數(shù)據(jù)分析與建模,實(shí)驗(yàn)報(bào)告,實(shí)驗(yàn)四,最優(yōu)化模型建模分析

1、數(shù)據(jù)分析與建模,實(shí)驗(yàn)報(bào)告,實(shí)驗(yàn)四,最優(yōu)化模型建模分析 學(xué)生學(xué)號(hào) 實(shí)驗(yàn)課成績(jī) 學(xué) 學(xué) 生 實(shí) 驗(yàn) 報(bào) 告 書 實(shí)驗(yàn)課程名稱 數(shù)據(jù)分析與建模 開 開 課 學(xué) 院 管理學(xué)院 指導(dǎo)教師姓名 鄢 丹 學(xué) 學(xué) 生 姓 名 學(xué)生專業(yè)班級(jí) 20xx 20xx 學(xué)年 第 1 學(xué)期 1 實(shí)驗(yàn)報(bào)告填寫說(shuō)明 1 綜合性、設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)必須填寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告，驗(yàn)證、演示性實(shí)驗(yàn)可不寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告。 2 實(shí)驗(yàn)報(bào)告書 必須按統(tǒng)一格式制作（實(shí)驗(yàn)中心網(wǎng)站有下載）。 3 老師在指導(dǎo)學(xué)生實(shí)驗(yàn)時(shí)，必須按實(shí)驗(yàn)大綱的要求，逐項(xiàng)完成各項(xiàng)實(shí)驗(yàn)；實(shí)驗(yàn)報(bào)告書中的實(shí)驗(yàn)課程名稱和實(shí)驗(yàn)工程 必須與實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書一致。 4 每項(xiàng)實(shí)驗(yàn)依據(jù)其實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的多少，可安排在一個(gè)或多個(gè)

2、時(shí)間段內(nèi)完成，但每項(xiàng)實(shí)驗(yàn)只須填寫一份實(shí)驗(yàn)報(bào)告。 5 每份實(shí)驗(yàn)報(bào)告教師都應(yīng)該有簽名、評(píng)分表及實(shí)驗(yàn)報(bào)告成績(jī)。 6 教師應(yīng)及時(shí)評(píng)閱學(xué)生的實(shí)驗(yàn)報(bào)告并給出各實(shí)驗(yàn)工程成績(jī)，完整保存實(shí)驗(yàn)報(bào)告。在完成所有實(shí)驗(yàn)工程后，教師應(yīng)按學(xué)生姓名將批改好的各實(shí)驗(yàn)工程實(shí)驗(yàn)報(bào)告裝訂成冊(cè)，構(gòu)成該實(shí)驗(yàn)課程總報(bào)告，按班級(jí)交到實(shí)驗(yàn)中心，每個(gè)班級(jí)實(shí)驗(yàn)報(bào)告袋中附帶一份實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書及班級(jí)實(shí)驗(yàn)課程成績(jī)表。 7 實(shí)驗(yàn)報(bào)告封面信息需填寫完整，并給出實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)的成績(jī)，實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)成績(jī)按其類型采取百分制或優(yōu)、良、中、及格和不及格五級(jí)評(píng)定（與課程總成績(jī)一致），并記入課程總成績(jī)中。 1 實(shí)驗(yàn)課程名稱： 數(shù)據(jù)分析與建模 實(shí)驗(yàn)工程名稱 實(shí)驗(yàn)四 最優(yōu)化模型的建模分析

