有限元教程 彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)——虛功原理與彈性力學(xué)兩類平面問(wèn)題PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1有限元教程有限元教程 彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)虛功虛功原理與彈性力學(xué)兩類平面問(wèn)題原理與彈性力學(xué)兩類平面問(wèn)題有限元分析彈性力學(xué)補(bǔ)充內(nèi)容第1頁(yè)/共35頁(yè)求解彈性力學(xué)問(wèn)題的目的：求解彈性力學(xué)問(wèn)題的目的：求出物體內(nèi)部各點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，即應(yīng)力場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)和位移場(chǎng)。彈性力學(xué)問(wèn)題的提法：彈性力學(xué)問(wèn)題的提法：給定作用在物體全部邊界或內(nèi)部的外界作用（包括溫度影響、外力等），求解物體內(nèi)由此產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。具體要求：（1）在物體內(nèi)部各點(diǎn)：應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量滿足：（2）在物體邊界：應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量滿足： 平衡方程（3個(gè)） 幾何方程（6個(gè)） 物理方程（6個(gè)） 位移邊界條件

2、 力的邊界條件基本方程組，普遍規(guī)律定解條件，特定規(guī)律。每一個(gè)具體每一個(gè)具體問(wèn)題反映在問(wèn)題反映在各自的邊界各自的邊界條件上條件上上節(jié)回顧第2頁(yè)/共35頁(yè)彈性力學(xué)邊值問(wèn)題提法：彈性力學(xué)邊值問(wèn)題提法：0Lu AbinDuuuvvon Swwnppon S求求u，滿足：滿足：基本基本方程：方程：邊界邊界條件：條件：已經(jīng)證明：該已經(jīng)證明：該問(wèn)題有解，而問(wèn)題有解，而且解唯一。且解唯一。上節(jié)回顧第3頁(yè)/共35頁(yè)求：主動(dòng)力FA與FB之間的關(guān)系。0iirF已知：如圖所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中已知：如圖所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中, ,連桿連桿AB長(zhǎng)為長(zhǎng)為l, ,滑塊滑塊, ,與桿重均不計(jì)與桿重均不計(jì), ,忽略各忽略各處摩擦處摩擦,

3、,機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡. .理論力學(xué)中的虛位移原理回顧解解: 給虛位移給虛位移,BArr0BBAArFrF由由sincosABrr( ( 在在 A , ,B 連線上投影相等連線上投影相等) )BArr,即即tanBAFF 第4頁(yè)/共35頁(yè)理論力學(xué)中的虛位移原理回顧虛位移 在某瞬時(shí),質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下,可能實(shí)現(xiàn)的任何無(wú)限小的位移稱為虛位移 .只與約束條件有關(guān).虛位移虛位移,xr等等第5頁(yè)/共35頁(yè)虛功虛功 rFW理想約束理想約束如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中,所有約束力所作虛功的和所有約束力所作虛功的和等于零，稱這種約束為等于零，稱這種約束為理想約束理

4、想約束.0iNiNiNrFWW力在虛位移中作的功稱虛功.WM 光滑固定面約束、光滑鉸鏈、無(wú)重剛桿，不可伸長(zhǎng)的柔索、固定端、輪子只滾不滑等約束為理想約束.第6頁(yè)/共35頁(yè)即即0iirF設(shè)質(zhì)點(diǎn)系處于平衡設(shè)質(zhì)點(diǎn)系處于平衡, ,有有0NiiFF或記為或記為0FiW此方程稱此方程稱虛功方程,其表達(dá)的原理稱其表達(dá)的原理稱虛位移原理虛位移原理或或虛功原理虛功原理.0iNiiirFrF0iNiiirFrF對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系,其平衡的充分必要條件是:作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零.解析式為解析式為0iziiyiixizFyFxF第7頁(yè)/共35頁(yè)dyxyzvdzdx(x,y,z)

5、SuSpTwu以微元體為對(duì)象建立彈性體的虛功方程第8頁(yè)/共35頁(yè)d dd dd dddd dddd dddd dxxyxzxxxyxyxzxzu y zv y zw y zuxuxy zxxvxvxy zxxwxwxy zxx 第9頁(yè)/共35頁(yè)d dd dd dddd dddd dddd dxxxyxzxxyxzxyxzuu y zv y zw y zxuxy zxxvwxvxy zxwxy zxxxx d d dd d dxxyxzxyxxzuvwx y zxxxuvwx y zxxx 高階小量X方向方向體力做功：體力做功：d d dxbu x y z第10頁(yè)/共35頁(yè)同理，計(jì)算左右、上下兩

