人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)角平分線的性質(zhì)

1、動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)思維教案教材版本:人教版學(xué) 校：教師年級(jí)八年級(jí)授課時(shí)間年 月 日課時(shí)2課時(shí)課題第五講一角平分線的性質(zhì)教材分析本節(jié)上要講角平分線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，其中一知角平分線作輔助線的方法也是一個(gè)重點(diǎn)，例3,例4師重點(diǎn)講解，其余例題 以學(xué)生生生互動(dòng)為主導(dǎo)，師適當(dāng)引導(dǎo)為主.本講類似性問題較簡單，學(xué)生獨(dú)立完成教 學(xué) 目 標(biāo)知識(shí)技能1 .掌握并理解角平分線的性質(zhì)和其判定定理.2 .利用角平分線的相關(guān)知識(shí)來解決問題.數(shù)學(xué)思考在與同學(xué)交流合作的過程中，能較好地理解同學(xué)的思考方法和結(jié) 論，并能對(duì)同學(xué)所提問題進(jìn)行反思，初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)問題解決1 .進(jìn)一步了解角的平分線的性質(zhì)在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用.2 .提

2、高綜合運(yùn)用三角形全等的相關(guān)知識(shí)解決線段相等、角相等的問 題的能力情感態(tài)度在探討角平分線的性質(zhì)、角平分線的判定的過程中，培養(yǎng)學(xué)生探 究問題的興趣，增強(qiáng)解決問題的信心，獲得解決問題的成功體驗(yàn)， 逐步培養(yǎng)學(xué)生的理解精神教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用 難點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)的探究教學(xué)準(zhǔn)備動(dòng)畫多媒體語言課件復(fù)備內(nèi)容及討論記錄第一課時(shí)教學(xué)過程播放導(dǎo)入學(xué)生根據(jù)導(dǎo)入播放的情況，利用全等三角形證明角平分線的性質(zhì) 和判定定理.導(dǎo)入：三條公路兩兩相交于A、B、C三點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)商品 超市，要求這個(gè)超市到三條公路的距離相等，問可供選擇的地方有 多少處？（不出示虛線部分）1 .生獨(dú)立思考，同桌之間相互

3、交流，并自己在草稿紙上畫一畫.2 .師指定學(xué)生說說解題思路：生：根據(jù)角平分線的性質(zhì)判定可知一定是角平分線的交點(diǎn).在aABC 的角平分線的交點(diǎn)處.只有一處.師：只有一處嗎？生：不止一處，A8C外角的平分線，其交點(diǎn)也可以.師此題一定主意提醒學(xué)生還有3處，很多同學(xué)可能只找到1處.（二）教學(xué)探究探究類型一角平分線定義的應(yīng)用教學(xué)例1,課件出示例1：例1如圖，PB, PC分別是ABC的外角平分線且相交于點(diǎn)P. 求證：點(diǎn)尸在NA的平分線上.L師：要求點(diǎn)尸在NA的角平分線上，那么它滿足什么樣的條件 呢？生：通過證明點(diǎn)尸到角兩邊的距離相等.師：說的非常好，那現(xiàn)在知道怎么做這道題了嗎？2 .學(xué)生獨(dú)立思考，如果有需

4、要，可以進(jìn)行交流，指定學(xué)生說說自己 的解題思路：.生：過點(diǎn)尸作尸石，PH, PG分別垂直A8, BC, AC,要證點(diǎn)尸在 NA的平分線上，則需證PE二PG,利用角的平分線上的點(diǎn)到角的 兩邊的距離相等就可證明PE=PG,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理 可求得點(diǎn)P在NA的角平分線上.3 .小結(jié)：（1）角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，反過來，角的內(nèi)部到 角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上，體現(xiàn)了等角到 等線段再到等角的轉(zhuǎn)化思想；（2）角平分線輔助線的作法技巧：遇到證明有關(guān)角平分線時(shí)，可 引角兩邊的垂線，證明垂線段相等.答案：證明：過點(diǎn)尸作PE, PH, PG分別垂直AB, BC, AC.如圖.:P