3、實(shí)驗(yàn) 成績(jī) 實(shí) 實(shí) 驗(yàn) 者 專業(yè)班級(jí) 組 組 別 無(wú) 無(wú) 同 同 組 者 無(wú) 無(wú) 實(shí)驗(yàn)日期 20xx 年 年 10 月 月 18 日 第一局部：實(shí)驗(yàn)預(yù)習(xí)報(bào)告（ 包括實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、意義，實(shí)驗(yàn)根本原理與方法，主要儀器設(shè)備及耗材，實(shí)驗(yàn)方案與技術(shù)路線等 ） 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、意義 本實(shí)驗(yàn)旨在通過(guò)資料查閱和上機(jī)實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生熟悉和掌握最優(yōu)化模型的分析方法和理論，掌握數(shù)據(jù)分析工具 mathematica，培養(yǎng)和提高數(shù)據(jù)分析的能力。 二、實(shí)驗(yàn)根本原理與方法 最優(yōu)化模型的分析方法，數(shù)據(jù)分析工具 mathematica 的使用方法，以及幫助指南文檔等。 三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及要求 最優(yōu)化模型的建模分析，寫出求解過(guò)程及分析結(jié)論。

4、（1）每種彩電應(yīng)該各生產(chǎn)多少臺(tái)，每種彩電的平均售價(jià)是多少？ （2）最大的盈利利潤(rùn)是多少，利潤(rùn)率是多少？ 2 、彩電生產(chǎn)的關(guān)稅 問(wèn)題分析 仍然是上述的無(wú)約束的彩電問(wèn)題。由于公司的裝配廠在海外，所以美國(guó)政府要對(duì)每臺(tái)電視機(jī)征收 25 美元的關(guān)稅。 （1）將關(guān)稅考慮進(jìn)去，求最優(yōu)生產(chǎn)量。這筆關(guān)稅會(huì)使公司有多少花費(fèi)？在這筆花費(fèi)中，有多少是直接付給政府，又有多少是銷售額的損失？ （2）為了防止關(guān)稅，公司是否應(yīng)該將生產(chǎn)企業(yè)重新定址在美國(guó)外鄉(xiāng)上？假設(shè)海外的工廠可以按每年 200000 美元的價(jià)格出租給另一家制造公司，在美國(guó)國(guó)內(nèi)建設(shè)一個(gè)新工廠并使其運(yùn)轉(zhuǎn)起來(lái)每年需要花費(fèi) 550000 美元。這里建筑費(fèi)用按新廠的預(yù)期

5、使用年限分期歸還。 （3）征收關(guān)稅的目的是為了促使制造公司美國(guó)國(guó)內(nèi)建廠。能夠使公司愿意在國(guó)內(nèi)重新建廠的最低關(guān)稅額是多少？ （4）將關(guān)稅定得足夠高，使公司要重建工廠。討論生產(chǎn)量和利潤(rùn)關(guān)于關(guān)稅的靈敏性。說(shuō)明實(shí)際關(guān)稅額的重要性。 2 提示：mathematica 中的命令，solve ，d ， replaceall (/.) ，等合 。可結(jié)合 excel 。 進(jìn)行列表分析。 3、 、 寫出簡(jiǎn)短程序， 繪制特殊圖形 在 mathematica 中分別繪制以下五類根本初等函數(shù)，依次為： （1）冪函數(shù)：y=x （r 是常數(shù)）； （2）指數(shù)函數(shù)：y=a x （a>0，且 a1）； （3）對(duì)數(shù)函數(shù)：y=

6、log a x （a>0 且 a1，特別當(dāng) a=e 時(shí)，記為 y=lnx）； （4）三角函數(shù)：如 y=sin x，y=cos x，y=tan x 等； （5）反三角函數(shù)：如 y=arcsin x，y=aros x，y=arctan x 等。 四、實(shí)驗(yàn)方案或技術(shù)路線（只針對(duì)綜合型和設(shè)計(jì)型實(shí)驗(yàn)） 按照實(shí)驗(yàn)任務(wù)要求，理論結(jié)合實(shí)際的實(shí)驗(yàn)方案，穩(wěn)固課程內(nèi)容，溫故知新，查遺補(bǔ)漏，夯實(shí)理論根底，提升實(shí)驗(yàn)動(dòng)手能力。 技術(shù)路線是，從整體規(guī)劃，分步驟實(shí)施，實(shí)驗(yàn)全面總結(jié)。 3 4 第二局部：實(shí)驗(yàn)過(guò)程記錄 （可加頁(yè)）（包括實(shí)驗(yàn)原始數(shù)據(jù)記錄，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象記錄，實(shí)驗(yàn)過(guò)程發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題等） 1 、彩電生產(chǎn)問(wèn)題的最優(yōu)化分析 （