6、對(duì)面上應(yīng)力及y和z方向體力所做虛功yxyyyd d dyyyd d dyyyyzxyzuvwx y zuvwx y z 高階小量左右兩面左右兩面應(yīng)力虛功應(yīng)力虛功y方向方向體力做功：體力做功：yd d dbv x y zd d dd d dzxyzzzyzxzuvwx y zzzzuvwx y zzzz 高階小量上下兩面上下兩面應(yīng)力虛功應(yīng)力虛功z方向方向體力做功：體力做功：d d dzbw x y z第11頁(yè)/共35頁(yè)二、彈性體的虛功原理將前后、左右、上下三對(duì)面上應(yīng)力及x、y、z方向體力所做虛功求和，得yyyxyd d dd d dd d dd d dyyyyyyd d dxyxxzxxyxzx

7、yzyzzxzxyzzuvwx y zuvwx y zxxxxxxuvwx y zuvwx y zuvwx y zuzzzzd d dd d dd d dd d dzyzxyzvwx y zzzbu x y zbv x y zbw x y z 高階小量進(jìn)一步整理，合并同類項(xiàng)，利用微元體平衡方程微元體平衡方程，得第12頁(yè)/共35頁(yè)二、彈性體的虛功原理微元體應(yīng)力和體力所做虛功為：yxyd d dd d dd d dyyyxxyxzyzzxyzzuvwuvwuvwx y zx y zx y zxxxzzz合并同類項(xiàng)，得yxyd d dyyyxyzzxzuvwuvwvwux y zxzxzxz令xyz

8、uuxxvvyywwzzxyyzxyvuvuyxyxwvwvyzyzwuwuxzxz代入上式，得代入上式，得第13頁(yè)/共35頁(yè)yxyd d dyyyxyzzxzuvwuvwvwux y zxzxzxzdxdydzxxyyzzxyxyyzyzzxzx 二、彈性體的虛功原理上式表示每一個(gè)微小六面體單元在物體有微小虛位移時(shí)所作的虛功。如果將物體分割為許多微小六面體體單元，則每一個(gè)微小單元都要作如上虛功。進(jìn)一步設(shè)想，將分割后的那些微小六面體重新合攏，回復(fù)原來(lái)的狀態(tài)，則原來(lái)作為微小六面體的面力的那些應(yīng)力所做虛功就會(huì)相互抵消，而就整個(gè)物體求和后以后，就只剩下體力和面力所做的虛功了。即，將上式虛功在體積內(nèi)加

9、起來(lái)應(yīng)與整體的體力和面力在對(duì)應(yīng)虛位移上所完成的總虛功相等，由此得到：dxdydzdxdydzdpxxyyzzxyxyyzyzzxzxxyzxyzSbubvbwpupvpwS 第14頁(yè)/共35頁(yè)二、彈性體的虛功原理dxdydzdxdydzdpxxyyzzxyxyyzyzzxzxxyzxyzSbubvbwpupvpwS 上式即為彈性體的虛功方程。表達(dá)為語(yǔ)言：對(duì)任意微小虛位移，外力所做總虛功等于變形體所接受的總虛變形功。外力虛功等于內(nèi)力虛功?；蛱撐灰茟?yīng)該滿足怎樣的條件？即所謂的約束條件。幾何方程，又稱變形協(xié)調(diào)條件：,12iji jj iuu位移邊界條件：0iu第15頁(yè)/共35頁(yè)dxdydzdxdyd

10、zdpxxyyzzxyxyyzyzzxzxxyzxyzSbubvbwpupvpwS 上式的推導(dǎo)中，用到了平衡條件，包含體內(nèi)力的平衡和邊界上力的平衡。因此，彈性體的虛功原理與彈性體的平衡方程和力的邊界條件是等價(jià)的。0Lu AbinD,uuu vv wwon Snppon S彈性力學(xué)邊值問(wèn)題提法用虛功方程代替。虛位移滿足條件與虛功原理無(wú)關(guān)許可位移場(chǎng)許可位移場(chǎng)第16頁(yè)/共35頁(yè)利用虛位移原理，可以導(dǎo)出彈性力學(xué)中的另一個(gè)重要能量原理：最小勢(shì)能原理：定義彈性體的總體勢(shì)能：W1dxdydz2dxdydzdpxxyyzzxyxyyzyzzxzxxyzxyzSUb ub vb wp up vp wS 則，所有