5、B, PC分別是A8C的外角平分線，；.PE=PH, PH=PG,；.PE=PG,，點(diǎn)P在NA的平分線上.忌探究類型二 利用角平分線的性質(zhì)證明線段相等課件出示例2：例 2 如圖所示，已知 OE-ZAOB, BC±OAtAD±OB.求證：EA=EB.3 2-41 .師找學(xué)生讀題，并分析題意.生：因?yàn)镺E平分4408,8。_1_。4,4。_108利用角平分線的性質(zhì)， 很容易證得CE二E8.師：這位同學(xué)們分析得非常好，那么我們接下怎么證明AE=EB呢？2 .學(xué)生獨(dú)立思考，找學(xué)生說說自己的思路.提示：我們只要再證明ACEg/XBDE,就可以. 師：那你們是怎么證明這兩個(gè)三角形全等的

6、呢？ 提示：根據(jù)ASA來判斷的.3 .學(xué)生獨(dú)立完成，然后同桌之間相互檢查.4 .師：角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的常見方法，也是證明兩個(gè) 三角形全等的條件的方法.答案：證明：lOE 平分:EC=ED, NACE二NBDE=90° . 在 RtAACE 和 RtABDE 中， ZACE = NBDE,< EC = ED、 ACEA = DEB,Rt AA CEgRtABDE (ASA).：.EA=EB.探究類型之三利用角平分線的性質(zhì)證明角相等課件出示例4：例4已知如圖，ZVIBO和力CE都是等腰宜角三角形，ABAD與NC4E是直角.(1)求證：ACOg/XAEB；(2)試判斷和N

7、A正的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.32-6L生獨(dú)立審題，獨(dú)立完成.2.師指定學(xué)生講解.生：A8。和ACE是等腰直角三角形，易得AO=A8,AC=AE, ZDAOZBAE,根據(jù) SAS 易證得ACOgAAEB.師：遇到兩個(gè)等腰直角三角形來證明相關(guān)的三角形全等時(shí)，經(jīng)常是 借助于分別以這兩個(gè)等腰三角形的腰作為對(duì)應(yīng)邊.2.師：說得非常好，猜測(cè)一下NAH和NA/石有什么關(guān)系呢？生：相等.師：那我們要怎么樣證明呢？生1：可以通過證明含這兩個(gè)三角形的全等.生2：還可以通過角平分線的判定定理進(jìn)行判斷.師：在這道題中有含這兩個(gè)角的全等三角形嗎？生：沒有.師：不能利用全等三角形來判定，現(xiàn)在只能利用角平分線的判定定

8、理來判定，那我們要怎么做呢？生：過 A 作 AM_LC。于 MAN_LBE 于 N.師：那么AM與AN是相等的嗎？生1：相等，因?yàn)?M與AN分別是ACO和AE8的高，乂因?yàn)?AACDAAEB,所以很容易證得AM =AN.師：還有沒有別的想法呢？生：因?yàn)锳COgZVIEB,有知道AM和AN分別是對(duì)應(yīng)邊CO和 BE上高，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知對(duì)應(yīng)邊的高相等可得AM =AN.答案：(1)證明：,： ZDAB=ZEAO9Q° ,:.ZDAC=ZBAE.在D4C和84七中，AD=AB, ZDAOZBAE,AOAE, 4COZA4EB(SAS).(2)過 A 作 AM LCD 于 M, AN&

9、#177;BE 于 N.Ill (1) AACDAAEB, ：.CD=BE.*/ ACO與AAEB的面積相等，B|J - CD AM= 1 BE - AN.22: CD = BE, ：.AM=AN,：,FA 平分 NOFE, ZAFD=ZAFE.課件出示例3：例3如圖所示，已知N1=N2，。為8V上一點(diǎn)，且尸O_L8C于。,48+8C=2B。,求證：ZBAP+ZBCP=18Q° .1 .學(xué)生獨(dú)立審題，思考解題思路，師進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo): 師：要想證明N84P+NBC片180° ,要證明什么呢？生：證明NBA后N4或證明/BCP=N3.師：分析非常好，我們要證明角相等，我們要怎么

10、做呢？ 生：需要通過做輔助線構(gòu)造全等三角形.師：說的特別好，我們要怎么做輔助線呢?分組討論一下：2 .生先獨(dú)立思考，然后小組討論做輔助線的方法，師巡視，適當(dāng)提 醒：由“用A8+8G28。這個(gè)條件”能想到用什么方法？ 還有N1=N2,尸為8N上一點(diǎn)，且尸。_L8C于。，能想到什么？ 3.師指定小組說說找到做輔助線的方法：生1：由題中“N1=N2,尸為8N上一點(diǎn)，且PO_LBC于ZT可以 過產(chǎn)作PE±BA于E.生2：由題中“AB+BC=2BD”利用截長補(bǔ)短的方法， 截長法：在8C上截取84,連接PF.補(bǔ)短法：延長BC至點(diǎn)E,使DE二BD,連接PE.師：輔助線找到了，那我們接下來讓我們來看