7、1）求解過(guò)程：此題采用五步法求解。 【第一步：提出問(wèn)題】 首先，列出變量表，寫出這些變量間的關(guān)系和所做的其他假設(shè)。比方，有的要求取值非負(fù)。然后，采用引入的符號(hào)，將問(wèn)題用數(shù)學(xué)公式表達(dá)。 第一步的結(jié)果歸納如下： 變量： s = 19 英寸彩電的售出數(shù)量（每年） t = 21 英寸彩電的售出數(shù)量（每年） p = 19 英寸彩電的銷售價(jià)格（美元） q = 21 英寸彩電的銷售價(jià)格（美元） c = 生產(chǎn)彩電的本錢（美元/年） r = 彩電銷售的收入（美元/年） p = 彩電銷售的利潤(rùn)（美元/年） 假設(shè)： 故原問(wèn)題可化為： 5 在區(qū)域 s = (x1, x2) : x10, x20 上對(duì)： 【第四步：求解

8、模型】 利用第二步選擇的微積分的方法來(lái)求解。 a. 首先，用 mathematica 繪出函數(shù) f 的三維圖像。 繪制二元函數(shù) 3d 圖形的命令：plot3d函數(shù), 第一變量的范圍, 第二變量的范圍, 可選項(xiàng) 圖 1 函數(shù) f 的三維圖像 由上圖可知，f 是一個(gè)拋物面，且 f 在 s 內(nèi)部到達(dá)最大值。 b. 然后，再用 mathematica 繪出函數(shù) f 的等高線圖。 繪制二元函數(shù)等高線圖的命令： contourplot函數(shù), 第一變量的范圍, 第二變量的范圍, 可選項(xiàng) 圖 2 函數(shù) f 的等高線圖 6 由上圖可以估計(jì)，f 的最大值出現(xiàn)在 x1 = 5000，x2 = 7000 附近。 c.

9、 利用 mathematica 分別求出函數(shù) f 關(guān)于 x1，x2 的偏導(dǎo)數(shù)。 d. 函數(shù) f 是一個(gè)拋物面 ，欲求得其最高點(diǎn)，只需令 x1 和 x2 的偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為 0，建立方程組求解即可。該方程組可利用 mathematica 的 solve 函數(shù)求解，解得： x1 = 4735.044735 , x2 = 7042.747043 e. 將求得的 x1, x2 的值代入函數(shù) f 的表達(dá)式： 圖 3 應(yīng)用 mathematica 求解 f. 求解其他變量： （2）分析結(jié)論： 這些結(jié)果顯示出這是有利可圖的，因此建議這家公司應(yīng)該實(shí)行推行新產(chǎn)品的方案。 7 注意：以上得到的結(jié)論是以彩電問(wèn)題的第一步

10、中所做的假設(shè)為根底的。實(shí)際中，在向公司報(bào)告結(jié)論之前，應(yīng)該對(duì)彩電市場(chǎng)和生產(chǎn)過(guò)程所做的假設(shè)進(jìn)行靈敏性分析，以保證結(jié)果具有穩(wěn)健性。 2 、彩電生產(chǎn)的關(guān)稅問(wèn)題分析 （1）將關(guān)稅考慮進(jìn)去，求最優(yōu)生產(chǎn)量。這筆關(guān)稅會(huì)使公司有多少花費(fèi)？在這筆花費(fèi)中，有多少是直接付給政府，又有多少是銷售額的損失？ 此題依舊采用五步法求解。 【第一步：提出問(wèn)題】 首先，列出變量表，寫出這些變量間的關(guān)系和所做的其他假設(shè)。然后，采用引入的符號(hào)，將問(wèn)題用數(shù)學(xué)公式表達(dá)。 在前面所述無(wú)約束彩電問(wèn)題的根底上，增加以下變量和假設(shè)： 變量： k = 支付的關(guān)稅總額（美元/年） w = 關(guān)稅后的總利潤(rùn)（美元/年） 假設(shè)： k = 25*(s +

