高三數(shù)學復習圓錐曲線定點定值問題

1、圓錐曲線中的定點定值問題定點問題1. （江蘇2008 ） 設(shè)平面直角坐標系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C求：（）求實數(shù)b 的取值范圍；（）求圓C 的方程；（）問圓C 是否經(jīng)過某定點（其坐標與b 無關(guān)）？請證明你的結(jié)論【解析】本小題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓的方程的求法解：（）令0，得拋物線與軸交點是（0，b）；令，由題意b0 且0，解得b1 且b0（）設(shè)所求圓的一般方程為令0 得這與0 是同一個方程，故D2，F(xiàn)令0 得0，此方程有一個根為b，代入得出Eb1所以圓C 的方程為.（）圓C 必過定點（0，1）和（2，1）證明如下：將（0，1）代入圓C 的方程，

2、得左邊012×0（b1）b0，右邊0，所以圓C 必過定點（0，1）同理可證圓C 必過定點（2，1）BNMPAO2. （本小題滿分16分）如圖：已知是圓與軸的交點，為直線上的動點，與圓的另一個交點分別為.（1） 若點坐標為，求直線的方程；（2） 求證:直線過定點.解（1）直線PA方程為 , 由解得,2分直線PB的方程 ,由解得,4分所以的方程6分(2)法一：設(shè),則直線PA的方程為,直線PB的方程為得，同理10分直線MN的斜率12分直線MN的方程為,化簡得： 14分所以直線過定點16分法二：設(shè)，即,兩邊平方得：，整理得即（1）,設(shè)的方程為，代入中得，得代入(1)式得，即.當，或（舍）當時

3、，直線即為直線AB，所以直線過定點.3. （本小題滿分16分）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+y2r2和直線l：xa（其中r和a均為常數(shù)，且0 < r < a），M為l上一動點，A1，A2為圓C與x軸的兩個交點，直線MA1，MA2與圓C的另一個交點分別為P、Q （1）若r2，M點的坐標為(4，2)，求直線PQ方程； （2）求證：直線PQ過定點，并求定點的坐標【解】（1）當r2，M(4，2)，則A1(2，0)，A2(2，0).直線MA1的方程：x3y+2=0，解得2分直線MA2的方程：xy2=0，解得 4分由兩點式，得直線PQ方程為：2xy2=0 6分（2）證法一：由題設(shè)得

4、A1(r，0)，A2(r，0) .設(shè)M(a，t)，直線MA1的方程是：y = (x+r)，直線MA1的方程是：y = (xr) 8分解得10分解得 12分于是直線PQ的斜率kPQ，直線PQ的方程為 14分上式中令y = 0，得x，是一個與t無關(guān)的常數(shù).故直線PQ過定點 16分證法二：由題設(shè)得A1(r，0)，A2(r，0) .設(shè)M(a，t)，直線MA1的方程是：y=(x+r)，與圓C的交點P設(shè)為P(x1，y1) 直線MA2的方程是：y=(xr)；與圓C的交點Q設(shè)為Q(x2，y2) 則點P(x1，y1) ，Q(x2，y2)在曲線(a+r)yt(x+r)(ar)yt(xr)=0上， 10分化簡得 (

5、a2r2)y22ty(axr2)+t2(x2r2)0 又有P(x1，y1) ，Q(x2，y2)在圓C上，圓C：x2+y2r20t2×得 (a2r2)y22ty(axr2)t2(x2r2) t2( x2+y2r2)0，化簡得：(a2r2)y2t(axr2) t2 y0所以直線PQ的方程為(a2r2)y2t(axr2)-t2 y0 14分在中令y = 0得 x = ，故直線PQ過定點16分ABOF4. （江蘇2010 18）（16分）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左右頂點為A,B，右焦點為F，設(shè)過點T（）的直線TA,TB與橢圓分別交于點M，其中m>0,（1）設(shè)動點P滿足,求點

6、P的軌跡（2）設(shè)，求點T的坐標（3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關(guān)）解析：解：由題意可得：，（1）設(shè)要求的點，因所以 即（2）因為，所以可以求出，所以直線：，直線：從而點的坐標為（3），則直線：，即直線：，即將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立可得：由韋達定理可得：，從而求出將代入則直線的方程有：，所以同理可以求出從而直線：，即，顯然直線必恒過軸上的定點5. (2012北京理19)已知曲線（1）若曲線是焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍；（2）設(shè)，曲線與軸的交點為，（點位于點的上方），直線與曲線交于不同的兩點，直線與直線交于點，求證：，三點共線解：（1）原曲線方程可化簡得：由題意可得：

