最小二乘法擬合

1、 基本概念與數(shù)據(jù)處理 35 4.最小二乘法線性擬合我們知道，用作圖法求出直線的斜率a和截據(jù)b，可以確定這條直線所對應(yīng)的經(jīng)驗公式，但用作圖法擬合直線時，由于作圖連線有較大的隨意性，尤其在測量數(shù)據(jù)比較分散時，對同一組測量數(shù)據(jù)，不同的人去處理，所得結(jié)果有差異，因此是一種粗略的數(shù)據(jù)處理方法，求出的a和b誤差較大。用最小二乘法擬合直線處理數(shù)據(jù)時,任何人去處理同一組數(shù)據(jù)，只要處理過程沒有錯誤，得到的斜率a和截據(jù)b是唯一的。最小二乘法就是將一組符合Y=a+bX關(guān)系的測量數(shù)據(jù)，用計算的方法求出最佳的a和b。顯然，關(guān)鍵是如何求出最佳的a和b。(1) 求回歸直線設(shè)直線方程的表達式為： (2-6-1)要根據(jù)測量數(shù)據(jù)

2、求出最佳的a和b。對滿足線性關(guān)系的一組等精度測量數(shù)據(jù)（xi，yi），假定自變量xi的誤差可以忽略，則在同一xi下，測量點yi和直線上的點a+bxi的偏差di如下： 顯然最好測量點都在直線上（即d1=d2=dn=0），求出的a和b是最理想的，但測量點不可能都在直線上，這樣只有考慮d1、d2、dn為最小，也就是考慮d1+d2+dn為最小，但因d1、d2、dn有正有負，加起來可能相互抵消，因此不可??；而|d1|+ |d2|+ |dn|又不好解方程，因而不可行?，F(xiàn)在采取一種等效方法：當d12+d22+dn2對a和b為最小時，d1、d2、dn也為最小。?。╠12+d22+dn2）為最小值，求a和b的方法

3、叫最小二乘法。令 (2-6-2)D對a和b分別求一階偏導(dǎo)數(shù)為： 再求二階偏導(dǎo)數(shù)為：； 顯然： ； 滿足最小值條件，令一階偏導(dǎo)數(shù)為零： (2-6-3) (2-6-4)引入平均值： ； ； 則： （2-6-5）解得： （2-6-6） （2-6-7）將a、b值帶入線性方程，即得到回歸直線方程。(2) y、a、b的標準差在最小二乘法中，假定自變量誤差可以忽略不計，是為了方便推導(dǎo)回歸方程。操作中函數(shù)的誤差大于自變量的誤差即可認為滿足假定。實際上兩者均是變量，都有誤差，從而導(dǎo)致結(jié)果y、a、b的標準差(n6)如下： (2-6-8) (根式的分母為n-2,是因為有兩個變量) (2-6-9) (2-6-10)(

4、3)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是衡量一組測量數(shù)據(jù)xi、yi線性相關(guān)程度的參量，其定義為： （2-6-11）r值在0<|r|1中。 |r|越接近于1，x 、y 之間線性好；r為正，直線斜率為正，稱為正相關(guān)；r為負，直線斜率為負，稱為負相關(guān)。|r|接近于0，則測量數(shù)據(jù)點分散或xi、yi之間為非線性。不論測量數(shù)據(jù)好壞都能求出a和b，所以我們必須有一種判斷測量數(shù)據(jù)好壞的方法，用來判斷什么樣的測量數(shù)據(jù)不宜擬合，判斷的方法是|r|<r時，測量數(shù)據(jù)是非線性的r稱為相關(guān)系數(shù)的起碼值，與測量次數(shù)n有關(guān)，如下表2-2表2-6-2 相關(guān)系數(shù)起碼值rnrnrnr31.00090.798150.64140.99010

5、0.765160.62350.959110.735170.60660.917120.708180.59070.874130.684190.57580.834140.661200.561在進行一元線性回歸之前應(yīng)先求出r值，再與r比較，若|r|> r，則x和y具有線性關(guān)系，可求回歸直線；否則反之。例9：靈敏電流計的電流常數(shù)Ki和內(nèi)阻Rg的測量公式為測得的數(shù)據(jù)同例7，其中間處理過程如下，試用最小二乘法求出Ki和Rg，并寫出回歸方程的表達式。解：測量公式與線性方程表達式y(tǒng)a+bx比較： 數(shù)據(jù)處理如表2-6-3：表2-6-3 Rs0.100 R14350.0 d40.0mmi12345678平均值

6、R2()400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0225.0U(V)2.822.492.151.821.511.180.840.561.67125(1042)16.0012.259.0006.2504.0002.2501.0000.2506.375U2(V2)7.956.204.623.312.281.390.710.313.34625R2U(102V)11.38.726.454.553.021.770.840.284.615625 中間過程可多取位： 1.67125 225.0 3.34625 6.375×104 461.5625相關(guān)系數(shù)查表得知

7、，當n=8時，r0=0.834，兩者比較r>r0，說明x、y(即U、R2)之間線性相關(guān)，可以求回歸直線。求回歸方程的系數(shù)154.6192304 -33.4代換 33.4 154.6192304Ki3.7170×10-9A/mm計算標準差為：2.64561902； 2.300545589； 1.257626418計算不確定度：Rg2； 0.81； K 0.03×109A/mm測量結(jié)果表達式電流計內(nèi)阻： Rg(33±2) 6.1電流常數(shù)： K (3.72±0.03)×109A/mm 0.81回歸方程： R2155U33 5.計算器在數(shù)據(jù)處理中