11、t) w = p k 目標(biāo)：求 w 的最大值 【第二步：選擇建模方法】 此題的彩電問(wèn)題屬于無(wú)約束的多變量最優(yōu)化問(wèn)題，這類問(wèn)題通常用多元微積分來(lái)解決。 故原問(wèn)題可化為： 在區(qū)域 s = (x1, x2) : x10, x20 上對(duì)： 【第四步：求解模型】 利用第二步選擇的微積分的方法來(lái)求解。 8 a. 首先，用 mathematica 繪出函數(shù) w 的三維圖像。 繪制二元函數(shù) 3d 圖形的命令： plot3d函數(shù), 第一變量的范圍, 第二變量的范圍, 可選項(xiàng) 圖 4 函數(shù) w 的三維圖像 由上圖可知，w 是一個(gè)拋物面，且 w 在 s 內(nèi)部到達(dá)最大值。 b. 然后，再用 mathematica 繪

12、出函數(shù) w 的等高線圖。 繪制二元函數(shù)等高線圖的命令： c. 利用 mathematica 分別求出函數(shù) w 關(guān)于 x1，x2 的偏導(dǎo)數(shù)。 9 d. 函數(shù) w 是一個(gè)拋物面 ，欲求得其最高點(diǎn)，只需令 x1 和 x2 的偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為 0，建立方程組求解即可。該方程組可利用 mathematica 的 solve 函數(shù)求解，解得： x1 = 3809.123809 , x2 = 6116.816117 e. 將求得的 x1, x2 的值代入函數(shù) w 的表達(dá)式： 圖 6 應(yīng)用 mathematica 求解 f. 求解其他變量： 關(guān)稅總花費(fèi)：k = 25*(x1 + x2) = 248148（美元/年

13、） 總利潤(rùn)減少額 = 553641 282345 = 271296（美元/年） 考慮關(guān)稅后銷售額的損失額 = 271296 248148 = 23148（美元/年） 【第五步：答復(fù)下列問(wèn)題】 考慮關(guān)稅后，這家公司可以通過(guò)生產(chǎn) 3809 臺(tái) 19 英寸彩電和 6117 臺(tái) 21 英寸彩電來(lái)獲得最大利潤(rùn)，每年獲得的最大凈利潤(rùn)為 282345 美元。 這筆關(guān)稅會(huì)使公司每年多花費(fèi) 271296 美元。在這筆花費(fèi)中，有 248148 美元是直接付給政府的，其余 23148 美元是銷售額上的損失。 （2）為了防止關(guān)稅，公司是否應(yīng)該將生產(chǎn)企業(yè)重新定址在美國(guó)外鄉(xiāng)上？假設(shè)海外的工廠可以按每年 200000 美元

14、的價(jià)格出租給另一家制造公司，在美國(guó)國(guó)內(nèi)建設(shè)一個(gè)新工廠并使其運(yùn)轉(zhuǎn)起來(lái)每 10 年需要花費(fèi) 550000 美元。這里建筑費(fèi)用按新廠的預(yù)期使用年限分期歸還。 【分析問(wèn)題】 當(dāng)公司將生產(chǎn)企業(yè)重新定址在美國(guó)外鄉(xiāng)后： 生產(chǎn)本錢增加額 = 550000 200000 = 350000（美元/年） 考慮關(guān)稅后： 總利潤(rùn)減少額 = 553641 282345 = 271296（美元/年） 【答復(fù)下列問(wèn)題】 由計(jì)算可知：在考慮關(guān)稅的情況下，當(dāng)公司將生產(chǎn)企業(yè)重新定址在美國(guó)外鄉(xiāng)后，每年的生產(chǎn)本錢增加額 350000 美元 大于 總利潤(rùn)減少額 271296 美元。所以公司不應(yīng)該將生產(chǎn)企業(yè)重新定址在美國(guó)外鄉(xiāng)上。 （3）征