7、，解得：（2）由已知直線代入橢圓方程化簡得：，解得：由韋達定理得：，設(shè)，方程為：，則，欲證三點共線，只需證，共線即成立，化簡得：將代入易知等式成立，則三點共線得證OMNF2F1yx（第4題）6. 如圖，橢圓過點，其左、右焦點分別為，離心率，是橢圓右準線上的兩個動點，且（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值；（3）以為直徑的圓是否過定點？請證明你的結(jié)論解:（1），且過點， 解得 橢圓方程為 4分設(shè)點 則，又， 的最小值為10分圓心的坐標為，半徑.圓的方程為，整理得：.16分， 令，得，. 圓過定點.16分7. （本小題滿分16分） 已知圓：交軸于兩點，曲線是以為長軸，直線l：為準線的橢圓（1）求橢

8、圓的標準方程；（2）若是直線l上的任意一點，以為直徑的圓與圓相交于兩點，求證：直線必過定點，并求出點的坐標；（3）如圖所示，若直線與橢圓交于兩點，且，試求此時弦的長解：（）設(shè)橢圓的標準方程為，則：，從而：，故,所以橢圓的標準方程為。4分（）設(shè)，則圓方程為 與圓聯(lián)立消去得的方程為， 過定點。 8分 （）解法一：設(shè)，則, ，即： 代入解得：（舍去正值）， ，所以，從而圓心到直線的距離，從而， 16分8. (2012福建理19)如圖，橢圓E：的左焦點為，右焦點為，離心率，過的直線交橢圓于兩點，且的周長為8（）求橢圓E的方程（）設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線相交于點Q試

9、探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由解：解法一：(1)因為|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8，又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，所以4a8，a2.又因為e，即，所以c1，所以b.故橢圓E的方程是1.(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡得4k2m230.(*)此時x0，y0kx0m，所以P.由得Q(4,4km)假設(shè)平面內(nèi)存在定點M滿足條件，由圖形對稱性知，點

10、M必在x軸上設(shè)M(x1,0)，則·0對滿足(*)式的m、k恒成立因為，(4x1,4km)，由·0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130.(*)由于(*)式對滿足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11.故存在定點M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M.解法二：(1)同解法一(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡得4k2m230.(*)此時x0，y0kx0m，所以P.由得Q(4,4km)假設(shè)平面內(nèi)存在定點M滿足條件，由圖形對稱性知，點

11、M必在x軸上取k0，m，此時P(0，)，Q(4，)，以PQ為直徑的圓為(x2)2(y)24，交x軸于點M1(1,0)，M2(3,0)；取k，m2，此時P，Q(4,0)，以PQ為直徑的圓為22，交x軸于點M3(1,0)，M4(4,0)所以若符合條件的點M存在，則M的坐標必為(1,0)以下證明M(1,0)就是滿足條件的點：因為M的坐標為(1,0)，所以，(3,4km)，從而·330，故恒有，即存在定點M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M.解法三：(1)同解法一（）由對稱性可知設(shè)與 直線 （*） （*）對恒成立， 得9. （本小題滿分16分）在平面直角坐標系中，橢圓C：過點（1）求橢

12、圓C的方程；（2）已知點在橢圓C上，F(xiàn)為橢圓的左焦點，直線的方程為求證：直線與橢圓C有唯一的公共點；若點F關(guān)于直線的對稱點為Q，求證：當點P在橢圓C上運動時，直線PQ恒過定點，并求出此定點的坐標10. （本題滿分16分）已知左焦點為F(1，0)的橢圓過點E(1，)過點P(1，1)分別作斜率為k1，k2的橢圓的動弦AB，CD，設(shè)M，N分別為線段AB，CD的中點（1）求橢圓的標準方程；（2）若P為線段AB的中點，求k1；（3）若k1+k2=1，求證直線MN恒過定點，并求出定點坐標解：依題設(shè)c=1，且右焦點(1，0)所以，2a=，b2=a2c2=2，故所求的橢圓的標準方程為 4分(2)設(shè)A(，)，B

13、(，)，則，得 所以，k1= 9分(3)依題設(shè)，k1k2設(shè)M(,)，直線AB的方程為y1=k1(x1)，即y=k1x+(1k1)，亦即y=k1x+k2，代入橢圓方程并化簡得 于是， 11分同理，當k1k20時，直線MN的斜率k=13分直線MN的方程為，即 ，亦即 此時直線過定點 15分當k1k2=0時，直線MN即為y軸，此時亦過點綜上，直線MN恒過定點，且坐標為 16分11. （本小題滿分16分）由題意得 ，所以，又，2分消去可得，解得或（舍去），則，所以橢圓的方程為4分（）設(shè)，則，因為三點共線，所以， 所以，8分因為在橢圓上，所以，故為定值10分（）直線的斜率為，直線的斜率為,則直線的方程為