11、看怎么證明呢?4 .學(xué)生小組討論三種做輔助線的證明方法，師指定三名學(xué)生分別用 三種方法講解.5 .師：（1）有角平分線（或證明是角的平分線）時(shí)，常過角平分線上的 點(diǎn)向角兩邊作垂線段，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離 相等證明；（2）有線段的和差關(guān)系，常用截長補(bǔ)短法作輔助線，化和差關(guān)系 為相等關(guān)系./答案：方法 I：IX證明：過尸作PE_L84于E,如圖.I Z1=Z2, PDLBC, PELBA, ：.PE=PD.在 RtABPE 和 RtABPD 中，BP=BP, PE=PD,RQBPEgRtABPD, ：BE=BD.'；AB+BgBD, BOCD+BD, AB=BE-AEf ：,A

12、E=CD.； PELBE, PD工BC, ；. NPEB二NPDC=90° .在PEA和POC中，PE=PD, /PEA二NPDGAE二CD,：.ZPCB=ZPAE.ZBAP+ZEAP=180a , ：,ZBAP+ZBCP=180° .方法二：證明：在BC上截取BF二BA,連接PF,如圖.48+8C=2B£>,即 BC-BD=BD-AB, 乂 ： BF=BA, ：,BC-BD=BD-BF, ：CD=FD. 在£)/和POC中，DF=DC, ZPDF=ZPDC=90° ,PD=PD,:./PFDmAPCD, ：./PCB=/PFD.在氏4尸

13、和ABF尸中，BA=BF, Z1=Z2, BP=BP,，AABPg AFBP, ：. NBAP=NBFP.V Z5FP+ZPFC= 180° , ：.ZBAPZPCB=18Q° .方法三：證明：延長8C至石，使DE=BD,連接PE.TPD上BD,；NBDP=NEDP=90： 在BOP和"尸中， BD二DE, ZBDP=ZEDP, PD=PD, :.BDP94EDP, ：BP=PE, Z2=ZPEC.乂N1 = N2, ：.ZPEC=Z1.: AB+BC=2BD, DE=BD, ：.AB=CE.在A8P和CEP中，AB=CE, Nk/PEC, BP=PE, ABP/

14、CEP, /PCE=NBAP.乂N8CP+NEC7M80。, ：.ZBCP+ZBAP=180° .（三）課堂總結(jié)：師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)遇到角平分線，通常過角平分線上的點(diǎn)向兩 邊做垂線；還有利用角平分線的對(duì)稱性，利用截長補(bǔ)短構(gòu)造全等三 角形.第二課時(shí)教學(xué)過程復(fù)備內(nèi)容及討論記錄師：同學(xué)們，你們知道怎么畫NAO8的平分線OC,學(xué)生 獨(dú)立畫，然后指定學(xué)生說說自己的作圖的步驟.師：一名同學(xué)給出其他的一種畫法，接下來讓我們來看看:課件出示例5：例5如圖所示，某同學(xué)給出了一種作角平分線的方法： 分別在OA.OB上截取OM=OEy ON=OF,連接MF、 NE交于點(diǎn)P,作射線OP,則O0平分N4O8

15、,請(qǐng) 你根據(jù)作法寫出已知、求證，并加以證明.332 - 71.學(xué)生獨(dú)立審題，然后找學(xué)生說說此題的已知和求證. 師：這道題的已知是什么呢？要證明的結(jié)論是什么呢？ 生：已知:在NAO8的邊OA和OB上分OM=OE, ON=OF, 連接MM EN相交于P.求證：OP平分NAO8.師:說的非常好，那么你知道怎么證明。尸平分NAO8嗎？ 生：要想證明。尸平分NAO8,只要證明NBO片NAOP. 師：如何證明兩個(gè)角相等呢？ 師：如何證明兩個(gè)角相等呢？ 生：全等，角平分線的判定定理.師：說的非常好，那么對(duì)于這道題我們要怎么做呢？同桌 之間相互討論一下.2.學(xué)生獨(dú)立思考，然后指定學(xué)生說說自己的解題思路： 生1

