=375÷125*0.5=3*0.5=1.5. (運(yùn)用除法性質(zhì))例10： 4.2÷（0。6×0.35）=4.2÷0.6÷0.35=7÷0.35=20. (同上)例11： 12×125×0.25

5、5;8=(125×8)×(12×0.25)=1000×3=3000. (運(yùn)用乘法交換律和結(jié)合律)例12: (175+45+55+27)-75=175-75+(45+55)+27=100+100+27=227. (運(yùn)用加法性質(zhì)和結(jié)合律）例13：（48×25×3）÷8=48÷8×25×3=6×25×3=450. (運(yùn)用除法性質(zhì), 相當(dāng)加法性質(zhì))（5）和、差、積、商不變的規(guī)律。1： 和不變：如果a+b=c,那么，（a+d）+(b-d)=c, 2: 差不變：如果 a-b=c, 那么，

6、（a+d）-(b+d)=c, (a-d)-(b-d)=c3: 積不變：如果a*b=c, 那么,(a*d)*(b÷d)=c, 4: 商不變：如果 a÷b=c, 那么， （a*d）÷(b*d)=c, (a÷d)÷(b÷d)=c.例14： 3.48+0.98=（3.48-0.02）+（0.98+0.02）=3.46+1=4.46,。（和不變）例15： 3576-2997=（3576+3）-（2997+3）=3579-3000=579。 （差不變）例16： 74.6×6.4+7.46×36=7.46×64+7.4

7、6×36=7.46×(64+36)=7.46×100=746.(積不變和分配律）例17: 12.25÷0.25 =(12.25*4)÷(0.25*4)=49÷1=49. (商不變)。二：拆數(shù)法：（1）湊整法，19999+1999+198+6=（19999+1）+(1999+1)+(198+2)+2 =22202 (2)利用規(guī)律，7.5×2.3+1.9×2.5-2.5×0.4=7.5×(0.4+1.9)+1.9×2.5 -2.5×0.4 =7.5×0.4+7.5

8、15;1.9+1.9×2.5-2.5×0.4=0.4×(7.5-2.5)+1.9×(7.5+2.5)=2+19=21.2. 1992×20052005-2005×19921992=1992×2005×(10000+1)-2005×1992×(10000+1)=0三：利用基準(zhǔn)數(shù)：2072+2052+2062+2042+2083=（2062x5）+10-10-20+21=10311四：改變 順序，重新組合。 （1）： （215+357+429+581）-（205+347+419+571）=215+3

9、57+429+581-205-347-419-571 =（215-205）+（429-419）+（357-347）+（581-571）=40 （2）：（378×5×25）×(4×0.8÷3.78)=378×5×25×4×0.8÷3.78=(378÷3.78)×(25×4)x(5×0.8) =100x100x4=40000 ， 五：1：求等差連續(xù)自然數(shù)的和。當(dāng)加數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí) ， 有：和=中間數(shù)x個(gè)數(shù)。 當(dāng)加數(shù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，有：和=（首+尾）x個(gè)數(shù)的一半。

10、(1):3+6+9+12+15=9*5=45, (2):1+2+3+4+10=(1+10)*10÷2=55. 2:求分?jǐn)?shù)串的和。 因?yàn)?/n-1/n+1=1/n(n+1), 1/n+1/n+1=n+(n+1)/n(n+1).所以： （1）：1/42+1/56+1/72+1/90+1/110=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11 =1/6-1/11=5/66 （2）：5/6-7/12+9/20-11/30+13/42-15/56+。+41/400-43/460 =（1/2+1/3）-（1/3+1/4）+（1/4+1/5）-（1/5+1/6

11、）+（1/6+1/7）-（1/7+1/8） 。+（1/20+1/21）-（1/21+1/22）=1/2-1/22=5/11 3：變形約分法。求：（1.2+2.3+3.4+4.5）÷（12+23+34+45）的值。因?yàn)榉帜父黜?xiàng)是分子各項(xiàng)的10倍。所以有：原式=0.1六：設(shè)數(shù)法：求（1+0.23+0.34）*（0.23+0.34+0.65）-（1+0.23+0.34+0.65）*（0.23+0.34） 的值。 設(shè)a=0.23+0.34 . b=0.23+0.34+0.65.原式=（1+a）*b-(1+b)*a =b+ab-a-ab=b-a=(0.23+0.34+0.65)-(0.23+0