14、，12分=，所以直線過定點 16分12. (2102 福建文21)如圖，等邊三角形的邊長為，且其三個頂點均在拋物線上（I）求拋物線的方程；（II）設(shè)動直線與拋物線相切于點，與直線相交于點證明以為直徑的圓恒過軸上某定點本小題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想 解：依題意=，,設(shè)，則，因為點在上，所以，解得所以拋物線E的方程為(2)由（1）知, 設(shè)，則，并且的方程為，即由 得所以設(shè),令對滿足的，恒成立由于，由于,得，即 （*）由于（*）對滿足的恒成立，所以解得 故以為直徑的圓恒過

15、軸上的定點解法二 (1)同解法一（2）由（1）知,設(shè)，則，并且的方程為，即由 得所以取=2，此時P(2，1)，Q(0，-1)，以PQ為直徑的圓為，交y軸于點（0,1）或（0，-1）；取=1，此時，以PQ為直徑的圓為，交y軸于或故若滿足條件得點M存在，只能是以下證明點就是所要求的點因為，故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M13. 已知定點在拋物線：（0）上，動點且求證：弦必過一定點【解析】設(shè)所在直線方程為：與拋物線方程聯(lián)立，消去得設(shè)，則 由已知得，即 式可化為，即將代入得，直線方程化為：直線恒過點定值問題：14. 過拋物線：（0）的焦點作直線交拋物線于兩點，若線段與的長分別為，則的值必等于_解法

16、1：（特殊值法）令直線與軸垂直，則有：，所以有解法2：（參數(shù)法）如圖1，設(shè)，且，分別垂直于準線于，圖1拋物線（0）的焦點，準線來源:Zxxk.Com ：又由，消去得， 15. 已知過點的動直線與圓相交于兩點，是中點，與直線相交于(1)求證：當與垂直時，必過圓心;(2)當時，求直線的方程;(3)探索是否與直線的傾斜角有關(guān)?若無關(guān)，請求出其值；若有關(guān)，請說明理由解：(1)與垂直，且故直線方程為即圓心坐標（0，3）滿足直線方程，當與垂直時，必過圓心(2)當直線與軸垂直時，易知符合題意當直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為即，則由，得，直線 故直線的方程為或(3)當與軸垂直時，易得 則又，當?shù)男甭蚀嬖跁r，

17、設(shè)直線的方程為則由得 則綜上所述，與直線的斜率無關(guān)，且(3)另法：設(shè)直線AC交直線m于H,易得ACm. AH=與直線的斜率無關(guān)，且16. 過拋物線（0）上一定點0），作兩條直線分別交拋物線于，求證：與的斜率存在且傾斜角互補時，直線的斜率為非零常數(shù)【解析】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為由 相減得，故 同理可得， 由傾斜角互補知： 由 相減得， 直線的斜率為非零常數(shù)17. (2012湖南理21)在直角坐標系中，曲線上的點均在圓：外，且對上任意一點， 到直線的距離等于該點與圓上點的距離的最小值.(1)求曲線的方程；(2)設(shè)為圓外一點，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點和.證明：當在直線上運動時，四點

18、的縱坐標之積為定值.解（1）解法1 ：設(shè)的坐標為，由已知得，易知圓上的點位于直線的右側(cè).于是，所以.化簡得曲線的方程為.解法2 ：由題設(shè)知，曲線上任意一點到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，故其方程為.（2）當點在直線上運動時，的坐標為，又，則過且與圓相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為即.于是整理得 設(shè)過所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程的兩個實根，故 由得 設(shè)四點的縱坐標分別為，則是方程的兩個實根，所以 同理可得 于是由，三式得.所以，當在直線上運動時，四點的縱坐標之積為定值6400.18. （2012江蘇19）如圖

19、，在平面直角坐標系中，橢圓的左右焦點分別為，。已知點（1，e）和都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率（1） 求橢圓的方程；（2） 設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點P。 （i）若，求直線的斜率 （ii）求證：是定值19. (2012 上海理22)在平面直角坐標系中，已知雙曲線：（1）過的左頂點引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及軸圍成的三角形的面積；（2）設(shè)斜率為1的直線交于、兩點，若與圓相切，求證：；（3）設(shè)橢圓：，若、分別是、上的動點，且，求證：到直線的距離是定值【點評】本題主要考查雙曲線的概念、標準方程、幾何性質(zhì)及其直線與雙曲線的關(guān)系、橢圓的標準方程和

