一階微分方程

1、第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的概念微分方程的概念第二節(jié)第二節(jié) 常見的一階微分方程常見的一階微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的概念微分方程的概念一一.實(shí)例實(shí)例例1. 曲線過(0,1),且曲線上每個(gè)點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)的橫坐 標(biāo),求此曲線方程.設(shè)曲線方程為 y = y(x),則1|,0 xyxycxxdxy221c122xy例2. 質(zhì)量為m的物體自由落下, t =0 時(shí),初始位移和初速度分別為,00vS求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.設(shè)運(yùn)動(dòng)方程為S=S(t),則,)(gtS 0000|,|vSSStt兩次積分分別得出:,)(1cgttS,21)(212ctcgttS條件代入:,0201Scvc,21)(002Stvg

2、ttS二二. 概念概念1. 微分方程:含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程.未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程.(前例)未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.本章內(nèi)容2. 階:未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).例1是一階微分方程,例2是二階微分方程.n階方程一般形式:0),()( nyyyyxF必須出現(xiàn)3. 解:如果將函數(shù) y=y(x) 代入方程后恒等,則稱其為方程的解.如果解中含有任意常數(shù),且個(gè)數(shù)與階數(shù)相同通解不含任意常數(shù)的解特解必須獨(dú)立n階方程通解一般形式:),(21ncccxyy 4. 定解條件:確定通解中任意常數(shù)值的條件.定解條件的個(gè)數(shù)要和階數(shù)相同,才能確定唯一特解;定解條件中自變量

3、取相同值時(shí),叫做初始條件.5. 幾何意義:通解積分曲線族特解積分曲線例:驗(yàn)證 是 的通解cyx22yxy對(duì) 用隱函數(shù)求導(dǎo)法得:cyx22yxy故 是方程的解,cyx22且含有一個(gè)任意常數(shù).通解第二節(jié)第二節(jié) 幾種常見的一階微分方程幾種常見的一階微分方程本節(jié)介紹一階微分方程的基本類型和常見類型.一一. 可分離變量的方程可分離變量的方程一階微分方程一般形式:0),( yyxF我們研究其基本形式:),(yxfdxdy如果可化成:dyygdxxf)()(1)則(1)稱為可分離變量的方程.解法: 1.分離變量:dyygdxxf)()(2.兩邊積分:dyygdxxf)()(3.得出通解:CxFyG)()(只

4、寫一個(gè)任意常數(shù)例:xydxdy2).1 (xdxdyy21xdxdyy21,|ln12Cxy2112xCCxeeey任意常數(shù),記為C2xCey 絕對(duì)值號(hào)可省略1|,).2(022xyyxyxyxydxxxdyyy2211dxxxdyyy2211122)1ln()1ln(Cxy)(),1 (1222CeCxCy定解條件代入:C=2故特解為:).1 (2122xy例例 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分離變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 為任意常數(shù) )或說明說明: 在求解過程中每一步不一定

5、是同解變形,因此可能增、減解.( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始條件得 C = 1,112xy( C 為任意常數(shù) )故所求特解為 1)0(y機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí):.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分離變量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1則故有ueu1積分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 為任意常數(shù) )所求通解:Cyeyx)1(

6、lnueeeuuud1)1 (機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二二.齊次方程齊次方程如果方程(1)可化成:)(xydxdy齊次方程解法:令 化成可分離變量方程.xyu xuy dxduxudxdy)(udxduxudxxuudu1)(例:22xxyydxdy1)(2xyxydxdy12uudxduxudxxduu1)11 (xCuulnln1xyu xyu xyCey 例例 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy則代入原方程得uuuxutan分離變量xxuuuddsincos兩邊積分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解為xC

7、xysin( 當(dāng) C = 0 時(shí), y = 0 也是方程的解)( C 為任意常數(shù) )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程變形為,xyu 令則有22uuuxu分離變量xxuuudd2積分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原變量得通解即Cuux )1(yCxyx)(說明說明: 顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 為任意常數(shù))求解過程中丟失了. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例 求解求解. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，則則ud

8、xxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx可可分分離離變變量量為為積積分分，得得.|lnsinCxxy 還原，得原方程的通解為還原，得原方程的通解為解解（易知，是齊次方程）（易知，是齊次方程）原原方方程程化化為為,cosxdxudu ,|lnsinCxu 4/11三三.一階線性方程一階線性方程一般形式:)()(xQyxPdxdy(2):0)(xQ0)(yxPdxdy(3)一階線性齊次方程一階線性非齊次方程:0)(xQ自由項(xiàng)方程(3)是可分離變量方程,其通解為:dxxPCey)(方程(2)的通解常數(shù)變易法設(shè)(2)的通解:dxxPexCy)()(代入方程(2):dxxP