15、收關(guān)稅的目的是為了促使制造公司美國(guó)國(guó)內(nèi)建廠。能夠使公司愿意在國(guó)內(nèi)重新建廠的最低關(guān)稅額是多少？ 保存前面所設(shè)的變量和所做的假設(shè)。 假設(shè)政府對(duì)每臺(tái)電視機(jī)征收 x 美元的關(guān)稅。 故原問(wèn)題可化為： 在區(qū)域 s = (x1, x2) : x10, x20 上對(duì)： 再令 x m(x1, x2)的最大值 即為所求。 【求解模型】 利用微積分的方法來(lái)求解。 a. 首先，用 mathematica 繪出函數(shù) m 的三維圖像。 繪制二元函數(shù) 3d 圖形的命令： plot3d函數(shù), 第一變量的范圍, 第二變量的范圍, 可選項(xiàng) 11 圖 7 函數(shù) w 的三維圖像 由上圖可知，m 是一個(gè)拋物面，且 m 在 s 內(nèi)部到達(dá)

16、最大值。 b. 然后，再用 mathematica 繪出函數(shù) m 的等高線圖。 繪制二元函數(shù)等高線圖的命令： contourplot 函數(shù), 第一變量的范圍, 第二變量的范圍, 可選項(xiàng) 圖 8 函數(shù) m 的等高線圖 由上圖可以估計(jì)，m 的最大值出現(xiàn)在 x1 = 3500，x2 = 6000 附近。 c. 利用 mathematica 分別求出函數(shù) m 關(guān)于 x1，x2 的偏導(dǎo)數(shù)。 d. 函數(shù) m 是一個(gè)拋物面 ，欲求得其最高點(diǎn)，只需令 x1 和 x2 的偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為 0，建立方 12 程組求解即可。該方程組可利用 mathematica 的 solve 函數(shù)求解，解得： x1 = 3506.2

17、3506 , x2 = 5813.895814 e. 將求得的 x1, x2 的值代入函數(shù) m 的表達(dá)式： 圖 9 應(yīng)用 mathematica 求解 f. 求解其他變量： 故 x33 【答復(fù)下列問(wèn)題】 為了促使公司愿意在國(guó)內(nèi)重新建廠，政府可收取的最低關(guān)稅額是 33 美元。 （4）將關(guān)稅定得足夠高，使公司要重建工廠。討論生產(chǎn)量和利潤(rùn)關(guān)于關(guān)稅的靈敏性。說(shuō)明實(shí)際關(guān)稅額的重要性。 設(shè)每臺(tái)彩電的關(guān)稅額為 x 美元，每年 19 英寸彩電和 21 英寸彩電的生產(chǎn)量分別為 x1, x2 臺(tái)，每年凈利潤(rùn)為 w 美元。 1）生產(chǎn)量 x1, x2 關(guān)于關(guān)稅 x 的靈敏性 a. 粗分析 現(xiàn)在假設(shè)關(guān)稅 x 的實(shí)際值是