12、.34)=0.65.（二）：巧算的方法：除運(yùn)用上面所說(shuō)的簡(jiǎn)便方法外，最重要的是抓住題目（特別是應(yīng)用題）中的數(shù)量關(guān)系，充分利用邏輯推理，變解法不明為解法明確，把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題，以小見(jiàn)大，以少見(jiàn)多，以簡(jiǎn)馭繁。從而達(dá)到巧算的目的。一：利用數(shù)的整除特征和某些特殊規(guī)律。 特殊問(wèn)題來(lái)求解。重在一個(gè)“巧”。 （1）：一個(gè)三位數(shù)連續(xù)寫(xiě)兩次得到的六位數(shù)一定能被7、11、13整除。為什麼？ 解;六位數(shù)abcabc=abc×1000+abc=abc×1001. 1001=7×13×11. 六位數(shù)abcabc必能被7、11、13整除。 （2）：六位數(shù)865abc能被3、

13、4、5整除，當(dāng)這個(gè)數(shù)最小時(shí)，a,b,c各是數(shù)字幾？ 解 ：因?yàn)樵摂?shù)能被4,5整除,b,c必都是零，要使該數(shù)能被3整除，它各位數(shù)字和應(yīng)能 被3整除，a只能是2。所以a,b,c分別是2 ,0 ,0。 （3）：化簡(jiǎn)：（1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1）÷（888888×888888） =8×8÷(888888×888888)=1÷（111111×111111）=1/12345654321. (因?yàn)椋?1*11=121,111*111=12321,1111*1111=1234321,所以。 )二：估算法：

14、求：a=1÷(1/1992+1/1993+1/1994+1/2003)的整數(shù)部分。 解：用一般通分求他得值太繁瑣，可巧用“放縮法”估算。 假定除數(shù)部分各加數(shù)都是1/1992， 則a=1÷(12/1992)=166。 若除數(shù)部分各加數(shù)都是1/2003，則a=1÷(12/2003)=166+11/12 所以它的整數(shù)部分是166。三：正難則反法。直接求解困難時(shí)，換個(gè)角度從反面求解。 （1）：除了本身，合數(shù)7854321的最大因數(shù)是多少？一般想法是將其分解質(zhì)因數(shù)求之，但 這個(gè)數(shù)很大，做起來(lái)很繁瑣。巧解：先求它的最小因數(shù)，再通過(guò)“除”求它的最大因數(shù)。 因?yàn)樵摂?shù)各位數(shù)字和能被

15、3 整除，所以這個(gè)數(shù)的最小因數(shù)是3，最大因數(shù)是：7854321÷3=261807。（2）：某廠人數(shù)在90-110之間，做工間操排隊(duì)時(shí)，站3列正好；站5列少2人；站 7列少4人，這廠有多少人？解： 按所給數(shù)值正面求解很難，若換個(gè)角度從反面做，把它轉(zhuǎn)化為：該廠工人站 3列多3人；站5列多3人；站7列多3人求這廠人數(shù)的問(wèn)題。即求比3，5,7的 最小公倍數(shù)多3的數(shù)是多少。【3,5,7】=105， 105+3=108人。這廠有108人。四：慎密的邏輯推理：（1）：幼兒園的小朋友分餅干，每人分5塊，則差27塊。每人分4塊，正好分完。這個(gè) 幼兒園有多少小朋友？分了多少餅干？ 解：一般用方程法： 設(shè)

16、有x個(gè)小朋友。5x-4x=27, x=27. 餅干為：27×4=108塊。 巧解：每人分4塊，正好分完，每人多分一塊（5塊）差27塊，說(shuō)明小朋友 為：27÷1=27個(gè)，餅干為：27×4=108塊 (2):某商店有兩個(gè)柜臺(tái)，甲臺(tái)比乙臺(tái)的磁帶少120盒，各賣(mài)出164盒后，乙剩下的是甲 剩下的3倍，求原來(lái)兩臺(tái)各有多少盒磁帶？ 一般用方程法：設(shè)甲剩x臺(tái)，乙剩3x臺(tái). (3x+164)-(x+164)=120, x=60,3x=180. 甲原有：60+164=224盒， 乙原有180+164=344盒。 推理巧解：因?yàn)橘u(mài)出的數(shù)量相等，所以賣(mài)出后甲仍比乙少120盒，乙是甲的3

17、倍， 這就轉(zhuǎn)化為差倍問(wèn)題了。120÷（3-1）=60。60×3=180. 甲原有：60+164=224盒， 乙原有：180+164=344盒 (3):甲乙兩人進(jìn)行騎車比賽，當(dāng)甲騎到全程的7/8時(shí)，乙騎到全案程6/7，這時(shí)兩人相 距140米。如果兩人的速度不變，當(dāng)甲騎到終點(diǎn)時(shí)，兩人相距多少？ 解：一般方法：7/8:6/7=49:48.140÷（7/8-6/7）=7840 ，7840:x=49:48, x=7680 7840-7680=160米 推理巧解思路：直接求甲到終點(diǎn)時(shí)比乙多走多少米。甲走7/8時(shí)比乙多走140米 甲走1/8時(shí)比乙多走140/7=20米。所以甲走