9、dxxPexPxCexCy)()()()()(dxxPexQxC)()()(CdxexQxCdxxP)()()(則方程(2)的通解:)()()(CdxexQeydxxPdxxP(4)注:1. 一階線性非齊次方程的通解可用常數(shù)變易法或公式(4) 計(jì)算皆可;.2. 公式(4)中不定積分只求一個(gè)原函數(shù)即可;3.dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(非齊次方程的特解齊次方程的通解非齊次方程解的結(jié)構(gòu)例:xexydxdyxcos22cos222Cdxexeeyxdxxxdxcos2Cxdxex)(sin2Cxex例: 求方程 滿足初始條件 的特解.ydxdyyx)(21|3xy將 y

10、視為自變量,可以變成關(guān)于 x 的線性方程:yxydydx1yyQyyP)(,1)(11Cdyyeexdyydyy)(Cyy由 得:1|3xy2C故所求特解為:)2( yyx例例解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法求特解. 令,) 1()(2xxuy則) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解為Cxxy232) 1(32) 1(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 . 0 sin1 的特解的特解滿足滿足求求 xy

11、xxyxy,1)(xxP ,sin)(xxxQ CdxexxeCxydxxdxx11sin);( Cdxexxexx|ln|ln|sin解解例例 Cdxxxxx|sin|16/17 Cxdxxsin1 .cos1Cxx Cdxxxxx|sin|1由由所求特解所求特解 C cos101 C .cos11)(xxxy 7/17四四.貝努里方程貝努里方程一般形式:) 1 , 0( ,)()(nyxQyxPdxdyn當(dāng) n= 0 或1時(shí),這是線性方程.當(dāng) 時(shí),可以化成線性方程:1 , 0n兩端同除以,ny),()(1xQyxPdxdyynn),()()(1111xQyxPdxydnnn令,1 nyz則

12、).()1 ()()1 (xQnzxPndxdz關(guān)于 z 的線性方程求出通解后再還原回 y例:2yyxy211yxyxy兩端同除以,2yxyxyy1112令,1 yz,11xzxz111Cdxexezdxxdxx)(1Cxx代入,1 yz通解為.cxxy例例 求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令,1 yz則方程變形為xaxzxzlndd其通解為ez 將1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 . 4 2的的通通解解求求yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令

13、令解得解得.224 Cxxy解解，得得兩兩端端除除以以 y例例 ,22 Cxxz,dxdyydxdz21 由由22 2xzxdxdz 原方程化為原方程化為11/17還原，得原方程的通解還原，得原方程的通解例例 解微分方程解微分方程.xexyyyx2222 解解變形為變形為,2)1(1yyz 令令,dxdyydxdz2 則則,xexzdxdzx22 原方程化為原方程化為 222Cdxexeezxdxxxdx 解解之之，得得所求通解為所求通解為).2(22Cxex 1221 yxexyyx方方程程）（Bernoulli).2(222Cxeyx 12/17五五.全微分方程全微分方程0),(),(dy

14、yxQdxyxP對(duì)于微分方程),(yxdUCyxU),(則通解為全微分方程注: (1).當(dāng)P(x,y),Q(x,y)在單連域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且xQyP時(shí),上述方程為全微分方程.(2).DyxCdyyxQdxyxPyxUyyxx),( ,),(),(),(00000(3). 對(duì)于非全微分方程,有時(shí)可以找到函數(shù) , 使得),(yx0),(),(),(),(dyyxQyxdxyxPyx全微分方程積分因子(4). 觀察法往往很實(shí)用.例:0)(2)(2dyyxydxxyxQyyP2因?yàn)槿⒎址匠倘? 0, 000yxCdyyxydxxyxUyx00)(2)(),(Cyxyx3223221解法一:

15、解法二:02)2(22dyyxdxxydydxy0)32()2()(322ydxdxyd0)322(322yxxydCyxyx3223221例:0 xdyydx非全微分方程由于2)(yxdyydxyxd則 是積分因子,21yCyx同乘以積分因子并積分得通解:xyx1,12易知 也是積分因子例:0)1 ()1 (xdyxyydxxy非全微分方程變形0)()(xdyydxxyydxxdy0)()(22ydyxdxyxxyd則 是積分因子,221yx0)(22ydyxdxyxxyd.|ln1Cyxxy注意注意:其他類型的微分方程往往可以化成上述類型其他類型的微分方程往往可以化成上述類型例:yyxy2

16、sincos1視 x 為 y 函數(shù),可化成線性方程yxydydx2sincos通解為:2sincoscosCdyeyexydyydy)sin1 (2sinycey思考)(, 1) 1 (,)() 1()(), 1 )(. 111xyydtttyxdttyxxyxx求內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且滿足在設(shè).e)(, e,e, 0)() 13()( ),(d)(d)(),() 1(d)()(d)(31131221111xxyCxCyxyxxyxxyxtttyttyxxyxtttyxxyttyxxxxxxx故把初始條件代入得：分離變量并求解得：再求導(dǎo)并整理得：整理得：求導(dǎo)得：等式兩端同時(shí)關(guān)于)(,)21()(), 0)(. 222224224tfdxdyyxfetftftyxt求上連續(xù)且滿足在設(shè).e ) 14()(. 1, 1)0() 1 (.4