16、：利用全等三角形來證明，首先由OM二OE, ZAOB= ZAOB, OF=ON 能夠得到OM/且OEM ZOMP= NOEP根據(jù)角角邊判定定理MNPgZkEFP,進(jìn)而得到 PN二PF,然后根據(jù)邊邊邊定里可以判定PONgZXPOF, 進(jìn)而就得到N NOP= Z FOP.生2：分別過點(diǎn)P作PH工OE, PGLOM,只需要證OM/ 9OEN,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知對(duì)應(yīng)邊的高相等，然后根據(jù)角平分線的判定定理可得 OP平分NAO反生3：利用全等三角形來證明，首先由OM二OE, ZAOB= ZAOB, OF=ON能夠得到OM尸且OEM我們就能夠知 道OM77和OEN的面積相等，所以O(shè)Mf的面積減去

17、四邊形OQN的面積等于OEN的面積減去四邊形 OFPN的面積，也就能夠得到MNP的面積等于£/中 的面積，乂因?yàn)橐鬃C得EAMM所以兩個(gè)三角形的高相 等，根據(jù)角平分線的判定定理可得。尸平分NAO8.師：本題的結(jié)論可作為用尺規(guī)作角平分線的基本原理.答案：已知：在NAO8的邊OA和OB上分別截取OM二OE, ON=OF,連接 MF. EN 相交于 P.求證：O尸平分N4O8.證明：在/和OEN中，OM=OE, ZAOB= ZAOB, OF=ON,：. OMFm OEN (SAS), Z. Z OMP= Z OEP. OM=OE, ON=OF, ：. OM-ON=OE-OF,即 MN=EF.

18、在MN尸和產(chǎn)中，/MPN=/EPF, NOMP二NOEP, MN=EF,.AM7VPAEFP(AAS), :.pn=pf.在和PO尸中，ON=OFf PN=PF, OP=OP,AAPOAPOF(SSS),ZNOP=ZFOP,即OP平分N4O8.探究類型之四利用角平分線的探究性問題課件出示例5例6如圖，8c的角平分線40, 8E相交于點(diǎn)P.(1)在圖中，分別畫出點(diǎn)尸到邊4C, BC, 84的垂線段PF, PG, PH,這3條線段相等嗎？為什么？(2)在圖中，ZABC=90° , ZC=60° ,其余條件都不 變，請(qǐng)你判斷并寫出PE與尸。之間的數(shù)量關(guān)系，并 說明理由.1 .學(xué)生

19、獨(dú)立完成(1),然后指定學(xué)生講解.生：根據(jù)點(diǎn)P分別在角平分線4。, 8E上，所以根據(jù)角平 分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可以判斷三條高相等.2 .師：同學(xué)們猜測(cè)一下：PE與P。之間的數(shù)量關(guān)系是什 么呢？生：PE=PD.師：很顯然，我們要證明他們兩條線段相等，就必須要 做輔助線，我們要怎么做輔助線呢？學(xué)生獨(dú)立思考，然后指定學(xué)生說說做輔助線的方法：生：過點(diǎn)尸向三條邊作三條高.師：如何證明呢？3 .生獨(dú)立完成，然后指定學(xué)生說說自己的證明思路：生：證明PF'EgPGD4 .師：（1）此題綜合運(yùn)用了角平分線定理，全等三角形的判定 與性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)；（2）遇到角平分線常常經(jīng)過角平分線上的

20、點(diǎn)作角兩邊的 垂線，得到兩垂線段的長相等；（3）此類探索型的問題都是先實(shí)驗(yàn)猜想，再探索證明.答案：（1）解：根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知PF=PH, PH=PG, PF: PH= PG.（2）解：/尸。6為44。（7的一個(gè)外角，A ZPDG=ZC+ZCAD=6Q0 +15° =75° .: /PEF是48E的一個(gè)外角，A ZPEF=ZCAB+ZABE=300 +45° =75° ,Z. ZPEF=ZPDG. Ill （1）知 PF=PG,.MPFE%APGD, ：.PE=PD,鞏固拓展：出示類似性問題1 .如圖，0尸平分NAO8,勿_LOA,P8_LO8,垂足