18、8/8（全程）時(shí)， 比乙多走140+20=160米（4）：求分母為40以內(nèi)所有自然數(shù)的真分?jǐn)?shù)的和。1/2+（1/3+2/3）+（1/4+2/4+3/4） +（1/5+2/5+3/5+4/5）+。+39/40解：用通分法求和很繁瑣。通過(guò)分析數(shù)量關(guān)系可知，每個(gè)加數(shù)乘以2，可順次得到1、2 、3、4/。39。所以，(20×39)÷2=390 即為所求。 （5）：一正方形，當(dāng)豎邊減少20%，橫邊增加2米時(shí)，得到的長(zhǎng)方形面積與原正方形面積相等，求原正方形面積。 解：一般思路：因?yàn)檎叫蚊娣e=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)。所以應(yīng)先求邊長(zhǎng)。. 用方程解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)度，則面積為一個(gè)單

19、位面積。長(zhǎng)方形的 寬為：1×(1-20%)=80%個(gè)單位長(zhǎng)度，長(zhǎng)為：一個(gè)單位面積÷80%個(gè)單位長(zhǎng)度=1.25 個(gè)單位長(zhǎng)度， 與2米對(duì)應(yīng)的單位長(zhǎng)度為：1.25-1=0.25個(gè)單位長(zhǎng)度。所以正方 形邊長(zhǎng)（一個(gè)單位長(zhǎng)度）=2÷0.25=8米，正方形面積=8x8=64平方米。很繁瑣。 巧解思路：因豎邊減少20%，在原圖形上減少的面積與后來(lái)因橫邊增加2米，增 加的面積相等。 所以設(shè)原正方形邊長(zhǎng)為x米，則： 20%x × x=80%x ×2 x=8米。 正方形面積=8×8=64平方米. （6）：某班有40名學(xué)生，考數(shù)學(xué)時(shí)有2人缺考，這38人平均分

20、數(shù)是89，這2名學(xué)生 補(bǔ)考后，兩人的平均成績(jī)比全班40人的平均成績(jī)多9.5分，這兩人的平均成績(jī) 是多少？ 解：一般從求平均數(shù)的共識(shí)考慮，用方程解：設(shè)這兩人的平均成績(jī)?yōu)閤,則： x-(89*38+2x)÷40=9.5, x=99. 推理巧解（抓住平均就是移多補(bǔ)少的實(shí)質(zhì)）。這兩人的平均分?jǐn)?shù)比全班平均分 數(shù)多9.5分，把9.5×2=19補(bǔ)給38名學(xué)生，每人增加0.5分，所以這兩人平均 分 數(shù)為：89+0.5+9.5=99。五：注意一般解法的特殊形式：（1）：求平均數(shù)的一般方法:公式法，平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)。但當(dāng)份數(shù)相等時(shí)， 巧解法： 平均數(shù)=（第一份數(shù)量+第二份數(shù)量+

21、。+第n份數(shù)量） ÷份數(shù)。 如： 某人晨練，第一個(gè)5分鐘的速度是100米/分，第二個(gè)5分鐘的速度是110米/分， 求他這10分鐘內(nèi)的平均速度 一般解法：平均數(shù)=（100×5+110×5）÷(5+5)=105米/分 因?yàn)椤胺輸?shù)”相同，可巧解：平均數(shù)=（100+110）÷2=105米/分。 （2）：甲（帶著一條狗）乙兩人同時(shí)從相距100千米的兩地出發(fā)相向而行，甲速度為6千米/小時(shí)，乙速為4千米/小時(shí)， 狗速為10千米/小時(shí)，狗碰到乙時(shí)就掉頭朝甲走來(lái)，碰到甲時(shí)又朝乙跑去。直到甲乙兩人相遇。這狗走了多少米？ 解：若分段求出狗與甲、與乙、與甲、與乙。相遇

22、時(shí)走的路程，再加起來(lái)是很困難的。 一般巧解方法是：從整體考慮，狗走的時(shí)間就是甲乙相遇用的時(shí)間，所以狗走的時(shí)間 =100÷（4+6）=10小時(shí)， 狗走的路程=10×10=100千米. 這還不算巧，更巧的方法是：從題意可知：甲乙速度和=狗速，并且走的時(shí)間相同，所以，甲乙共走的路程就=狗走的路程=100千米。 總的來(lái)看，“巧解”就是在一題多解情況下的最佳選擇。 （三） 總練習(xí)題（用簡(jiǎn)便方法計(jì)算1-16題，用多種方法計(jì)算17-30題，并指出最巧方法。 1730題只給出巧解答案。） （1）925-28-72+75 （2）（64×125)÷(16×28)