18、不同的，對(duì)幾個(gè)不同的 x 值，重復(fù)前面的求解過(guò)程, 可以得到對(duì)生產(chǎn)量 x1, x2 關(guān)于 x 的敏感程度的一些數(shù)據(jù)。 13 可得相應(yīng) x1 = 4735.04 - 37.037 x , x2 = 7042.74 - 37.037 x 圖 10 用 x 來(lái)表示 x1 和 x2 用 excel 繪出生產(chǎn)量 x1, x2 關(guān)于關(guān)稅 x 的散點(diǎn)圖。 圖 11 生產(chǎn)量 x1, x2 關(guān)于關(guān)稅 x 的散點(diǎn)圖 由上述圖表可以看到生產(chǎn)量 x1, x2 對(duì)關(guān)稅 x 是很敏感的。即如果給定不同的關(guān)稅，那么生產(chǎn)量 x1, x2 將會(huì)有明顯變化。甚至從理論上分析，當(dāng) x 足夠大時(shí)，x1, x2 的取值會(huì)變?yōu)樨?fù)數(shù)。因此

19、，x 的取值要適宜、合理，所做的分析才有意義。 b. 生產(chǎn)量 x1, x2 關(guān)于關(guān)稅 x 的靈敏性的系統(tǒng)分析 前面已計(jì)算出，使偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)為 x1 = 4735.04 - 37.037 x , x2 = 7042.74 - 37.037 x，假設(shè)要 x1, x20，只要 x127.8 即可。當(dāng) 0x127.8 時(shí)，x1 和 x2 隨著 x 的增大而不斷減小。 c. 生產(chǎn)量 x1, x2 對(duì)關(guān)稅 x 的靈敏性的相對(duì)改變量： 由 x1 = 4735.04 - 37.037 x , x2 = 7042.74 - 37.037 x 可得：在點(diǎn) x = 33 處， dx1/dx = - 37.03

20、7, dx2/dx = - 37.037 s(x1 , x) = (dx1/dx) * (x/x1) = - 0.35 s(x2 , x) = (dx2/dx) * (x/x2) = - 0.21 即每臺(tái)彩電的關(guān)稅額 x 增加 1%，那么導(dǎo)致每年 19 英寸彩電和 21 英寸彩電的生產(chǎn)量 x1, x2分別減少 0.35%，0.21% 圖 12 利潤(rùn) w 關(guān)于關(guān)稅 x 的散點(diǎn)圖 由上述圖表可以看到利潤(rùn) w 對(duì)關(guān)稅 x 是很敏感的。即如果給定不同的關(guān)稅，那么利潤(rùn) x 將會(huì)有明顯變化。甚至從理論上分析，當(dāng) x 足夠大時(shí)，w 的取值會(huì)變?yōu)樨?fù)數(shù)。因此，x 的取值要適宜、合理，所做的分析才有意義。 b.

21、利潤(rùn) w 關(guān)于關(guān)稅 x 的靈敏性的系統(tǒng)分析 由前面粗分析中的散點(diǎn)圖可知，w 隨著 x 的增大而不斷減小。當(dāng) x57.4 時(shí)，利潤(rùn) w 變?yōu)樨?fù)數(shù)。 c. 利潤(rùn) w 對(duì)關(guān)稅 x 的靈敏性的相對(duì)改變量： 由 x1 = 4735.04 - 37.037 x , x2 = 7042.74 - 37.037 x 可得：在點(diǎn) x = 33 處， dw/dx = ?9333.33 s(w , x) = (dw/dx) * (x/w) = -1.5 15 即每臺(tái)彩電的關(guān)稅額 x 增加 1%，那么導(dǎo)致每年凈利潤(rùn)為 w 減少 1.5% 3、 、 寫出簡(jiǎn)短程序， 繪制特殊圖形 （1）冪函數(shù)：y = x （r 是常數(shù)）

22、； 此處我將 的值分為 0 和 < 0 分別舉例繪出相應(yīng)的具有代表性的圖形。 當(dāng) 0 時(shí)，我列舉了 = 0, 1/2, 1, 2, 3; 當(dāng) < 0 時(shí)，我列舉了 = -1/2, -1, -2 一元函數(shù)作圖的命令：plot函數(shù) 1,函數(shù) 2,? , 作圖范圍, 可選項(xiàng) 圖 13 冪函數(shù)舉例 （2）指數(shù)函數(shù)：y = a x （a>0，且 a1）； 此處 a 的取值范圍只有 0 < a < 1 和 a > 1，所以我分別舉例繪出了 a = 2 和 a = 1/2 時(shí)的圖形， 16 它們各自具有一定的代表性。 一元函數(shù)作圖的命令：plot函數(shù) 1,函數(shù) 2,? ,