20、圓的有關(guān)性質(zhì).特別要注意直線與雙曲線的關(guān)系問題，在雙曲線當中，最特殊的為等軸雙曲線，它的離心率為，它的漸近線為，并且相互垂直，這些性質(zhì)的運用可以大大節(jié)省解題時間，本題屬于中檔題 解：(1)雙曲線C1：y21，左頂點A，漸近線方程：y±x.過點A與漸近線yx平行的直線方程為y，即yx1.解方程組得所以所求三角形的面積為S|OA|y|.(2)設(shè)直線PQ的方程是yxb，因直線PQ與已知圓相切，故1，即b22.由得x22bxb210.設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則又y1y2(x1b)(x2b)，所以·x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b22

21、0.故OPOQ.(3)當直線ON垂直于x軸時，|ON|1，|OM|，則O到直線MN的距離為.當直線ON不垂直于x軸時，設(shè)直線ON的方程為ykx，則直線OM的方程為yx.由得所以|ON|2.同理|OM|2，設(shè)O到直線MN的距離為d，因為(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2.所以3，即d.綜上，O到直線MN的距離是定值20. 已知橢圓：的離心率為，且過點，設(shè)橢圓的右準線與軸的交點為，橢圓的上頂點為，直線被以原點為圓心的圓所截得的弦長為求橢圓的方程及圓的方程；若是準線上縱坐標為的點，求證：存在一個異于的點，對于圓上任意一點，有為定值；且當在直線上運動時，點在一個定圓上解：，又過點,解得橢

22、圓方程：直線的方程為，則圓心到直線的距離圓的半徑圓的方程：.右準線的方程為，由題可設(shè)定點與的比值是常數(shù)并且不同于，是正常數(shù)并且不等于1，即將代入有，有無數(shù)組，從而解得：（舍去）或于是定值為：，又代入得于是，故在圓心，半徑為的定圓上.21. 已知橢圓E：的左焦點為F，左準線l與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過坐標原點O，設(shè)G是圓C上任意一點（）求圓C的方程；（）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；（）在平面上是否存在一點P，使得？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由解：(1) 知：圓C的方程為（4分）22. (本小題滿分16分)已知和點.（）

23、過點向引切線，求直線的方程；（）求以點為圓心，且被直線截得的弦長為4的的方程；Mxyo·（）設(shè)為（）中上任一點，過點向引切線，切點為Q. 試探究：平面內(nèi)是否存在一定點，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由. 解：（）設(shè)切線方程為 ，易得，解得3分 切線方程為 5分（）圓心到直線的距離為 7分設(shè)圓的半徑為，則 9分的方程為 10分（）假設(shè)存在這樣的點，點的坐標為，相應(yīng)的定值為，根據(jù)題意可得，12分即 （*），又點在圓上，即，代入（*）式得： 14分若系數(shù)對應(yīng)相等，則等式恒成立，解得，可以找到這樣的定點，使得為定值. 如點的坐標為時，比值為；點的坐標為時

24、，比值為16分23. (2012遼寧理20) 如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動圓，點分別為的左，右頂點，與相交于A，B，C，D四點 ()求直線與直線交點M的軌跡方程; ()設(shè)動圓與相交于四點，其中， 若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值24. (2012 江西理20)已知三點，曲線上任意一點滿足（1）求曲線的方程；（2）動點在曲線上，曲線在點處的切線為問：是否存在定點，使得與都相交，交點分別為，且與的面積之比是常數(shù)？若存在，求的值；若不存在，說明理由解：(1)由(2x,1y)，(2x,1y)，得|，·()(x，y)·(0,2)2y，由已知得2y2，化簡得曲線C的方程：x24

25、y.(2)假設(shè)存在點P(0，t)(t<0)滿足條件，則直線PA的方程是yxt，PB的方程是yxt.曲線C在Q處的切線l的方程是yx，它與y軸交點為F.由于2<x0<2，因此1<<1.當1<t<0時，1<<，存在x0(2,2)使得，即l與直線PA平行，故當1<t<0時不符合題意當t1時，1<，1>，所以l與直線PA，PB一定相交分別聯(lián)立方程組解得D，E的橫坐標分別是xD，xE，則xExD(1t).又|FP|t，有SPDE·|FP|·|xExD|·.又SQAB·4·，于是··.對任意x0(2,2)，要使為常數(shù)，則t