23、(3)12.348÷25 (4) 55× 55/56 (5)3.8+3.75+3.85+3.75 (6)123454321÷（55555×55555） （11×11=121, 111×111=12321, 1111×1111=1234321.) (7)18×5/7-5×4/7 (8)999×222+333×334 (9)(4.8×7.5×8.1)÷(2.4×2.7÷4) (10)8.3×64+1.7×65 （11）1

24、2.5*(36-7.2)÷3.6 (12)43*11.8+860*0.91 (13)(9+2/7+7+2/9)÷(5/7+5/9) (14)1/2+1/6+1/12+1/20+1/30 （15） （1+1/2+1/3+。+1/1999）×（1/2+1/3+1/4+。 +1/2000）-(1+1/2+1/3+.+1/2000)×(1/2+1/3+1/4.+1/1999) （15）4327-98 （16）求：5+10+15+20+。+200的和 （17）比較9/10和11/12的大小。（提示：有比較分子、比較分母、比較與1的差、比較它們的倒數(shù)、變成整數(shù)比較

25、和用真分?jǐn)?shù)特點(diǎn)比較等方法。但最巧的比較方法是用“規(guī)律”比較：分子分母都相差 1時(shí)，分母大的分?jǐn)?shù)大。） （18）比較：2222221/2222223和3333331/3333334的大小。（提示：巧法是先比較他們與1的差。） （19）某廠工人植樹(shù)，若每人植5棵，剩50棵，若每人植6棵，差40棵。這廠有多少工人？他們共植多少棵樹(shù)？ 巧解：由題意可知，每人多種1棵，就多種50+40=90棵，所以這場(chǎng)工人有90÷1=90人， 共植5*90+50=500棵。 （20）張老師用216元買(mǎi)鋼筆獎(jiǎng)勵(lì)學(xué)生，若每支便宜1元，可多買(mǎi)3支，鋼筆原價(jià)是多少？ 巧解：因?yàn)榭們r(jià)=單價(jià)×數(shù)量，所以把216

26、分解成兩個(gè)數(shù)相乘有2和108 、3和72 、4和54 、6和36 、8和27 、 9和24。根據(jù)題意，從后兩組數(shù)可知每支筆原價(jià)是9元。 （21）王華和李明在銀行都有存款，原來(lái)王比李少1/6，每人捐出20元后，李比王多25%，兩人原來(lái)存款各是多少？ 巧解：由王比李少1/6可知 ；李存款是他兩存款差的6倍，由李比王多25%可知，捐出20元后李存歀是他兩存款差的5倍，捐款前后“差”不變，李捐出20元后，自己的錢(qián)變成“差”的5倍，所以“差”是20元。 李原有錢(qián)為20*6=120元 。王原有錢(qián)120-20=100元。 (22)甲乙兩消防隊(duì)共有338人，從甲隊(duì)調(diào)出1/3，從乙隊(duì)調(diào)出1/7的和是78人，甲乙

27、兩隊(duì)各有多少人？ 巧解：假設(shè)甲乙調(diào)出的人數(shù)都擴(kuò)大到3倍，則共調(diào)出78×3=234，原消防隊(duì)只剩乙隊(duì)的4/7，所以原乙消防隊(duì)有：（338-234）÷4/7=182人，原甲隊(duì)有338-182=156人。 （23）猴吃桃，第一天吃了全部的1/9，第二天吃余下的1/8，第三天吃又余下的1/7。第八天吃余下的1/2，第九天吃了一個(gè)正好吃完，原有桃多少個(gè)？ 巧解：從題意可知：每天都吃了總數(shù)的1/9，（第二天吃8/9×1/8=1/9,第三天吃7/9*1/7=1/9.),所以桃子總數(shù)為：1÷1/9=9個(gè)。 (24)媽媽給上衣縫紐扣，若每天縫15件，比規(guī)定日期晚2天，每天縫18件，就可提前3天，這批上衣是多少件？ 巧解：按工程問(wèn)題做：（2+3）÷（1/15-1/18）=450件。 （25）：一架飛機(jī)的燃料最多可用6小時(shí)，飛機(jī)去時(shí)順風(fēng)，速度為1500千米/小時(shí)，返回時(shí)逆風(fēng)，速度為1200千米/小時(shí)，飛機(jī)最多飛出多 遠(yuǎn)就要往回飛？ 巧解：按工程問(wèn)題（相遇問(wèn)題）思路來(lái)解答。按題意轉(zhuǎn)化為往返多少千米用6小時(shí)。6÷（1/1500+1/1200）=4000千米。 （26）：某人賣(mài)商品，第一天按11元/個(gè)的利潤(rùn)賣(mài)出10個(gè)，第二天是五一，按5元/個(gè)的利潤(rùn)賣(mài)出11個(gè)，兩天賣(mài)出的總價(jià)（營(yíng)業(yè)總額）相同，求該商品的進(jìn)價(jià)？ 巧解：因?yàn)榭們r(jià)=（利潤(rùn)+