21、分別為A,B,下列結(jié)論中不一定成立的是（）A. PA=PBB.尸。平分N4P8C. OA=OBD. A8 垂直平分 OP1 .老師安排學(xué)生獨(dú)立完成.2 .指定一名基礎(chǔ)弱的學(xué)生說說解題思路，老師可引導(dǎo)完成解答.3 .如圖，已知點(diǎn)P在A8C的外部，乂在ND4E的內(nèi)部, 若點(diǎn)P到BCf BD, CE的距離相等，則下列關(guān)于P的位 置說法最準(zhǔn)確的是（）.A.在NO8C的平分線上B.。在N8C上的平分線上C.在N84C的平分線上D. P是NO8C, NBCE, ABAC的平分線的交點(diǎn)1 .學(xué)生嘗試獨(dú)立解決此題，教師并巡視，幫助有困難的學(xué) 生.2 .指定一名好學(xué)生說說自己的解題思路.3 .如圖，中，ZC=9

22、0° , 4。平分N84C,交 BC于點(diǎn)D, CD=4,則點(diǎn)D到AB的距離為.學(xué)生獨(dú)立完成此題，師找學(xué)生說說自己的解題思路.師要注意提醒學(xué)生：在遇到角平分線時(shí)，我們通常要做垂 直,來利用角平分線的性質(zhì)來解題.4 .如圖所示，已知RtAABC中是8c上的一 點(diǎn)，且 DE1.AB 于 E,CD=DE.（1）求證：AE=AC；（2） ZkOEB的周長與A8的長有何關(guān)系？請(qǐng)證明你的 結(jié)論.學(xué)生獨(dú)立完成此題，師找學(xué)生說說自己的解題思路.要注意提醒學(xué)生：在遇到此題類似條件時(shí)時(shí).，我們通常要 連接兩個(gè)頂點(diǎn),來利用角平分線的判定來解題.課件出示：類似性問題55.如圖,在A8C 中,ZB=90

23、6; , AB=7, BC=24, AC=25.(1 )ABC內(nèi)是否有一點(diǎn)P到各邊的距離相等？如果有, 請(qǐng)作出這一點(diǎn)，并說明理由；(2)求出點(diǎn)尸到各邊的距離.1 .老師先安排學(xué)生獨(dú)立完成，解答完成后，同桌之間對(duì)答 案.2 .指定答案不同的一組說出各自的思路，其他學(xué)生點(diǎn)評(píng).3 .老師出示課件答案，讓學(xué)生們參考后.指定剛才做錯(cuò)的同學(xué)根據(jù)解析，完成正確答案講解.拓展延伸：如圖，點(diǎn)分別在NA的兩邊上，。是N4內(nèi)一點(diǎn), 且 A8二AD, BC=DC, CE±ADt CF±AB,垂足分別為 E,Ff 求學(xué)生獨(dú)立完成，師指定學(xué)生講解.答案：證明：連接AC.*AB=AD, BC=DC, A

24、C=AC,ABCqAADC(SSS).：.ZDAC=ZBAC.乂 CEtAD, CF±ABtCE=CF.課堂總結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們有什么收獲？還有哪些不 能理解的知識(shí)呢？提示：(1)角平分線輔助線的作法技巧：遇到證明有關(guān)角平分 線時(shí)，可引角兩邊的垂線，證明垂線段相等.(2)有線段的和差關(guān)系，常用截長補(bǔ)短法作輔助線，化 和差關(guān)系為相等關(guān)系.(3)運(yùn)用角平分線的判定時(shí)，若無垂線段需添加輔助線.(4)角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的常見方法，也是 證明兩個(gè)三角形全等的條件的方法.本講教材及練習(xí)冊(cè)答案類似性問題答案：1. D2. D3. 44. 解：(1)連接4DDC VAC, DELA

25、B, CD = DE,AO 是NC4B 的平分線，即 NCAO=NEAD ZCAD=ZEAD, ZC=ZAED=90° , CD=ED,/.ACDAAED, ：.AE=AC.(2)在等腰直角三角形48c中，AC=BCf又 TAE=AC,：AE=BC. *；BC=CD+DB,:AE; CD+DB = ED+DB,.,.DEB 的周長= EO+OB+EB=AE+EB=AB.5. 解：(1)作N84C與NAC8的平分線，它們的交點(diǎn)尸為符合要求的點(diǎn)，圖略. 理由如下：作尸尸_L8C,PE_LA8,PG_L4C,垂足分別為尸、E、G.因?yàn)?尸是N84C的平分線，所以PE二PG.因?yàn)镃P是NACB的平分線，所以PQPG,所以 PE二PG二PF.(2)連接 BP,設(shè) PE=PG=PF=x,因?yàn)?SABC = SAPB + S&BPC + SAAPC ,口|J，AB - BC=-AB X+-BC x+-AC x,2222即 7X24= (7+24+25) x,所以產(chǎn)