23、 作圖范圍, 可選項(xiàng) 圖 14 指數(shù)函數(shù)舉例 （3）對(duì)數(shù)函數(shù)：y = log a x （a>0 且 a1，特別當(dāng) a = e 時(shí)，記為 y = lnx）； 此處 a 的取值范圍只有 0 < a < 1 和 a > 1，特別當(dāng) a = e 時(shí)，記為 y = lnx。 所以我分別舉例繪出了 a = 7、a = 1/7、a = e 時(shí)的圖形，它們各自具有一定的代表性。 y = log 7 x 和 y = log 1/7 x 用 log7, x和 log1/7, x表示。而 y = lnx 直接用 logx表示。 一元函數(shù)作圖的命令：plot函數(shù) 1,函數(shù) 2,? , 作圖范圍

24、, 可選項(xiàng) 圖 15 對(duì)數(shù)函數(shù)舉例 （4）三角函數(shù)：如 y = sin x，y = cos x，y = tan x 等； 17 一元函數(shù)作圖的命令：plot函數(shù) 1,函數(shù) 2,? , 作圖范圍, 可選項(xiàng) 此處三角函數(shù)的函數(shù)名首字母都要大寫，否那么軟件不會(huì)將其視為三角函數(shù)，而是視為變量名。如果用 pi 表示 時(shí)，首字母也需要大寫，否那么軟件也會(huì)將其視為變量名。當(dāng)輸入正確時(shí)，下方會(huì)有的藍(lán)色字體提示。 圖 16 三角函數(shù) （5）反三角函數(shù)：如 y = arcsin x，y = aros x，y = arctan x 等。 一元函數(shù)作圖的命令：plot函數(shù) 1,函數(shù) 2,? , 作圖范圍, 可選項(xiàng) 此

25、處反三角函數(shù)的函數(shù)名只需在三角函數(shù)的函數(shù)名之前加一個(gè)“arc”即可。 如果用 pi 表示 時(shí)，首字母也需要大寫，否那么軟件會(huì)將其視為一個(gè)變量名。 圖 17 反三角函數(shù) 求解方法： a. 首先，用 mathematica 繪出函數(shù) f 的三維圖像。 繪制二元函數(shù) 3d 圖形的命令：plot3d函數(shù), 第一變量的范圍, 第二變量的范圍, 可選項(xiàng) 圖 18 函數(shù) f 的三維圖像 由上圖可知，f 是一個(gè)拋物面，且 f 在 s 內(nèi)部到達(dá)最大值。 b. 然后，再用 mathematica 繪出函數(shù) f 的等高線圖。 繪制二元函數(shù)等高線圖的命令：contourplot函數(shù),第一變量的范圍,第二變量的范圍,可

26、選項(xiàng) 圖 19 函數(shù) f 的等高線圖 由上圖可以估計(jì)出，f 的最大值出現(xiàn)在 x1 = 5000，x2 = 7000 附近。 19 （2）問(wèn)題 2：如何應(yīng)用 mathematica 求解無(wú)約束的多變量最優(yōu)化問(wèn)題 解決方法： 以第 1 題為例，具體步驟如下： a. 利用 mathematica 分別求出函數(shù) f 關(guān)于 x1，x2 的偏導(dǎo)數(shù)。 b. 函數(shù) f 是一個(gè)拋物面 ，欲求得其最高點(diǎn)，只需令 x1 和 x2 的偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為 0，建立方程組求解即可。該方程組可利用 mathematica 的 solve 函數(shù)求解，解得： x1 = 4735.044735 , x2 = 7042.747043 c