11、的允許位移場(chǎng)：u、v、w，即滿足幾何方程與位移邊界條件的位移場(chǎng)，彈性體真實(shí)發(fā)生的位移場(chǎng)u*、v*、w*使得系統(tǒng)的總體勢(shì)能取得極小值，即： , ,BC umin, ,u v wu v w第17頁(yè)/共35頁(yè) 在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常遇到一些比較典型的情況，可有針對(duì)性地進(jìn)行處理，如厚度較薄的問(wèn)題、厚度較厚的等截面問(wèn)題等，這些問(wèn)題無(wú)需按一般的三維彈性力學(xué)提法分析，而可以進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化處理為二維問(wèn)題。1. 平面應(yīng)力問(wèn)題幾何特征：幾何特征：厚度為厚度為t的很薄的均勻木板的很薄的均勻木板外力特征：外力特征： 面力面力只作用于板的邊緣上，方向平只作用于板的邊緣上，方向平行于板面且不沿厚度變化行于板面且不沿厚度變化 體

12、力體力平行于板面且不沿厚度變化平行于板面且不沿厚度變化第18頁(yè)/共35頁(yè)0)(0)(0)(222tzzytzzxtzz，1. 平面應(yīng)力問(wèn)題應(yīng)力特征：應(yīng)力特征：由于薄板兩表面上沒(méi)有垂直和平行于板由于薄板兩表面上沒(méi)有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點(diǎn)均有：面的外力，所以板面上各點(diǎn)均有：000yzzyxzzxz，進(jìn)一步，由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認(rèn)為在整個(gè)薄板內(nèi)各點(diǎn)均有則，彈性力學(xué)的6個(gè)應(yīng)力分量，只剩：xyxyyx, 故得名平面應(yīng)力問(wèn)題第19頁(yè)/共35頁(yè) xxyzxxyyyzzxyzz xyxxyxyyxy第20頁(yè)/共35頁(yè)zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEE1

13、11)(1)(1)(100zxyz，)(yxzE0zzxyxyyx、 xxyxyyxyxy第21頁(yè)/共35頁(yè)1112(1)xxyyyxxyxyxyEEGE2221 112(1)12xxyyxyxyxyxyEEEE第22頁(yè)/共35頁(yè)2101011002xxyyxyxyE D 2101011002ED第23頁(yè)/共35頁(yè) xyzxyyzzxuvwxyzuvvwwuyxzyxz， xyxyuxvyuvyxxyyx、第24頁(yè)/共35頁(yè)2. 平面應(yīng)變問(wèn)題幾何特征幾何特征：無(wú)限長(zhǎng)等截面拄形體：無(wú)限長(zhǎng)等截面拄形體外力特征外力特征： 面力和體力均平行于橫截面且不沿面力和體力均平行于橫截面且不沿長(zhǎng)度變化的長(zhǎng)度變化

14、的應(yīng)變特征應(yīng)變特征：應(yīng)變僅是x，y的函數(shù)；由于對(duì)稱性，w0第25頁(yè)/共35頁(yè)xyzxyyzzxuvwxyzuvvwwuyxzyxz， xyxyuxvyuvyxxyyx、0zxyzz得名平面得名平面應(yīng)變問(wèn)題應(yīng)變問(wèn)題第26頁(yè)/共35頁(yè)因?yàn)橛晌锢矸匠讨泻髢墒娇梢?jiàn)又由物理方程中的第三式可見(jiàn)：在平面應(yīng)變問(wèn)題中，雖然 ，但 一般并不等于零，不過(guò)它可以由 及 求得，在分析問(wèn)題時(shí)不必考慮，于是也就只有三個(gè)應(yīng)力分量 需要考慮。xy00zxyz，00zxyz，)(yxz0zzxyyx、zxzxyzyzxyxyzyxzzyxyzyxxEEEEEE)1 ( 2)1 ( 2)1 ( 2)11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 (第27頁(yè)/共35頁(yè)(1)()(1)(12 )1(1)()(1)(12 ) 1(1)122(1)(1)(12 )2(1)xxyyxyxyxyxyEEEE第28頁(yè)/共35頁(yè) D101(1)10(1)(12 ) 112002(1)xxyyxyxyE 101(1)10(1)(12 ) 112002(1)ED第29頁(yè)/共35頁(yè) 工程中有許多問(wèn)題很接近于平面應(yīng)變問(wèn)題，如受內(nèi)壓力的圓管、滾柱軸承中的滾柱等等，但它們的沿Z向長(zhǎng)度都不是無(wú)限長(zhǎng)的。故在靠近兩端的部分，其應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)比較復(fù)雜，并不符合平面應(yīng)變問(wèn)題的條件；因此將這類問(wèn)題當(dāng)作平面應(yīng)變問(wèn)