8、的應(yīng)用在處理數(shù)據(jù)時，不同的計算器的編程方式各不相同，下面以震旦AURORA SC180型計算器為例作以介紹。 （1）計算標準偏差S 標準偏差S的計算器運行公式：因為 所以 （只有為xi單變量） 操作步驟和方法() 按MODE0鍵，計算器進入單變量統(tǒng)計計算狀態(tài)。屏右上角顯示“STAT1”指示符。() 清除內(nèi)存數(shù)據(jù)：按INVON/C.CE鍵。() 數(shù)據(jù)輸入：依次先鍵入數(shù)值，然后按DATA鍵，每完成一次輸入的同時，屏幕均會顯示數(shù)據(jù)的個數(shù)n值。() 數(shù)據(jù)修正：按DATA鍵之前，要刪除錯誤數(shù)據(jù)，按ON/C.CE；按DATA鍵后要刪除錯誤數(shù)據(jù)，再次輸入該錯誤值，然后按INVDEL。() 取分析結(jié)

9、果：INV：平均值INV：數(shù)據(jù)和INV2: 數(shù)據(jù)平方和INVS：測量列的標準偏差I(lǐng)NVn：數(shù)據(jù)個數(shù)例10：一組等精度測量值為：83.1、83.3、83.3、83.7、83.9、83.6、83.4、83.4、83.1、83.2，試求、2、S、n 。解：按 鍵顯 示MODE0ST1 0INVON/C.CE 083.1DATAn 183.3DATAn 283.3DATAn 383.7DATAn 483.9DATAn 583.6DATAn 683.4DATAn 783.4DATAn 883.1DATAn 983.2DATAn 10INV83.4INV834INV269556.22INVS0.26246

10、6929INVn10注：當n6時，認為S 。（2）最小二乘法求回歸直線 求回歸直線參量a、b、r的計算器運行公式由(2-6-6)、(2-6-7)、(2-6-11)式得到以下只含xi、yi兩個變量的公式： 操作步驟和方法：() 按MODE.，計算器進入雙變量統(tǒng)計計算狀態(tài)。屏幕右上角顯示“STAT2”指示符。() 清除內(nèi)存數(shù)據(jù)：按INVON/C.CE鍵() 雙變量數(shù)據(jù)輸入：先鍵入x的值、 按a鍵， 然后鍵入y的值、 按b鍵，再按DATA鍵，完成輸入。屏幕會同時顯示數(shù)據(jù)的個數(shù)，即n值。() 數(shù)據(jù)修正：同單變量數(shù)據(jù)輸入。() 取分析結(jié)果INVa：回歸直線的截距INVb：回歸直線的斜率INVr：相關(guān)系數(shù)

11、還可以取以下值： INV、INV、INVx、INVx2、INVy、INVy2、 INVxy， 以便計算、(計算器沒有該三項的計算程序)。例11： 靈敏電流計實驗所測數(shù)據(jù)如下：RS0.100 R14350.0 d40.0mmR2（）400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0U（V）2.822.492.151.821.511.180.840.56要求所使用計算器具有計算最小二乘法的功能，求回歸直線以及電流計的電流常數(shù)Ki和內(nèi)阻Rg。解： 測量公式與線性方程表達式y(tǒng)a+bx比較yR2 xU，則：按 鍵顯 示MODE.ST2 0INVON/C.CE 02.82a40

12、0.0bDATAn 12.49a350.0bDATAn 22.15a300.0bDATAn 31.82a250.0bDATAn 41.51a200.0bDATAn 51.18a150.0bDATAn 60.84a100.0bDATAn 70.56a50.0bDATAn 8INVaa -32.12335698INVbb 153.8509241INVrr 0.9998323336查表知道，當n8時，r00.834， r>r0，說明U、R2之間線性相關(guān)。得到：回歸方程 R2154U32電流計內(nèi)阻 Rg32電流常數(shù) K3.74×109A/mm 習(xí) 題1指出下列測量結(jié)果的有效數(shù)字： (1

13、) I5010mA(2) C2.99792458×108m/s2按“四舍五入”修約法，將下列數(shù)據(jù)只保留3位有效數(shù)字：(1) 1.005(2) 979.499(3) 980.501(4) 6.275(5) 3.1343單位變換：(1) m3.162±0.002kg g mg T(2) (59.8±0.1)°( )(3) L98.96±0.04cm m mm µm4改錯并且將一般表達式改寫成科學(xué)表達式：(1) Y(1.96×1011±5.78×109)N/m2(2) L(160000±100)m5按

14、有效數(shù)字運算規(guī)則計算下列各式：(1) 1000-5 (2) 3.2×1033.2 (3) tg3005 (4) (5) R15.10k，R25.10×102，R351。 求： RR1+R2+R3 (6) L1.674m-8.00cm 6求下列公式的不確定度：(1) (2) N(3) Lh+(4) Z7用分度值為1mm的米尺測量一物體長度L，測得數(shù)據(jù)為：98.98cm、98.96cm、98.97cm、 98.94cm、99.00cm、98.95cm、98.97cm，試求、 L，并寫出測量結(jié)果表達式 ±L。8測量出一個鉛圓柱體的直徑為d(2.040±0.001)cm，高度為h(4.120±0.001)cm,質(zhì)量為m(149.10±0.05)g，試計算、，并表示測量結(jié)果。9某同學(xué)測量彈簧倔強系數(shù)的數(shù)據(jù)如下：F(g)2.004.006.008.0010.0012.0014.00y(cm)6.9010.0013.0515.9519.0022.0525.10其中F為彈簧所受的作用力，y為彈簧的長度，已知y-y0()F，試用作圖法求彈簧的倔強系數(shù)k及彈簧的原來長度y0。10用伏安法測電阻時，測出的數(shù)據(jù)如下，試求回歸直線，并求出測量結(jié)果R值。I(mA)2.004.006.008.0010.001