27、. 將求得的 x1, x2 的值代入函數(shù) f 的表達(dá)式： 圖 20 應(yīng)用 mathematica 求解 （3）問(wèn)題 3：如何進(jìn)行靈敏性分析（即靈敏性分析的方法） 解決方法： 以生產(chǎn)量 x1, x2 關(guān)于關(guān)稅 x 的靈敏性分析為例，具體方法如下： a. 粗分析 現(xiàn)在假設(shè)關(guān)稅 x 的實(shí)際值是不同的，對(duì)幾個(gè)不同的 x 值，重復(fù)前面的求解過(guò)程, 可以得到對(duì)生產(chǎn)量 x1, x2 關(guān)于 x 的敏感程度的一些數(shù)據(jù)。 20 x2 的偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為 0，建立方程組求解。 可得相應(yīng) x1 = 4735.04 - 37.037 x , x2 = 7042.74 - 37.037 x 圖 21 用 x 來(lái)表示 x1 和

28、 x2 用 excel 繪出生產(chǎn)量 x1, x2 關(guān)于關(guān)稅 x 的散點(diǎn)圖。 圖 22 生產(chǎn)量 x1, x2 關(guān)于關(guān)稅 x 的散點(diǎn)圖 由上述圖表可以看到生產(chǎn)量 x1, x2 對(duì)關(guān)稅 x 是很敏感的。即如果給定不同的關(guān)稅，那么生產(chǎn)量 x1, x2 將會(huì)有明顯變化。甚至從理論上分析，當(dāng) x 足夠大時(shí)，x1, x2 的取值會(huì)變?yōu)樨?fù)數(shù)。因此，x 的取值要適宜、合理，所做的分析才有意義。 b. 生產(chǎn)量 x1, x2 關(guān)于關(guān)稅 x 的靈敏性的系統(tǒng)分析 前面已計(jì)算出，使偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)為 x1 = 4735.04 - 37.037 x , x2 = 7042.74 - 37.037 x，假設(shè)要 x1, x2

29、0，只要 x127.8 即可。當(dāng) 0x127.8 時(shí)，x1 和 x2 隨著 x 的增大而不斷減小。 c. 生產(chǎn)量 x1, x2 對(duì)關(guān)稅 x 的靈敏性的相對(duì)改變量： 由 x1 = 4735.04 - 37.037 x , x2 = 7042.74 - 37.037 x 可得：在點(diǎn) x = 33 處， dx1/dx = - 37.037, dx2/dx = - 37.037 s(x1 , x) = (dx1/dx) * (x/x1) = - 0.35 s(x2 , x) = (dx2/dx) * (x/x2) = - 0.21 即每臺(tái)彩電的關(guān)稅額 x 增加 1%，那么導(dǎo)致每年 19 英寸彩電和 2

30、1 英寸彩電的生產(chǎn)量 x1, x2 21 分別減少 0.35%，0.21% （4）問(wèn)題 4：如何繪制對(duì)數(shù)函數(shù) y = log a x 的圖形。 解決方法： 此處 a 的取值范圍只有 0 < a < 1 和 a > 1，特別當(dāng) a = e 時(shí)，記為 y = lnx。 所以我分別舉例繪出了 a = 7、a = 1/7、a = e 時(shí)的圖形，它們各自具有一定的代表性。 一元函數(shù)作圖的命令：plot函數(shù) 1,函數(shù) 2,? , 作圖范圍, 可選項(xiàng) 其中，y = log 7 x 和 y = log 1/7 x 用 log7, x和 log1/7, x表示，y = lnx 直接用 logx表示。 對(duì)于 mathematica 中普通的對(duì)數(shù)函數(shù) y = log a x 的輸入，均可以用 loga, x來(lái)實(shí)現(xiàn)。 而 y = lnx 可以直接用 logx實(shí)現(xiàn)。 圖 23 對(duì)數(shù)函數(shù)舉例 二、小結(jié)、建議及體會(huì)